1. Кинематика: Равнопеременное движение, ускорение

$1.$ На интервале от $0$ до $1\space с$ скорость изменяется по линейному закону от $0$ до $2\space м/с.$ Пройденный путь равен площади треугольника:
$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \text{ м}$$
$2.$ На интервале от $1$ до $2\space с$ скорость постоянна и равна $2\space м/с.$ Пройденный путь равен площади прямоугольника:
$$S_2 = 2 \cdot 1 = 2 \text{ м}$$
$3.$ Общий путь: $$S = S_1 + S_2 = 1 + 2 = 3 \text{ м}$$

$1.$ Разбиваем движение на участки:
$0-1\spaceс{:}$ равноускоренное движение
$1-2\spaceс{:}$ равномерное движение
$2-4\spaceс{:}$ равноускоренное движение
$4-5\spaceс{:}$ равномерное движение

$2.$ Вычисляем путь на каждом участке:

$2.1.$ $0-1\space с$ (треугольник):
$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \text{ м}$$
$2.2.$ $1-2\space с$ (прямоугольник):
$$S_2 = 2 \cdot 1 = 2 \text{ м}$$
$2.3.$ $2-4\space с$ (трапеция):
$$S_3 = \frac{1}{2} \cdot (2 + 6) \cdot 2 = 8 \text{ м}$$
$2.4.$ $4-5\space с$ (прямоугольник):
$$S_4 = 6 \cdot 1 = 6 \text{ м}$$
$3.$ Суммарный путь:
$$S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 1 + 2 + 8 + 6 = 17 \text{ м}$$

$1.$ Анализируем график на интервале от $1\space с$ до $2\space с{:}$
Скорость постоянна и равна $2\spaceм/с.$
Движение равномерное.

$2.$ Вычисляем путь как площадь прямоугольника:$$S = 2 \cdot (2-1) = 2 \text{ м}$$

$1.$ Разбиваем движение на участки:
$0-2\spaceс{:}$ равноускоренное движение;
$2-3\spaceс{:}$ равномерное движение;
$3-5\spaceс{:}$ покой.

$2.$ Вычисляем путь на каждом участке:
$2.1.$ $0-2\spaceс$ (треугольник):
$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2 = 10 \text{ м}$$
$2.2.$ $2-3\spaceс$ (прямоугольник):
$$S_2 = 10 \cdot 1 = 10 \text{ м}$$
$2.3.$ $3-5\spaceс$ (отсутствие движения):
$$S_3 = 0 \cdot 2 = 0 \text{ м}$$
$3.$ Суммарный путь:
$$S = S_1 + S_2 + S_3 = 10 + 10 + 0 = 20 \text{ м}$$

$1.$ Анализируем график на интервале от $1\space с$ до $3\space с:$
Значение пути остается постоянным.
Изменение пути $\Delta S = 0\space м.$
Интервал времени $\Delta t = 2\space с.$

$2.$ Вычисляем скорость:$$v = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{0}{2} = 0 \text{ м/с}$$

$1.$ Разбиваем движение на три участка:
$0-1\space с:$ равноускоренное движение (разгон);
$1-3\space с:$ равномерное движение;
$3-5\space с:$ равнозамедленное движение (торможение).

$2.$ Вычисляем путь на каждом участке.
$2.1.$ Участок $0-1\space с$ (треугольник):
$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 1 = 5 \text{ м}$$
$2.2.$ Участок $1-3\space с$ (прямоугольник):
$$S_2 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ м}$$
$2.3.$ Участок $3-5\space с$ (треугольник):
$$S_3 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2 = 10 \text{ м}$$
$3.$ Суммарный путь: $$S = S_1 + S_2 + S_3 = 5 + 20 + 10 = 35 \text{ м}$$

$1.$ Анализируем график скорости:

$0-2\space с{:}$ линейный рост скорости от $0$ до $2\space м/с$;
$2-4\space с{:}$ постоянная скорость $2\space м/с$.


