12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167421

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+3$$ $$f'(x)=3-\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$3-\sqrt{x}=0$$ $$\sqrt{x}=3$$ $$x=9$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $[0;9),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(9;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $9$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1$ в данной точке: $$y=-\frac{2}{3}\cdot 9^{\frac{3}{2}}+3\cdot 9+1=10$$