ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
6. Механика: Механика: установление соответствия
Ученик исследовал движение бруска по наклонной плоскости с ускорением $0.8\,\text{м/с}^2$, который за время $t$ прошел расстояние $30\,\text{см}$. Установите соответствие между зависимостями физических величин и уравнениями движения:
ЗАВИСИМОСТИ
$А)$ зависимость пути $l$ от времени $t$
$Б)$ зависимость модуля скорости $v$ от пройденного пути $l$
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
$1)$ $l = At^2$, где $A = 0.4\,\text{м/с}^2$
$2)$ $l = Bt^2$, где $B = 0.8\,\text{м/с}^2$
$3)$ $v = C\sqrt{l}$, где $C \approx 1.3\,\sqrt{\text{м}}/\text{с}$
$4)$ $v = Dl$, где $D \approx 1.3\,\text{с}^{-1}$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Для зависимости пути от времени $(A)$:
Уравнение равноускоренного движения: $$l = \frac{at^2}{2} = \frac{0.8}{2}t^2 = 0.4t^2$$Соответствует варианту $1.$
Для зависимости скорости от пути $(Б)$:
Связь скорости и пути: $$v = \sqrt{2al} = \sqrt{2 \cdot 0.8 \cdot l} \approx 1.3\sqrt{l}$$Соответствует варианту $3.$
20
Тело брошено с горизонтальной поверхности под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v$. Установите соответствие между физическими величинами и формулами для их расчета:
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$А)$ максимальная высота подъема $h$
$Б)$ дальность полета $S$
ФОРМУЛЫ
$1)$ $\frac{v^2 \sin^2 \alpha}{2g}$
$2)$ $\frac{v^2 \cos^2 \alpha}{g}$
$3)$ $\frac{v^2 \sin 2\alpha}{g}$
$4)$ $\frac{v^2 \sin \alpha}{g}$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Максимальная высота $(A)$:
Формула максимальной высоты: $$h = \frac{v^2 \sin^2 \alpha}{2g}$$ Соответствует варианту $1.$
Дальность полета $(B)$:
Формула дальности полета: $$S = \frac{v^2 \sin 2\alpha}{g}$$Соответствует варианту $3.$
20
Груз на нити отклонили от положения равновесия и отпустили в момент $t = 0$. Графики $A$ и $B$ показывают изменение физических величин в процессе колебаний. Установите соответствие между графиками и физическими величинами:
ГРАФИКИ
$А)$
$Б)$
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$1)$ координата $x$
$2)$ проекция скорости $v_x$
$3)$ кинетическая энергия $E_k$
$4)$ потенциальная энергия $E_p$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
В начальный момент времени координата отрицательна, а скорость равна нулю, поэтому ни один из графиков не может являться графиком скорости.
Поскольку скорость в начальный момент времени равна нулю, кинетическая энергия в начальный момент времени также равна нулю.
Координата может принимать как положительные, так и отрицательные значения, следовательно, под буквой $Б$ указан график зависимости координаты от времени.
Значит, под буквой $А$ указан график потенциальной энергии.
20
После удара шайба массой $m$ начала скользить со скоростью $v_0$ вверх по плоскости, установленной под углом $\alpha$ к горизонту. Коэффициент трения шайбы о плоскость равен $\mu$. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$А)$ модуль ускорения при движении шайбы вверх
$Б)$ модуль силы трения
ФОРМУЛЫ
$1)$ $g(\sin \alpha- \mu \cos \alpha)$
$2)$ $\mu mg \cos \alpha$
$3)$ $\mu mg \sin \alpha$
$4)$ $g(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Определим силы, действующие на шайбу:
Сила тяжести: $F_g = mg$, направлена вертикально вниз.
Сила трения: $F_{\text{тр}}$, направлена против движения шайбы (вниз по наклонной плоскости).
Сила реакции опоры: $N$, направлена перпендикулярно плоскости.
Разложим силу тяжести на составляющие:
Вдоль наклонной плоскости: $F_{g\parallel} = mg \sin \alpha$.
Перпендикулярно плоскости: $F_{g\perp} = mg \cos \alpha$.