$2.$ Вычисляем путь по площадям.
$2.1.$ Участок $0-2\space с$ (треугольник): $$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 \text{ м}$$
$2.2.$ Участок $2-4\space с$ (прямоугольник): $$S_2 = 2 \cdot 2 = 4 \text{ м}$$
$3.$ Суммарный путь:$$S = S_1 + S_2 = 2 + 4 = 6 \text{ м}$$

$1.$ Анализ графика скорости:
Проекция скорости $v_x$ положительна на всем интервале $0-4\space с.$
График представляет собой прямую линию, начинающуюся в нуле.
Максимальная скорость $10\space м/с$ достигается при $t=4\space с.$

$2.$ Вычисляем путь как площадь треугольника:$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20 \text{ м}$$

$3.$ Альтернативный метод (через ускорение):
Ускорение $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{10}{4} = 2.5 \text{ м/с}^2.$
Путь по формуле: $S = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2} = 0 + \dfrac{2.5 \cdot 16}{2} = 20 \text{ м}.$

$1.$ Анализ графика скорости:

От $0$ до $4\space с{:}$ скорость уменьшается от $10\space м/с$ до $0\space м/с$
От $4$ до $8\space с{:}$ скорость изменяется от $0\space м/с$ до $-5\space м/с$

$2.$ Вычисляем путь через площади:

$2.1.$ Участок $0-4\space с$ (треугольник):$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20 \text{ м}$$ $2.2.$ Участок $4-8\space с$ (треугольник, учитываем модуль скорости):$$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10 \text{ м}$$
$3.$ Суммарный путь:$$S = S_1 + S_2 = 20 + 10 = 30 \text{ м}$$

$1.$ Анализ графиков показывает, что автомобиль $3$ имеет наибольшую площадь под графиком скорости:

Начальная скорость: $15\space м/с.$
Конечная скорость: $10\space м/с.$
Временной интервал: $15\space м/с.$

$2.$ Вычисляем путь как площадь трапеции:
$$S = \frac{15 + 10}{2} \cdot15 = 187.5 \text{ м}$$

$1.$ Физический принцип:
Путь численно равен площади под графиком зависимости модуля скорости от времени:
$$S = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$$

$2.$ Анализ графика:
Форма графика на интервале $30-50\space с$ — прямоугольный треугольник.
Временной интервал: $\Delta t = 50-30 = 20\space с.$
Изменение скорости: от $10\space м/с$ до $0\space м/с.$

$3.$ Применяем формулу площади прямоугольного треугольника:
$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot\text{высота}$$
$4.$ Подставляем значения:
$$S = \frac{1}{2} \cdot20 \cdot10 = 100 \text{ м}$$

$1.$ Физический принцип:
Путь численно равен площади под графиком зависимости модуля скорости от времени.

$2.$ Анализ графика:

Форма графика на интервале $0$ — $30\space с$ — прямоугольная трапеция.
Основания трапеции: $30\space с$ и $20\space с$
Высота трапеции: $10\space м/с$

$3.$ Применяем формулу площади трапеции:
$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$ где $a,$ $b$ — основания, $h$ — высота.

$4.$ Подставляем значения:
$$S = \frac{30 + 20}{2} \cdot 10 = 250\,\text{м}$$

$1.$ Физический принцип:
Проекция скорости определяется как производная координаты по времени:
$$v_x = \frac{dx}{dt}$$
Для линейного участка графика $x(t)$ скорость постоянна.

$2.$ Анализ графика:

Координата изменяется линейно на интервале $30$ — $50\space с$
Начальная координата: $x(30) = 100\space м$
Конечная координата: $x(50) = 200\space м$
Временной интервал: $\Delta t = 20\space с$


$3.$ Вычисление скорости:
$$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{200-100}{50-30} = \frac{100}{20} = 5\,\text{м/с}$$

$1.$ Используем формулу равноускоренного движения без начальной скорости:
$$x = \frac{at^2}{2}$$
$2.$ Находим ускорение по точке графика при $t = 2\space с,x = 4\space м{:}$
$$a = \frac{2x}{t^2} = \frac{2 \cdot 4}{2^2} = 2\space м/с^2$$
$3.$ Вычисляем скорость в момент $t = 3\space с$ по формуле:
$$v = at = 2 \cdot 3 = 6\space м/с$$

