12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167486

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-1+\frac{1}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$-1+\frac{1}{x^2}=0$$ $$\frac{1}{x^2}=1$$ $$x^2=1$$ $$x_1=1$$ $$x_2=-1$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-1)\cup(1;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-1;1).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-1$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=-\frac{x^2+1}{x}.$