Найдем силу реакции опоры:
Поскольку шайба не движется перпендикулярно плоскости, сумма сил вдоль оси $Oy$ равна нулю:
$$N = F_{g\perp} = mg \cos \alpha $$Найдем силу трения:
Сила трения определяется как:
$$F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg \cos \alpha.$$ Это соответствует формуле $2.$
Определим ускорение шайбы:
Вдоль наклонной плоскости (ось $Ox$) действуют две силы: $F_{g\parallel}$ и $F_{\text{тр}}$, обе направлены вниз по плоскости. По второму закону Ньютона:
$$ma = F_{g\parallel} + F_{\text{тр}} = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha. $$ Отсюда ускорение:
$$a = g \sin \alpha + \mu g \cos \alpha = g (\sin \alpha + \mu \cos \alpha). $$ Это соответствует формуле $4.$
Установим соответствие:
$А)$ модуль ускорения: $4.$
$Б)$ модуль силы трения: $2.$
20
Грузовик, движущийся по прямой горизонтальной дороге со скоростью $v$, затормозил так, что колеса перестали вращаться. Масса грузовика $m$, коэффициент трения колес о дорогу $\mu$. Формулы $A$ и $B$ позволяют рассчитать значения физических величин, характеризующих движение грузовика.
Установите соответствие между формулами и физическими величинами, значение которых можно рассчитать по этим формулам. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
ФОРМУЛЫ
$А)$ $mg$
$Б)$ $v^2$
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$1)$ тормозной путь
$2)$ модуль силы давления колес на дорогу
$3)$ модуль силы трения
$4)$ модуль ускорения
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Анализ формулы $A = mg$:
Формула $mg$ представляет собой силу тяжести, действующую на грузовик. На горизонтальной дороге сила реакции опоры $N$ равна силе тяжести, то есть $N = mg$.
Сила давления колес на дорогу равна по модулю силе реакции опоры, поэтому:
$$ \text{Сила давления} = N = mg. $$Таким образом, формула $A$ соответствует модулю силы давления колес на дорогу.
Анализ формулы $B = v^2$:
При торможении грузовика его кинетическая энергия преобразуется в работу силы трения. Кинетическая энергия грузовика:
$$ E_k = \frac{mv^2}{2}. $$Работа силы трения:
$$ A_{\text{тр}} = F_{\text{тр}} \cdot S = \mu mg \cdot S, $$где $S$ — тормозной путь.
По закону сохранения энергии:
$$ \frac{mv^2}{2} = \mu mgS. $$ Отсюда тормозной путь:
$$ S = \frac{v^2}{2\mu g}. $$Видно, что тормозной путь $S$ прямо пропорционален $v^2$, поэтому формула $B$ соответствует тормозному пути.
Проверка других вариантов:
Формула $A = mg$ не связана напрямую с силой трения (вариант $3$) или ускорением (вариант $4$).
Формула $B = v^2$ не описывает ни силу трения, ни ускорение, поэтому другие варианты исключены.
20
После удара в момент времени $t = 0$ шайба начала скользить вверх по гладкой наклонной плоскости с начальной скоростью $\vec{v}_0$, как показано на рисунке. Графики $A$ и $B$ отображают изменение с течением времени физических величин, характеризующих движение шайбы.
Установите соответствие между графиками и физическими величинами, изменение которых со временем эти графики могут отображать ($t_0$ — время движения шайбы по наклонной плоскости). К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
ГРАФИКИ
$А)$
$Б)$
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$1)$ координата $y$
$2)$ проекция импульса $p_x$
$3)$ проекция ускорения $a_y$
$4)$ кинетическая энергия $E_k$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Анализ движения шайбы:
Шайба движется вверх по гладкой наклонной плоскости, значит, трение отсутствует.
На шайбу действуют: сила тяжести $m\vec{g}$ и сила реакции опоры $\vec{N}$.
Разложим силу тяжести на составляющие:
— Вдоль плоскости (ось $x$): $F_{gx} = mg \sin \alpha$.
— Перпендикулярно плоскости (ось $y$): $F_{gy} = mg \cos \alpha$.