$1.$ Используем формулу для проекции ускорения:
$$a_x = \frac{\Delta V_x}{\Delta t}$$
$2.$ Из графика определяем:
Начальная скорость при $t = 8\space с:$ $V_1 = 0\space м/с.$
Конечная скорость при $t = 10\space с:$ $V_2 = -10\space м/с.$
Временной интервал: $\Delta t = 10-8 = 2\space с.$

$3.$ Вычисляем изменение скорости:$$\Delta V_x = V_2-V_1 = -10-0 = -10\space м/с$$
$4.$ Находим ускорение:$$a_x = \frac{-10}{2} = -5\space м/с^2$$

$1.$ Разбиваем движение на два участка:
$0-2\space с{:}$ скорость изменяется от $2\space м/с$ до $3\space м/с.$
$2-4\space с{:}$ постоянная скорость $3\space м/с.$

$2.$ Вычисляем путь для каждого участка.
$2.1.$ Участок $0-2\space с$ (трапеция):$$S_1 = \dfrac{2 + 3}{2} \cdot 2 = 5\space м$$
$2.2.$ Участок $2-4\space с$ (прямоугольник):$$S_2 = 3 \cdot 2 = 6\space м$$
$3.$ Суммарный путь:$$S = S_1 + S_2 = 5 + 6 = 11\space м$$

$1.$ Используем формулу для проекции ускорения:$$a_x = \dfrac{\Delta v_x}{\Delta t}$$
$2.$ Из графика определяем:
Начальная скорость при $t = 15\space с:$ $v_1 = 10\space м/с$
Конечная скорость при $t = 20\space с:$ $v_2 = -10\space м/с$
Временной интервал: $\Delta t = 20-15 = 5\space с$

$3.$ Вычисляем изменение скорости:
$$\Delta v_x = v_2-v_1 = -10-10 = -20\space м/с$$ $4.$ Находим ускорение:
$$a_x = \dfrac{-20}{5} = -4\space м/с^2$$

$1.$ Находим скорость при $t = 10\space с{:}$
$$v = v_0 + a_1 t_1 = 0 + 2 \cdot 10 = 20\space м/с$$ $2.$ Для интервала $10-15\space с$ $($ $\Delta t = 5\space с){:}$
Ускорение $a_2 = -2\space м/с ^2$ (из графика).
Используем формулу пути:
$$S = v t + \frac{a t^2}{2} = 20 \cdot 5 + \frac{(-2) \cdot 25}{2} = 100-25 = 75\space м$$

$1.$ Используем формулу для проекции ускорения:
$$a_x = \dfrac{\Delta v_x}{\Delta t}$$
$2.$ Из графика определяем:
Скорость при $t = 4$ с: $v_x(4) = 12\space м/с.$
Скорость при $t = 8$ с: $v_x(8) = 4\space м/с.$
Временной интервал: $\Delta t = 8-4 = 4\space с.$

$3.$ Вычисляем изменение скорости: $$\Delta v_x = 4-12 = -8\space м/с$$ $4.$ Находим ускорение: $$a_x = \dfrac{-8}{4} = -2\space м/с^2$$

$1.$ Формула для определения ускорения:
$a_x = \dfrac{\Delta v_x}{\Delta t}$

$2.$ Вычисляем ускорение на каждом интервале:
$2.1.$ Интервал $0-10\space с{:}$ $$a_x = \dfrac{0\,\text{м/с}-15\,\text{м/с}}{10\,\text{с}} = -1.5\,\text{м/с}^2$$
$2.2.$ Интервал $10-20 \space с{:}$ $$a_x = \dfrac{20\,\text{м/с}-0\,\text{м/с}}{10\,\text{с}} = 2\,\text{м/с}^2$$
$2.3.$ Интервал $20-30\space с{:}$ $$a_x = \dfrac{10\,\text{м/с}-20\,\text{м/с}}{10\,\text{с}} = -1\,\text{м/с}^2$$ $2.4.$ Интервал $30-40\space с{:}$ $$a_x = \dfrac{15\,\text{м/с}-10\,\text{м/с}}{10\,\text{с}} = 0.5\,\text{м/с}^2$$
$3.$ Интервал Находим максимальный модуль ускорения: $$\max|a_x| = 2\,\text{м/с}^2$$