12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167418

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-2=\sqrt{x}-2$$ Приравняем производную к нулю: $$\sqrt{x}-2=0$$ $$\sqrt{x}=2$$ $$x=4$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(4;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;4).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x+1.$