4. Статика. Механические колебания и волны: Пружинный и математический маятники, колебания

Формула частоты колебаний:
$$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} $$
2. Зависимость частоты от жесткости:
Частота пропорциональна квадратному корню из жесткости:
$$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}} $$
3. Условие изменения частоты:
По условию $ \nu_2 = \frac{\nu_1}{2} ,$ следовательно:
$$2 = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}} \Rightarrow 4 = \frac{k_1}{k_2}$$
4. Расчет новой жесткости:
$$k_2 = \frac{k_1}{4} = \frac{400\,\text{Н/м}}{4} = 100\,\text{Н/м}$$

Потенциальная энергия пружинного маятника:
$$W_p = \frac{kx^2}{2} = \frac{kA^2}{2}\cos^2\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$$
2. Начальное условие:
При $t = 0$: $W_p(0) = \frac{kA^2}{2}$
3. Условие равенства энергий:
Требуется найти минимальное $t > 0$, при котором:
$$\cos^2\left(\frac{2\pi}{T}t\right) = 1$$
4. Решение уравнения:
$$\frac{2\pi}{T}t = \pi \Rightarrow t = \frac{T}{2} = 0.5\,\text{с}$$
5. Физическая интерпретация:
Через половину периода груз оказывается в симметричном положении ($x = -A$), где потенциальная энергия такая же, как в начальный момент.

Формула периода колебаний:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
2. Исходные параметры:
$$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 0.5\,\text{с}$$
3. Новые параметры:
— Масса: $m_2 = 2m$
— Жесткость: $k_2 = \frac{k}{2}$

4. Расчет нового периода:
$$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k/2}} = 2\pi\sqrt{\frac{4m}{k}} = 2 \cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2T_1$$
5. Вычисление:
$$T_2 = 2 \cdot 0.5\,\text{с} = 1\,\text{с}$$

Формула периода колебаний:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
2. Связь периодов:
$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$$
3. Условие изменения периода:
$$\frac{T_1}{T_1/2} = 2 = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$$
4. Вывод соотношения масс:
$$4 = \frac{m_1}{m_2} \Rightarrow m_2 = \frac{m_1}{4}$$
5. Расчет новой массы:
$$m_2 = \frac{0.4\,\text{кг}}{4} = 0.1\,\text{кг}$$

Формула периода колебаний:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
2. Связь периодов и жесткостей:
$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$$
3. Условие изменения периода:
$$\frac{T_1}{T_1/2} = 2 = \sqrt{\frac{k_2}{400}}$$
4. Вывод соотношения жесткостей:
$$4 = \frac{k_2}{400} \Rightarrow k_2 = 4 \cdot 400 = 1\ 600\,\text{Н/м}$$

Формула частоты колебаний:
$$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$
2. Связь частот и масс:
$$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$$
3. Условие изменения частоты:
$$\frac{\nu_1}{\nu_1/2} = 2 = \sqrt{\frac{m_2}{0.16}}$$
4. Вывод соотношения масс:
$$4 = \frac{m_2}{0.16} \Rightarrow m_2 = 4 \cdot 0.16 = 0.64\,\text{кг}$$

Анализ уравнения движения:
Уравнение координаты маятника задано как:
$$ x = A \sin \left( \frac{2\pi}{T} t \right).$$Поскольку в начальный момент времени $(t = 0)$ синус равен нулю $(\sin(0) = 0),$ маятник находится в положении равновесия $(x = 0).$

2. Кинетическая энергия маятника:
Кинетическая энергия минимальна в крайних точках траектории, где скорость маятника равна нулю. В этих точках смещение достигает амплитуды:
$$x = A \quad \text{или} \quad x = -A. $$
3. Нахождение времени:
Для достижения первой крайней точки $(x = A)$ должно выполняться условие:
$$\sin \left( \frac{2\pi}{T} t \right) = 1. $$Решаем уравнение:
$$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{T}{4}.$$Подставляем значение периода $T = 2 \, \text{с}$: $$ t = \frac{2}{4} = 0,5 \, \text{с}. $$

Анализ уравнения движения:
Уравнение координаты маятника имеет вид:
$$x = A \sin \left( \frac{2\pi}{T} t \right).$$ При $t = 0$: $$\sin(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0.$$ Это означает, что в начальный момент времени груз находится в положении равновесия, где его скорость (и кинетическая энергия) максимальна.

