13. Задачи по стереометрии: #212458

Пусть объем параллелепипеда $V_{\text{пар}} = S_{\text{осн}} \cdot h,$ где:

• $S_{\text{осн}}$ — площадь основания $ABCD,$
• $h$ — высота параллелепипеда (длина ребра $AA_1$).

Рассмотрим пирамиду $ABDA_1.$ Ее объем:
$$V_{\text{пир}} = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABD} \cdot H$$где $S_{\triangle ABD}$ — площадь треугольника $ABD,$ а $H$ — высота пирамиды, опущенная из вершины $A_1$ на основание $ABD.$

Заметим, что:

1. Треугольник $ABD$ лежит в плоскости основания параллелепипеда. Его площадь:
   $$S_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2} S_{\text{осн}}$$так как диагональ $BD$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равных треугольника.
2. Высота пирамиды из вершины $A_1$ до основания $ABD$ равна высоте параллелепипеда $h,$ поскольку ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию и точка $A_1$ находится на расстоянии $h$ от плоскости основания.

Таким образом:
$$V_{\text{пир}} = \dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} S_{\text{осн}} \right) \cdot h = \dfrac{1}{6} S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{6} V_{\text{пар}}$$

Отсюда:
$$V_{\text{пар}} = 6 \cdot V_{\text{пир}}$$

По условию $V_{\text{пир}} = 3,$ поэтому:
$$V_{\text{пар}} = 6 \cdot 3 = 18$$