Уравнение движения вдоль оси $x$:
$$ma_x = -mg \sin \alpha \implies a_x = -g \sin \alpha. $$Уравнение движения вдоль оси $y$:
$$ a_y = 0,$$ так как шайба не отрывается от плоскости.
График $А$:
График представляет собой горизонтальную линию, что соответствует постоянной величине.
Из предложенных вариантов постоянной величиной является проекция ускорения $a_y = 0.$
Остальные величины (координата $y$, импульс $p_x$, кинетическая энергия $E_k$) изменяются со временем.
График $Б$:
График является перевернутой параболой.
Рассмотрим варианты:
Координата $y$ сначала увеличивается, затем уменьшается, что соответствует графику.
20
После удара в момент времени $t = 0$ шайба начала скользить вверх по гладкой наклонной плоскости со скоростью $v_0$, как показано на рисунке. В момент $t_0$ шайба вернулась в исходное положение. Графики $A$ и $B$ отображают изменение с течением времени физических величин, характеризующих движение шайбы.
Установите соответствие между графиками и физическими величинами, изменение которых со временем эти графики могут отображать. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
ГРАФИКИ
$А)$
$Б)$
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$1)$ полная механическая энергия $E_{\text{мех}}$
$2)$ проекция импульса $p_y$
$3)$ кинетическая энергия $E_k$
$4)$ координата $y$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Анализ движения шайбы:
Движение происходит по гладкой наклонной плоскости (трение отсутствует).
Силы, действующие на шайбу:
— Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
— Сила реакции опоры $\vec{N}$, перпендикулярная плоскости.
Разложим силу тяжести на составляющие:
— Вдоль плоскости (ось $x$): $F_{gx} = mg \sin \alpha$.
— Перпендикулярно плоскости (ось $y$): $F_{gy} = mg \cos \alpha$.
Ускорение шайбы:
— Вдоль оси $x$: $a_x = -g \sin \alpha$ (замедление при движении вверх).
— Вдоль оси $y$: $a_y = 0$ (нет движения перпендикулярно плоскости).
График $А$:
Графиком является перевернутая парабола, она начинается с нуля, в середине движения наблюдается ее максимум, а затем, убывание. Такой график соответствует изменению координаты $y.$
График $Б$:
Описание: график линейно изменяется от положительного значения до отрицательного за время $t_0$.
Энергия не может быть отрицательной. Остается проекция импульса.
20
На рисунке показан график зависимости координаты $x$ тела, движущегося вдоль оси $O_x$, от времени $t$ (парабола). Графики $A$ и $B$ представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени $t$. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
ГРАФИКИ
$А)$
$Б)$
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$1)$ модуль импульса тела
$2)$ кинетическая энергия тела
$3)$ модуль ускорения тела
$4)$ проекция скорости тела на ось $Ox$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Анализ графика координаты $x(t)$:
График $x(t)$ — парабола, что соответствует равноускоренному движению:
$$ x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$$Тело движется с постоянным ускорением $a_x.$
Определение скорости и ускорения:
Скорость: $$ v_x(t) = \frac{dx}{dt} = v_{0x} + a_x t $$ Это линейная функция времени.
Ускорение: $$ a_x = \text{const} $$
График $Б$:
График $Б$ — линейная функция, пересекающая ось времени. Это соответствует зависимости $v_x(t).$
Таким образом, график $Б$ представляет проекцию скорости тела на ось $Ox.$
График $А$:
График $А$ — парабола, пересекающая ось времени. Рассмотрим варианты:
$1)$ Модуль импульса $|\vec{p}| = m|v_x|$ — не может быть параболой, так как $v_x(t)$ линейна, а $|v_x(t)|$ будет состоять из двух линейных участков.
$ 2)$ Кинетическая энергия $E_k = \frac{m v_x^2}{2}$ — квадратичная функция скорости, то есть парабола.
$ 3)$ Модуль ускорения $|\vec{a}|$ — постоянная величина, не может быть параболой.
Вывод: график $ А$ соответствует кинетической энергии тела.