2. Кинетическая энергия маятника:
Кинетическая энергия минимальна в крайних точках траектории, где скорость груза равна нулю. В этих точках смещение достигает амплитуды:
$$x = A \quad \text{или} \quad x = -A.$$
3. Нахождение времени:
Для достижения первой крайней точки $(x = A)$ должно выполняться условие:
$$\sin \left( \frac{2\pi}{T} t \right) = 1.$$ Решаем уравнение:
$$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{T}{4}.$$ Подставляем значение периода $T = 1 \, \text{с}$: $$t = \frac{1}{4} = 0.25 \, \text{с}.$$

Анализ уравнения движения:
Уравнение координаты маятника имеет вид:
$$x = A \cos \left( \frac{2\pi}{T} t \right).$$ При $t = 0$:
$$\cos(0) = 1 \quad \Rightarrow \quad x = A.$$ Это означает, что в начальный момент времени груз находится в крайней точке траектории, где его скорость (и кинетическая энергия) равна нулю.

2. Кинетическая энергия маятника:
Кинетическая энергия максимальна в положении равновесия $(x = 0),$ где скорость груза достигает наибольшего значения.

3. Нахождение времени:
Для достижения положения равновесия $(x = 0)$ должно выполняться условие:
$$\cos \left( \frac{2\pi}{T} t \right) = 0.$$ Первое решение этого уравнения:
$$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{T}{4}.$$ Подставляем значение периода $T = 0.4 \, \text{с}$:
$$t = \frac{0.4}{4} = 0.1 \, \text{с}.$$

Выражение для потенциальной энергии:
Потенциальная энергия упругой деформации пружины определяется формулой:
$$E_p = \frac{kx^2}{2},$$
где $k$- коэффициент жесткости пружины.

2. Подстановка уравнения движения:
Подставляя выражение для смещения $x$, получаем:
$$E_p = \frac{kA^2}{2}\cos^2\left(\frac{2\pi t}{T}\right).$$
3. Преобразование тригонометрического выражения:
Используя тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos2\alpha}{2}$, преобразуем выражение для энергии:
$$E_p = \frac{kA^2}{4}\left(1 + \cos\left(\frac{4\pi t}{T}\right)\right).$$
4. Анализ минимума потенциальной энергии:
Минимальное значение потенциальной энергии достигается, когда $\cos\left(\frac{4\pi t}{T}\right) = -1$. Это происходит при:
$$\frac{4\pi t}{T} = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$
5. Нахождение минимального положительного времени:
Для первого минимума $(n = 0)$:
$$\frac{4\pi t}{T} = \pi \Rightarrow t = \frac{T}{4}.$$
6. Подстановка численного значения:
При $T = 1\,\text{с}$ получаем:
$$t = \frac{1}{4} = 0.25\,\text{с}.$$

Формула периода математического маятника:
Период колебаний математического маятника определяется выражением:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},$$где:
— $l$ — длина нити,
— $g$ — ускорение свободного падения.

2. Анализ зависимости периода от параметров:
Из формулы видно, что период колебаний:
— Пропорционален квадратному корню из длины нити $(T \sim \sqrt{l}),$
— Не зависит от массы шарика.

3. Изменение длины нити:
Исходная длина нити: $l_0$,
Новая длина нити: $l_1 = 6.25l_0$.

