12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167484

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2+4x+1$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2+4x+1=0$$ $$x_1=-1$$ $$x_2=-\frac{1}{3}$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;-1)\cup(-\frac{1}{3};\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-1;-\frac{1}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=x^3+2x^2+x+3.$