20
Тело массой $200\ г$ движется вдоль оси $O_x$, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой $x(t) = 10 + 5t- 3t^2$ (все величины выражены в СИ). Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их изменения во времени. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$А)$ проекция $v_x(t)$ скорости тела
$Б)$ проекция $F_x(t)$ равнодействующей сил, приложенных к телу
ФОРМУЛЫ
$1)$ $5- 6t$
$2)$ $-1.2$
$3)$ $-3$
$4)$ $10 + 5t$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Анализ уравнения движения.
Уравнение координаты тела:
$$x(t) = 10 + 5t- 3t^2 $$Сравним его с общим видом уравнения равноускоренного движения:
$$x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$$Из сравнения получаем:
Начальная координата: $x_0 = 10\ м.$
Начальная скорость: $v_{0x} = 5\ м/с.$
Ускорение: $\frac{a_x}{2} = -3 \implies a_x = -6\ м/с².$
Определение проекции скорости $v_x(t)$:
Скорость — это производная координаты по времени:
$$v_x(t) = \frac{dx}{dt} = 5- 6t.$$Таким образом, проекция скорости соответствует формуле $5- 6t.$
Определение проекции силы $F_x(t)$:
По второму закону Ньютона:
$$ F_x = m a_x $$Масса тела: $m = 200$ г $= 0.2\ кг.$
Ускорение: $a_x = -6\ м/с².$
Подставляем значения:
$$ F_x = 0.2 \cdot (-6) = -1.2 \text{ Н} $$Проекция силы постоянна и равна $-1.2.$
20
Тело массой $200\ г$ совершает гармонические колебания вдоль оси $Ox,$ при этом его координата изменяется во времени в соответствии с законом $x(t) = 0.03 \cdot \cos(10t).$
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимость от времени.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$А)$ проекция импульса тела $p_x(t)$
$Б)$ потенциальная энергия пружины $E_n(t)$
ФОРМУЛЫ
$1)$ $0.6 \sin^2(10t)$
$2)$ $9 \cdot 10^{-3} \cos^2(10t)$
$3)$ $-0.06 \sin(10t)$
$4)$ $0.09 \cos(20t)$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Анализ уравнения движения.
Уравнение координаты тела:
$$x(t) = 0.03 \cdot \cos(10t) $$Это уравнение гармонических колебаний с амплитудой $A = 0.03\ м$ и циклической частотой $\omega = 10\ рад/с.$
Определение проекции скорости $v_x(t).$
Скорость — это производная координаты по времени:
$$v_x(t) = \frac{dx}{dt} = -0.03 \cdot 10 \cdot \sin(10t) = -0.3 \sin(10t) $$
Определение проекции импульса $p_x(t).$
Импульс тела:
$$ p_x(t) = m v_x(t) = 0.2 \cdot (-0.3 \sin(10t)) = -0.06 \sin(10t)$$Это соответствует формуле $-0.06 \sin(10t).$
Определение потенциальной энергии пружины $E_n(t).$
Циклическая частота связана с жесткостью пружины $k$:
$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \implies k = m \omega^2 = 0.2 \cdot 10^2 = 20 \text{ Н/м} $$
Потенциальная энергия пружины: $$E_n(t) = \frac{k x^2(t)}{2} = \frac{20 \cdot (0.03 \cos(10t))^2}{2} = 10 \cdot 0.0009 \cos^2(10t) = 9 \cdot 10^{-3} \cos^2(10t) $$Это соответствует формуле $9 \cdot 10^{-3} \cos^2(10t).$
20
Шарик брошен вертикально вверх с начальной скоростью $v_0.$ Считая сопротивление воздуха малым, установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
ГРАФИКИ
$А)$
$Б)$
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$1)$ координата шарика
$2)$ проекция скорости $v_y$
$3)$ потенциальная энергия шарика
$4)$ проекция силы тяжести, действующей на шарик
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Анализ движения шарика.
Ускорение свободного падения: $a_y = -g = \text{const}$
Скорость: $v_y(t) = v_0- gt.$
Координата: $y(t) = v_0 t- \frac{gt^2}{2}.$
Сила тяжести: $F_{gy} = -mg = \text{const}.$
График $А.$
Линейная зависимость от $v_0$ до $-v_0.$
Соответствует изменению проекции скорости: $v_y(t) = v_0- gt.$
Ответ: проекция скорости.