Отношение периодов:
$$\frac{T_1}{T_0} = \sqrt{\frac{l_1}{l_0}} = \sqrt{6.25} = 2.5.$$
4. Влияние изменения массы:
Поскольку период не зависит от массы, изменение массы в $1.5$ раза не влияет на результат.

5. Итоговый ответ:
Период колебаний увеличится в $2.5$ раза.

Формула периода колебаний:
Период колебаний математического маятника определяется выражением:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},$$где:
— $l$ — длина нити,
— $g$ — ускорение свободного падения.

2. Зависимость периода от длины:
Из формулы видно, что период $T$ пропорционален квадратному корню из длины нити:
$$T \sim \sqrt{l}.$$
3. Изменение длины нити:
Исходная длина нити: $l_0$,
Новая длина нити: $l_1 = \frac{l_0}{4}$.

4. Расчет изменения периода:
Отношение периодов до и после изменения длины:
$$\frac{T_1}{T_0} = \sqrt{\frac{l_1}{l_0}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}.$$
5. Итоговый вывод:
Период колебаний уменьшится в $2$ раза.

Формула периода колебаний:
Период колебаний пружинного маятника определяется выражением:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},$$ где:
— $m$ — масса груза,
— $k$ — жесткость пружины.

2. Зависимость периода от массы:
Из формулы видно, что период $T$ пропорционален квадратному корню из массы:
$$T \sim \sqrt{m}.$$
3. Исходные данные:
Исходный период: $T_0 = 0.8\,\text{с}$,
Исходная масса: $m_0$,
Новая масса: $m_1 = 4m_0$.

4. Расчет нового периода:
Отношение периодов до и после изменения массы:
$$\frac{T_1}{T_0} = \sqrt{\frac{m_1}{m_0}} = \sqrt{4} = 2.$$
Новый период:
$$T_1 = 2 \cdot T_0 = 2 \cdot 0.8\,\text{с} = 1.6\,\text{с}.$$
5. Итоговый ответ:
Период колебаний увеличится до $1.6\,\text{с}$.

Исходные данные:
— Начальная частота колебаний: $ν_0 = 4\,\text{Гц}$
— Начальная масса груза: $m_0$
— Новая масса груза: $m_1 = \frac{m_0}{4}$
— Жесткость пружины: $k = \text{const}$

2. Формулы связи параметров:
— Период колебаний: $T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$
— Частота и период связаны соотношением: $ν = \frac{1}{T}$

3. Зависимость частоты от массы:
Выразим частоту через массу:
$$ν = \frac{1}{2π}\sqrt{\frac{k}{m}}$$
Отсюда видно, что частота обратно пропорциональна квадратному корню из массы:
$$ν \sim \frac{1}{\sqrt{m}}$$
4. Расчет изменения частоты:
При уменьшении массы в 4 раза:
$$\frac{ν_1}{ν_0} = \sqrt{\frac{m_0}{m_1}} = \sqrt{4} = 2$$
Новая частота:
$$ν_1 = 2ν_0 = 2×4\,\text{Гц} = 8\,\text{Гц}$$

Определение амплитуды:
Амплитуда колебаний — это максимальное отклонение от положения равновесия ($x = 0$ $мм$).

2. Анализ данных:
— Максимальное положительное отклонение: $+15$ $мм$ (при $t = 1.0$ $ с$)
— Максимальное отрицательное отклонение: $-15$ $мм$ (при $t = 3.0$ $с$)

3. Вывод:
Амплитуда $A = 15$ $мм,$ так как это наибольшее отклонение от положения равновесия.

Анализ графика:
— При частоте $0.5\,\text{Гц}$ амплитуда составляет $A_1 = 2\,\text{см}$ (согласно графику)
— При частоте $1.0\,\text{Гц}$ амплитуда достигает максимума $A_2 = 10\,\text{см}$

2. Расчет изменения амплитуды:
$$\frac{A_2}{A_1} = \frac{10\,\text{см}}{2\,\text{см}} = 5$$