12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167247

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x+3)(x+5)+(x+3)^2$$ $$f'(x)=(x+3)(3x+13)$$ Приравняем производную к нулю: $$(x+3)(3x+13)=0$$ $$x_1=-3$$ $$x_2=-\frac{13}{3}$$ Промежутку $[-4;-1]$ принадлежит только $x=-3.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-4;-1]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-4;-3),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-3;-1].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-3$ — это точка минимума функции.