12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167420

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3=\frac{1}{2}\sqrt{x}-3$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{2}\sqrt{x}-3=0$$ $$\frac{1}{2}\sqrt{x}=3$$ $$x=36$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(36;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;36).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $36$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+14.$