13. Задачи по стереометрии: Пирамида
Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $9.$ Найдите объем треугольной пирамиды $ABCA_1.$
Используемые формулы:
Формула объема параллелепипеда: $V_{\text{пар}} = S_{\text{осн}} \cdot h$
Формула объема пирамиды: $V_{\text{пир}} = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h$
Основание пирамиды $ABCA_1$ (треугольник $ABC$) составляет ровно половину площади основания параллелепипеда $ABCD{:}$ $$S_{ABC} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$$Подставляем в формулу объема пирамиды:
$$V_{ABCA_1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{6}S_{ABCD} \cdot h$$ Учитывая, что $S_{ABCD} \cdot h = 9$ (объем параллелепипеда), получаем: $$V_{ABCA_1} = \frac{1}{6} \cdot 9 = 1.5$$Объем пирамиды $ABCA_1$ равен $1.5.$
20
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны $10,$ боковые ребра равны $13.$ Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Теорема Пифагора для нахождения апофемы:$$ h = \sqrt{l^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} $$Найдем апофему пирамиды:$$ h = \sqrt{13^2-5^2} = \sqrt{169-25} = 12 $$Вычислим периметр основания:$$ P = 6 \cdot 10 = 60 $$Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды:$$ S = \frac{1}{2} P h $$Найдем площадь боковой поверхности:$$ S = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 12 = 360 $$Площадь боковой поверхности пирамиды равна $360.$
20
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны $16,$ боковые ребра равны $17.$ Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Найдем апофему пирамиды по теореме Пифагора:$$h = \sqrt{17^2-8^2} = \sqrt{289-64} = 15$$Вычислим периметр основания:$$P = 6 \cdot 16 = 96$$Найдем площадь боковой поверхности:$$S = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 15 = 720$$Площадь боковой поверхности пирамиды равна $720.$
20
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $3$ и $4.$ Ее объем равен $16.$ Найдите высоту этой пирамиды.
Формула объема пирамиды:$$V = \frac{1}{3} S h$$Вычислим площадь основания:$$S = 3 \cdot 4 = 12$$Найдем высоту пирамиды:$$h = \frac{3V}{S} = \frac{3 \cdot 16}{12} = 4$$Высота пирамиды равна $4.$
20
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны $1,$ а высота равна $\sqrt{3}.$
Формула объема пирамиды:$$V = \frac{1}{3} S h$$Площадь равностороннего треугольника:$$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$$Вычислим объем:$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$$Объем пирамиды равен $0.25.$
20
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $4$ и $5.$ Ее объем равен $80.$ Найдите высоту этой пирамиды.
Формула объема пирамиды:$$V = \frac{1}{3} S h$$Вычислим площадь основания:$$S = 4 \cdot 5 = 20$$Найдем высоту пирамиды:$$h = \frac{3V}{S} = \frac{3 \cdot 80}{20} = 12$$Высота пирамиды равна $12.$
20
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны $3,$ а высота равна $6\sqrt{3}.$
Используемые формулы:
Формула площади равностороннего треугольника:
$$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$где $a$ — длина стороны треугольника.
Формула объема пирамиды:$$V = \frac{1}{3}Sh$$где $S$ — площадь основания, $h$ — высота пирамиды.
Вычислим площадь основания (равностороннего треугольника):
$$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}$$Найдем объем пирамиды:$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 6\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{162}{4} = 13.5$$Объем пирамиды равен $13.5.$
20
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна $4,$ а боковое ребро равно $\sqrt{17}.$
Найдем апофему (высоту боковой грани) по теореме Пифагора:$$ h_1 = \sqrt{(\sqrt{17})^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2} = \sqrt{17-4} = \sqrt{13} $$Найдем высоту пирамиды по теореме Пифагора:$$ h_2 = \sqrt{(\sqrt{13})^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2} = \sqrt{13-4} = 3 $$Вычислим площадь квадратного основания:$$ S = 4 \cdot 4 = 16 $$ Формула объема пирамиды:$$ V = \frac{1}{3} S h $$Найдем объем по формуле объема пирамиды:$$ V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3 = 16 $$Объем правильной четырехугольной пирамиды равен $16.$
20
В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $10,$ а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $7\sqrt{3}.$ Найдите объем пирамиды $SABC.$
Площадь правильного треугольника: $ S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} $
Формула объема пирамиды: $ V = \dfrac{1}{3}Sh $
Найдем площадь основания:$$ S_{ABC} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} $$Вычислим объем пирамиды:$$ V = \frac{1}{3} \cdot 25\sqrt{3} \cdot 7\sqrt{3}$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 7 \cdot 3 = 175 $$Объем пирамиды $SABC$ равен $175.$
20
В треугольной пирамиде $ABCD$ ребра $AB,$ $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объем этой пирамиды, если $AB = 6,$ $AC = 18$ и $AD = 8.$
Площадь прямоугольного треугольника: $ S = \dfrac{1}{2}ab $
Формула объема пирамиды: $ V = \dfrac{1}{3}Sh $
Найдем площадь основания $($треугольник $ABC){:}$
$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 18 = 54 $$
Вычислим объем пирамиды:$$ V = \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 8 = 144 $$Объем пирамиды $ABCD$ равен $144.$
20
В треугольной пирамиде $ABCD$ ребра $AB,$ $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объем этой пирамиды, если $AB = 2,$ $AC = 15$ и $AD = 7.$
Площадь прямоугольного треугольника: $S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC $
Формула объема пирамиды: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot AD $
Площадь основания $($треугольник $ABC){:}$ $$ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 15 = 15 $$Объем пирамиды:$$ V = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot 7 = 35 $$Объем пирамиды $ABCD$ равен $35.$
20
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны $16,$ а боковые ребра равны $10.$ Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Теорема Пифагора для нахождения апофемы:
$h =\sqrt{l^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2} $
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды: $ S = \dfrac{1}{2} P h $
Найдем апофему пирамиды:
$$ h = \sqrt{10^2-8^2} = \sqrt{100-64} = 6 $$Вычислим периметр основания:$$ P = 3 \cdot 16 = 48 $$Найдем площадь боковой поверхности:$$ S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 6 = 144 $$Площадь боковой поверхности пирамиды равна $144.$
20