6. Механика: все задания

Время полета:
Формула времени падения: $$t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$$Время зависит только от высоты $H$ и ускорения свободного падения $g.$
При уменьшении $v_0$ время не изменится.

Дальность полета:
Формула дальности: $$L = v_0 t$$При уменьшении $v_0$ в $2$ раза ($v_0′ = \frac{v_0}{2}$)
Новая дальность: $$L’ = \frac{v_0}{2} t = \frac{L}{2}$$ Дальность уменьшится.

Глубина погружения ($h_{\text{погр}}$):
Условие плавания: $F_A = mg.$
Объем погруженной части: $V_{\text{погр}} = \frac{m}{\rho_{\text{воды}}}.$
Площадь основания $S$ нового бруска больше (так как масса больше при тех же $\rho$ и $h$).
Глубина погружения: $h_{\text{погр}} = \frac{V_{\text{погр}}}{S} = \frac{m}{\rho_{\text{воды}}S}.$
Поскольку и $m$ и $S$ увеличились пропорционально ($m = \rho Sh$), глубина не изменится.

Сила Архимеда:
По условию плавания $F_A = mg.$
При увеличении массы $m$ сила Архимеда увеличится.

Орбитальная скорость ($v$):
Формула орбитальной скорости: $$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$где $r = R_{\text{Земли}} + h$
При увеличении $h$ с $400$ до $500\ км$ радиус $r$ увеличивается
Скорость уменьшается (обратно пропорциональна корню из радиуса).

Потенциальная энергия ($E_p$):
Формула потенциальной энергии: $$E_p = -\frac{GMm}{r}$$При увеличении $r$ абсолютное значение $E_p$ уменьшается, но сама энергия становится менее отрицательной (то есть увеличивается).

Сила тяжести ($F_т$):
Формула силы тяжести: $$F_т = mg$$Масса шарика $m$ и ускорение свободного падения $g$ остаются постоянными.
Сила тяжести не изменится.

Глубина погружения ($h_{погр}$):
Условие плавания: $$F_т = F_A = \rho_{ж} g V_{погр}$$Объем погруженной части: $$V_{погр} = \frac{m}{\rho_{ж}}$$Плотность керосина $\rho_{кер} \approx 800\,\text{кг/м}^3$ меньше плотности воды $\rho_{воды} \approx 1000\,\text{кг/м}^3.$
При меньшей $\rho_{ж}$ объем $V_{погр}$ должен увеличиться, чтобы сохранить равенство сил.
Глубина погружения увеличится.

Сила нормального давления ($N$):
Формула нормальной реакции: $$N = mg\cos\alpha$$При увеличении угла $\alpha$ значение $\cos\alpha$ уменьшается.
Сила нормального давления уменьшается.

Коэффициент трения ($\mu$):
Коэффициент трения покоя $\mu$ зависит только от свойств соприкасающихся поверхностей.
Не зависит от угла наклона или приложенных сил.
Коэффициент трения не изменится.

Модуль работы силы трения ($A_{тр}$):
Сила трения: $F_{тр} = \mu N = \mu mg\cos\alpha.$
После снятия груза масса $m$ уменьшается.
Работа: $A_{тр} = F_{тр} \cdot S = \mu mg\cos\alpha \cdot S.$
Работа силы трения уменьшается .

Коэффициент трения ($\mu$):
Коэффициент трения зависит только от материалов поверхностей.
Не зависит от массы или других параметров.
Коэффициент трения не изменится.

Сила притяжения ($F$):
По второму закону Ньютона: $$F = ma$$Центростремительное ускорение $a$ увеличилось.
Масса $m$ спутника постоянна.
Сила притяжения увеличивается.

Орбитальная скорость ($v$):
Центростремительное ускорение: $$a = \frac{v^2}{R}$$При увеличении $a$ и уменьшении $R$ (так как $a = \frac{GM}{R^2}$).
Скорость: $$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$При уменьшении радиуса $R$ скорость увеличивается.

Орбитальная скорость ($v$):
Формула орбитальной скорости: $$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$ где $R = R_{Земли} + h.$
При увеличении высоты $h$ с $300$ до $500\ км$:
— Начальный радиус: $R_1 = 6371 + 300 = 6671\ км$
— Конечный радиус: $R_2 = 6371 + 500 = 6871\ км$
Так как $R_2 > R_1$, то $v_2 < v_1$
Скорость уменьшается.

Потенциальная энергия ($E_p$):
Формула потенциальной энергии: $$E_p = -\frac{GMm}{R}$$При увеличении $R$ значение $E_p$ становится менее отрицательным.
Потенциальная энергия увеличивается.

Время полета ($t$):
Формула времени падения: $$t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$$Время зависит только от высоты $H$ и ускорения свободного падения $g.$
Масса и начальная скорость не влияют на время падения.
Время полета не изменится.

Дальность полета ($L$):
Формула дальности: $$L = v_0 t$$В новом опыте начальная скорость увеличилась в $2$ раза.
Время $t$ осталось прежним.
Дальность полета увеличится в $2$ раза.

