4. Статика. Механические колебания и волны: #198591

Выражение для потенциальной энергии:
Потенциальная энергия упругой деформации пружины определяется формулой:
$$E_p = \frac{kx^2}{2},$$
где $k$- коэффициент жесткости пружины.

2. Подстановка уравнения движения:
Подставляя выражение для смещения $x$, получаем:
$$E_p = \frac{kA^2}{2}\cos^2\left(\frac{2\pi t}{T}\right).$$
3. Преобразование тригонометрического выражения:
Используя тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos2\alpha}{2}$, преобразуем выражение для энергии:
$$E_p = \frac{kA^2}{4}\left(1 + \cos\left(\frac{4\pi t}{T}\right)\right).$$
4. Анализ минимума потенциальной энергии:
Минимальное значение потенциальной энергии достигается, когда $\cos\left(\frac{4\pi t}{T}\right) = -1$. Это происходит при:
$$\frac{4\pi t}{T} = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$
5. Нахождение минимального положительного времени:
Для первого минимума $(n = 0)$:
$$\frac{4\pi t}{T} = \pi \Rightarrow t = \frac{T}{4}.$$
6. Подстановка численного значения:
При $T = 1\,\text{с}$ получаем:
$$t = \frac{1}{4} = 0.25\,\text{с}.$$