График $Б.$
Горизонтальная прямая ниже оси.
Постоянная отрицательная величина.
Соответствует проекции силы тяжести: $F_{gy} = -mg.$
Ответ: проекция силы тяжести.
20
Тело брошено с горизонтальной поверхности со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. В течение времени $t$ тело поднимается на максимальную высоту, а затем падает на расстоянии $S$ от точки броска. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Установите соответствие между физическими величинами и формулами для их расчета.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$А)$ Время подъема $t$ на максимальную высоту
$Б)$ Расстояние $S$ от точки броска до точки падения
ФОРМУЛЫ
$1)$ $\frac{v^2 \sin^2 \alpha}{2g}$
$2)$ $\frac{v \cos^2 \alpha}{g}$
$3)$ $\frac{v^2 \sin 2\alpha}{g}$
$4)$ $\frac{v \sin \alpha}{g}$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Анализ движения тела.
Движение можно разложить на горизонтальную ($x$) и вертикальную ($y$) составляющие.
Начальная скорость:
— Горизонтальная: $v_x = v \cos \alpha.$
— Вертикальная: $v_y = v \sin \alpha.$
Расчет времени подъема.
В верхней точке траектории вертикальная скорость $v_y = 0$.
Уравнение для вертикальной скорости: $v_y(t) = v \sin \alpha- gt$.
Время подъема до максимальной высоты:
$$ t = \frac{v \sin \alpha}{g}. $$Это соответствует формуле $4.$
Расчет дальности полета.
Полное время полета: $2t = \frac{2v \sin \alpha}{g}.$
Горизонтальная составляющая скорости постоянна: $v_x = v \cos \alpha.$
Дальность полета:
$$S = v_x \cdot 2t = v \cos \alpha \cdot \frac{2v \sin \alpha}{g} = \frac{v^2 \sin 2\alpha}{g}. $$Это соответствует формуле $3.$
20
Тело брошено с горизонтальной поверхности со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. В течение времени $t$ тело поднимается на максимальную высоту $h$, после чего начинает падать. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Установите соответствие между физическими величинами и формулами для их расчета.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$А)$ время подъема $t$ на максимальную высоту
$Б)$ максимальная высота $h$ над горизонтом
ФОРМУЛЫ
$1)$ $\frac{v^2 \sin^2 \alpha}{2g}$
$2)$ $\frac{v \cos^2 \alpha}{g}$
$3)$ $\frac{2v \sin \alpha}{g}$
$4)$ $\frac{v \sin \alpha}{g}$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Анализ движения тела.
Движение можно разложить на горизонтальную ($x$) и вертикальную ($y$) составляющие.
Начальная скорость:
— Горизонтальная: $v_x = v \cos \alpha.$
— Вертикальная: $v_y = v \sin \alpha.$
Расчет времени подъема.
В верхней точке траектории вертикальная скорость $v_y = 0.$
Уравнение для вертикальной скорости: $v_y(t) = v \sin \alpha- gt.$
Время подъема до максимальной высоты:
$$ t = \frac{v \sin \alpha}{g} $$Это соответствует формуле $4.$
Расчет максимальной высоты.
Используем уравнение для вертикального перемещения:
$$y(t) = v \sin \alpha \cdot t- \frac{gt^2}{2} $$Подставляем время подъема $t = \frac{v \sin \alpha}{g}$:
$$ h = v \sin \alpha \left(\frac{v \sin \alpha}{g}\right)- \frac{g}{2} \left(\frac{v \sin \alpha}{g}\right)^2 = \frac{v^2 \sin^2 \alpha}{2g} $$Это соответствует формуле $1.$
20
Два пластилиновых шарика массами $2m$ и $m$ находятся на горизонтальном гладком столе. Первый шарик движется ко второму со скоростью $\vec{v}$, а второй покоится. Укажите формулы для расчета модулей изменения скоростей шариков после их абсолютно неупругого удара.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$А)$ модуль изменения скорости первого шарика
$Б)$ модуль изменения скорости второго шарика
ФОРМУЛЫ
$1)$ $|\Delta \vec{v}| = 2v$
$2)$ $|\Delta \vec{v}| = \frac{1}{3}v$
$3)$ $|\Delta \vec{v}| = 3v$
$4)$ $|\Delta \vec{v}| = \frac{2}{3}v$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Закон сохранения импульса.
