12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167422

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+12$$ $$f'(x)=12-2\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$12-2\sqrt{x}=0$$ $$2\sqrt{x}=12$$ $$x=36$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $[0;36),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(36;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $36$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+12x+20$ в данной точке: $$y=-\frac{4}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}}+12 \cdot 36+20=164$$