12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167482
Найдите наибольшее значение функции $y=9x^2-x^3$ на отрезке $[2;10].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=18x-3x^2$$ Приравняем производную к нулю: $$18x-3x^2=0$$ $$6x-x^2=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=6$$ На отрезке $[2;10]$ лежит только точка $x=6.$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;0)\cup(6;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(0;6).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $6$ — это точка максимума функции на данном промежутке.
Найдем значение функции $y=9x^2-x^3$ в данной точке: $$y=9\cdot 6^2-6^3=108$$