До удара: $$p_{\text{нач}} = 2m \cdot v + m \cdot 0 = 2mv$$После неупругого удара шарики слипаются: $$p_{\text{кон}} = (2m + m)V = 3mV$$Из закона сохранения импульса: $$2mv = 3mV \Rightarrow V = \frac{2v}{3}$$
Изменение скорости первого шарика.
Начальная скорость: $v.$
Конечная скорость: $\frac{2v}{3}.$
Изменение скорости: $$|\Delta v_1| = |\frac{2v}{3}- v| = \frac{v}{3}$$Соответствует формуле $2).$
Изменение скорости второго шарика.
Начальная скорость: $0.$
Конечная скорость: $\frac{2v}{3}.$
Изменение скорости: $$|\Delta v_2| = \frac{2v}{3}- 0 = \frac{2v}{3}$$Соответствует формуле $4).$
20
Два пластилиновых шарика массами $m$ и $2m$ находятся на горизонтальном гладком столе. Первый шарик движется ко второму со скоростью $\vec{v},$ а второй покоится. Установите соответствие между физическими величинами и формулами для расчета модулей изменения скоростей шариков после абсолютно неупругого удара.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$А)$ модуль изменения скорости первого шарика
$Б)$ модуль изменения скорости второго шарика
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
$1)$ $|\Delta \vec{v}| = v$
$2)$ $|\Delta \vec{v}| = \frac{2}{3}v$
$3)$ $|\Delta \vec{v}| = 2v$
$4)$ $|\Delta \vec{v}| = \frac{1}{3}v$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Применение закона сохранения импульса.
До удара: $$p_{\text{нач}} = m \cdot v + 2m \cdot 0 = mv$$После неупругого удара (шарики слипаются): $$p_{\text{кон}} = (m + 2m)V = 3mV$$Из закона сохранения: $$mv = 3mV \Rightarrow V = \frac{v}{3}$$ Расчет изменения скорости первого шарика.
Начальная скорость: $v.$
Конечная скорость: $\frac{v}{3}.$
Изменение скорости: $$|\Delta v_1| = v- \frac{v}{3} = \frac{2}{3}v$$Соответствует формуле $2)$
Расчет изменения скорости второго шарика.
Начальная скорость: $0.$
Конечная скорость: $\frac{v}{3}.$
Изменение скорости: $$|\Delta v_2| = \frac{v}{3}- 0 = \frac{v}{3}$$Соответствует формуле $4)$
20
Тело брошено со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. В течение времени $t$ оно поднимается на максимальную высоту $h$, после чего начинает падать. Сопротивление воздуха отсутствует. Установите соответствие между физическими величинами и формулами для их расчета.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$А)$ время подъема $t$ на максимальную высоту
$Б)$ максимальная высота $h$ над горизонтом
ФОРМУЛЫ
$1)$ $\frac{v^2 \sin^2 \alpha}{2g}$
$2)$ $\frac{v \cos^2 \alpha}{g}$
$3)$ $\frac{v^2 \sin 2\alpha}{2g}$
$4)$ $\frac{v \sin \alpha}{g}$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Разложение начальной скорости.
Горизонтальная составляющая: $v_x = v \cos \alpha$ (постоянна).
Вертикальная составляющая: $v_y = v \sin \alpha$ (изменяется под действием силы тяжести).
Расчет времени подъема.
В верхней точке траектории вертикальная скорость $v_y = 0.$
Уравнение для вертикальной скорости: $v_y(t) = v \sin \alpha- gt.$
Время подъема определяется из условия $v_y(t) = 0$:
$$t = \frac{v \sin \alpha}{g}$$Это соответствует формуле $4.$
Расчет максимальной высоты.
