12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167485
Найдите точку максимума функции $y=x^3-5x^2+7x-5.$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-10x+7$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-10x+7=0$$ $$x_1=1$$ $$x_2=2\frac{1}{3}$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;1)\cup(2\frac{1}{3};\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1;2\frac{1}{3}).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=x^3-5x^2+7x-5.$