Максимальная высота подъема.
Формула высоты: $$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$$При увеличении угла с $20°$ до $30°$:
— $\sin 20° \approx 0.342$
— $\sin 30° = 0.5$
Так как $\sin \alpha$ увеличился, высота увеличится.

Время полета.
Формула времени: $$t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$$При увеличении $\sin \alpha$ время полета увеличится.

Сила Архимеда.
Условие плавания: $$F_A = mg$$Масса $m$ не изменилась
Сила Архимеда не изменится.

Глубина погружения.
Объем погруженной части: $$V_{\text{погр}} = \frac{m}{\rho_{\text{воды}}}$$Глубина погружения: $$h_{\text{погр}} = \frac{V_{\text{погр}}}{S} = \frac{m}{\rho_{\text{воды}} S}$$ Поскольку $m$, $\rho_{\text{воды}}$ и $S$ постоянны
Глубина погружения не изменится.

Радиус орбиты.
Формула орбитальной скорости: $$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$При увеличении $v$ радиус $R$ уменьшается.

Период обращения.
Формула периода: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$Так как $R$ уменьшился, $T$ также уменьшится.

Импульс спортсмена.
Формула импульса: $$\vec{p} = m\vec{v}$$Скорость $v$ постоянна, масса $m$ не меняется
Импульс не изменяется.

Потенциальная энергия.
Формула потенциальной энергии: $$E_p = mgh$$Высота $h$ уменьшается при спуске
Потенциальная энергия уменьшается.

Время подъема.
Формула времени подъема: $$t_{\text{под}} = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}$$При уменьшении $v_0$ время подъема уменьшается.

Ускорение камня.
Ускорение свободного падения $g = 9.8\,\text{м/с}^2$ постоянно
Ускорение не изменяется.

Ускорение бруска.
Уравнение движения вдоль плоскости: $$mg\sin\alpha- F_{тр} = ma$$Сила трения: $$F_{тр} = \mu N = \mu mg\cos\alpha$$ Подстановка дает: $$a = g(\sin\alpha- \mu\cos\alpha)$$ Ускорение не зависит от массы.

Сила трения.
Формула силы трения: $$F_{тр} = \mu mg\cos\alpha$$При увеличении массы в $3$ раза ($m \rightarrow 3m$)
Сила трения увеличится в $3$ раза.

Время полета.
Формула времени полета: $$t_{\text{пол}} = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$$Значения синусов:
— $\sin 20^\circ \approx 0.342$
— $\sin 30^\circ = 0.5$
Время полета увеличится.

Дальность полета.
Формула дальности: $$L = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$$Значения двойных углов:
— $\sin 40^\circ \approx 0.643$
— $\sin 60^\circ \approx 0.866$
Дальность полета увеличится.

Орбитальная скорость.
Центростремительное ускорение: $$a = \frac{v^2}{R} = \frac{GM}{R^2}$$Из равенства: $$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$При увеличении $a$ радиус $R$ уменьшается.
Скорость увеличивается.

Период обращения.
Формула периода: $$T = \frac{2\pi R}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$При уменьшении $R$ и увеличении $v$ период уменьшается.

Сила Архимеда.
Условие плавания: $$F_A = mg$$Масса шарика $m$ постоянна.
Сила Архимеда не изменится.

Глубина погружения.
Объем погруженной части: $$V_{\text{погр}} = \frac{m}{\rho_{\text{жидк}}}$$Плотность воды ($\rho_{\text{воды}} \approx 1000\,\text{кг/м}^3$) больше плотности масла ($\rho_{\text{масла}} \approx 900\,\text{кг/м}^3$)
Глубина погружения: $$h_{\text{погр}} = \frac{V_{\text{погр}}}{S} = \frac{m}{\rho_{\text{жидк}} S}$$При переходе в более плотную жидкость глубина уменьшается.

Линейная скорость.
Формула орбитальной скорости: $$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$ Радиус орбиты: $R = R_{Земли} + h.$
При уменьшении $h$ с $400$ до $300\ км$:
— Начальный радиус: $R_1 = 6371 + 400 = 6771\ км.$
— Конечный радиус: $R_2 = 6371 + 300 = 6671\ км.$
Скорость увеличивается при уменьшении $R.$

Период обращения.
Формула периода: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$ При уменьшении $R$ период уменьшается.
Также можно выразить: $$T = \frac{2\pi R}{v}$$Уменьшение $R$ и увеличение $v$ приводят к уменьшению $T.$

Орбитальная скорость.
Формула скорости: $$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$Радиус орбиты: $R = R_{Земли} + h.$
При увеличении $h$ со $100$ до $300\ км$:
— Начальный радиус: $R_1 = 6371 + 100 = 6471\ км$
— Конечный радиус: $R_2 = 6371 + 300 = 6671\ км$
Скорость уменьшается.

Центростремительное ускорение.
Формула ускорения: $$a = \frac{GM}{R^2}$$При увеличении $R$ ускорение уменьшается.