Используем уравнение движения по вертикали: $$y(t) = v \sin \alpha \cdot t- \frac{gt^2}{2}$$Подставляем время подъема $t = \frac{v \sin \alpha}{g}$:
$$h = v \sin \alpha \left(\frac{v \sin \alpha}{g}\right)- \frac{g}{2}\left(\frac{v \sin \alpha}{g}\right)^2 = \frac{v^2 \sin^2 \alpha}{2g}$$Это соответствует формуле $1.$
20
Тело массой $200\ г$ движется вдоль оси $Ox,$ при этом его координата изменяется по закону $x(t) = 10 + 5t- 3t^2.$ Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$А)$ кинетическая энергия тела $E_K(t)$
$Б)$ перемещение тела $S(t)$
ФОРМУЛЫ
$1)$ $10 + 5t$
$2)$ $0.1(5 + 6t)^2$
$3)$ $2.5- 6t + 3.6t^2$
$4)$ $5t- 3t^2$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Анализ уравнения движения.
Сравниваем с общим видом: $$x(t) = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$$Получаем параметры:
— Начальная координата: $x_0 = 10\ м$
— Начальная скорость: $v_0 = 5\ м/с$
— Ускорение: $a = -6\ м/с²$
Расчет скорости.
$v(t) = v_0 + at = 5- 6t\ м/с$
Кинетическая энергия.
Формула: $$E_K(t) = \frac{mv^2}{2} = \frac{0.2 \cdot (5- 6t)^2}{2} =$$ $$= 0.1(25- 60t + 36t^2) = 2.5- 6t + 3.6t^2$$ Соответствует формуле $3.$
Перемещение.
Перемещение = текущая координата — начальная координата.
$$S(t) = x(t)- x_0 = (10 + 5t- 3t^2)- 10 = 5t- 3t^2$$Соответствует формуле $4.$
20
В момент времени $t = 0$ мячик бросают с балкона высотой $h$ со скоростью $\vec{v}_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Графики $A$ и $B$ показывают зависимости физических величин от времени $t$ в процессе полета. Сопротивление воздуха отсутствует. Установите соответствие между графиками и физическими величинами.
ГРАФИКИ
$А)$
$Б)$
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$1)$ проекция импульса на ось $y$
$2)$ кинетическая энергия
$3)$ модуль ускорения
$4)$ потенциальная энергия
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Анализ движения.
Горизонтальная скорость: $v_x = v_0 \cos \alpha = \text{const}.$
Вертикальная скорость: $v_y(t) = v_0 \sin \alpha- gt.$
Координата $y$: $y(t) = h + v_0 \sin \alpha \cdot t- \frac{gt^2}{2}.$
График $А.$
Модуль ускорения $|a| = g = \text{const}$ $→$ соответствует $3$
Другие варианты:
— Импульс $p_y$ линейно изменяется (не подходит).
— Энергии изменяются нелинейно (не подходят).
График $Б.$
Кинетическая энергия:
$$E_K(t) = \frac{m(v_x^2 + v_y^2)}{2} = \frac{m(v_0^2 \cos^2 \alpha + (v_0 \sin \alpha- gt)^2)}{2}$$
Квадратичная зависимость от $t$ $→$ соответствует $2.$
Потенциальная энергия дает параболу с ветвями вниз (не подходит).
20
Материальная точка движется по окружности радиусом $R$ с постоянной линейной скоростью $v$. Установите соответствие между физическими величинами, характеризующими движение точки, и формулами для их расчета.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
$А)$ частота обращения
$Б)$ угловая скорость движения
ФОРМУЛЫ
$1)$ $\frac{v}{2\pi R}$
$2)$ $v^2$
$3)$ $\frac{2\pi R}{v}$
$4)$ $\frac{v}{R}$
| $А$ | $Б$ |
|---|---|
Основные понятия кругового движения.
Линейная скорость $v$ связана с угловой скоростью $\omega$: $$v = \omega R$$Период обращения $T$ — время одного полного оборота.
Частота $\nu$ — количество оборотов в единицу времени: $$\nu = 1/T$$
Расчет частоты обращения $ (А).$
Период обращения: $$T = \frac{2\pi R}{v}$$Частота: $$\nu = \frac{1}{T} = \frac{v}{2\pi R}$$Соответствует формуле $1.$
Расчет угловой скорости $(Б).$
Из связи линейной и угловой скорости: $$\omega = \frac{v}{R}$$Соответствует формуле $4.$
20