12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167250

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-7)(x+8)+(x-7)^2$$ $$f'(x)=(x-7)(2x+16+x-7)$$ $$f'(x)=(x-7)(3x+9)$$ Приравняем производную к нулю: $$(x-7)(3x+9)=0$$ $$x_1=7$$ $$x_2=-3$$ Промежутку $[1;12]$ принадлежит только $x=7.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[1;12]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[1;7),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(7;12].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=7$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=(x-7)^2(x+8)-3$ в данной точке: $$y=(7-7)^2(7+8)-4=-4$$