Задание 19. Числа и их свойства

{"questions":[{"content":"Приведите пример трехзначного числа, сумма цифр которого равна $20,$ а сумма цифр в квадрате делится на $3,$ но не делится на $9.$[[fill_choice_big-1]][[image-386]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$578$","$588$","$580$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-386":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/01/uchenik-01-01-1.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем все возможные комбинации цифр, дающие сумму $20{:}$<br />$$20 = 9 + 9 + 2 $$$$20= 9 + 8 + 3 $$$$20= 9 + 7 + 4 $$ $$20= 9 + 6 + 5 $$ $$20= 8 + 8 + 4$$ $$20= 8 + 7 + 5\\space(подходящая\\spaceкомбинация)$$ $$20= 8 + 6 + 6 $$ $$20= 7 + 7 + 6$$Проверим условие для цифр $5,7,8{:}$ $$ 5^2 + 7^2 + 8^2 = 25 + 49 + 64 = 138 $$ $$ 138:3 = 46 \\quad \\text{(делится)} $$ $$ 138:9 = 15\\frac{1}{3} \\quad \\text{(не делится)} $$Получаем все перестановки этих цифр:$$ 578, 587, 758, 785, 857, 875. $$<br />"]},{"content":"Найдите трехзначное натуральное число, большее $400,$ которое при делении на $6$ и на $5$ дает равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-7]][[image-431]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$453$","$455$","$450$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-431":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/ideya-lampochkaok-1.svg","width":"300"}},"hints":["Число имеет одинаковые остатки при делении на $5$ и на $6,$ значит, оно имеет вид:<br />$ 30n + r,$ где  $r = 1, 2, 3, 4. $<br /><br /> Для $n \\geq 14 $ получаем числа больше $400.$ Проверим:<br /><br />При $ n = 14 $: $$421, 422, 423, 424$$ — не подходят по условию. <br />При $ n = 15 $: $$451, 452, 453, 454$$ Число $453:$<br /> $$ 4 = \\frac{5 + 3}{2} \\text{ — верно}.$$Также подходят числа $573\\spaceи\\space 693.$ <br />Ответ: $453, 573, 693.$"]},{"content":"Найдите четырехзначное число, кратное $11,$ все цифры которого различны, а произведение цифр делится на $5,$ но не делится на $25.$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-72]][[image-480]]","widgets":{"fill_choice_big-72":{"type":"fill_choice_big","options":["$5\\space819$","$5\\space809$","$5\\space859$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-480":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/sidyat-za-partoj-ruchka.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Чтобы число делилось на $11,$ разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, должна делиться на $11.$<br /><br />$2.$ Так как произведение цифр должно делиться на $5,$ но не на $25,$ в числе должна быть цифра $5,$ но не должно быть двух пятерок.<br /><br />$3.$ Проверим возможные комбинации:<br />$5\\space124$ $\\Rightarrow$ $5 \\cdot 1 \\cdot 2 \\cdot 4 = 40$ $($делится на $5,$ но не на $25);$ <br />$(1+4)-(5+2)=-2$ $($не делится на $11).$<br /><br />$5\\space234$ $\\Rightarrow$ $5 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 = 120$ $($делится на $5,$ но не на $25);$ <br /> $(2+4)-(5+3)=-2$ $($не делится на $11).$<br /><br />$5\\space316$ $\\Rightarrow$ $5 \\cdot 3 \\cdot 1 \\cdot 6 = 90$ $($делится на $5,$ но не на $25);$ <br />  $(3+6)-(5+1)=3$ $($не делится на $11).$<br /><br />$5\\space416$ $\\Rightarrow$ $5 \\cdot 4 \\cdot 1 \\cdot 6 = 120$ $($делится на $5,$ но не на $25);$ <br />  $(4+6)-(5+1)=4$ $($не делится на $11).$<br /><br />$5\\space617$ $\\Rightarrow$ $5 \\cdot 6 \\cdot 1 \\cdot 7 = 210$ $($делится на $5,$ но не на $25);$ <br />$(6+7)-(5+1)=7$ $($не делится на $11).$<br /><br />$5\\space718$ $\\Rightarrow$ $5 \\cdot 7 \\cdot 1 \\cdot 8 = 280$ $($делится на $5,$ но не на $25);$ <br />$(7+8)-(5+1)=9$ $($не делится на $11).$<br /><br />$5\\space819$ $\\Rightarrow$ $5 \\cdot 8 \\cdot 1 \\cdot 9 = 360$ $($делится на $5,$ но не на $25);$ <br /> $(8+9)-(5+1)=11$ $($делится на $11).$<br /><br />$4.$ Число $5\\space819$ удовлетворяет всем условиям:<br />все цифры различны;<br />делится на $11;$<br />произведение цифр делится на $5,$ но не на $25.$<br /><br />Ответ: $5\\space819.$"]},{"content":"Найдем трехзначное число, кратное $25,$ с разными цифрами, где сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не на $9.$[[fill_choice_big-107]][[image-533]]","widgets":{"fill_choice_big-107":{"type":"fill_choice_big","options":["$125$","$150$","$200$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-533":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/shkolniki-klass-party-parta-okno-stulya-stoly-sidyat-za-partoi-.svg","width":"300"}},"hints":["Условия:<br />Кратность $25{:}$ оканчивается на $25, 50$ или $75.$<br />Все цифры различны.<br />Сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$<br /><br />Проверка чисел:<br /><br />$125=$ $1^2 + 2^2 + 5^2 = 30$ — сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$<br /><br />$175=$ $1^2 + 7^2 + 5^2 = 75$ — сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$<br /><br />$275=$ $2^2 + 7^2 + 5^2 = 78$  — сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$<br /><br />$725=$ $7^2 + 2^2 + 5^2 = 78$  — сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$<br /><br />$825=$ $8^2 + 2^2 + 5^2 = 93$  — сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$<br /><br />$875=$ $8^2 + 7^2 + 5^2 = 138$  — сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$<br /><br />Ответ: $125, 175, 275, 725, 825, 875.$"]},{"content":"Приведите пример четырехзначного натурального числа, кратного $4,$ сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.[[fill_choice_big-231]][[image-590]]","widgets":{"fill_choice_big-231":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\space124$","$1\\space126$","$1\\space128$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-590":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/uborka-klass-shkola-venik-podmetaet-2-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть наше число имеет вид $abcd$.<br /><br />$2.$ По условию: $$a + b + c + d = a \\cdot b \\cdot c \\cdot d$$ И число должно делиться на $4,$ то есть $10c + d$ должно делиться на $4.$<br /><br />$3.$ Анализ возможных комбинаций:<br />Если среди цифр есть три единицы, равенство невозможно $(1+1+1+x > 1 \\cdot 1 \\cdot 1 \\cdot x).$<br />Если единица только одна, произведение будет слишком большим.<br />Значит, среди цифр должно быть ровно две единицы.<br /><br />$4.$ Рассмотрим двузначные числа, делящиеся на $4{:}$<br /><br />$12:$ подходят цифры $1$ и $4$ $($получаем числа $1\\space412, 4\\space112);$<br />$16:$ подходят только единицы $($не подходит$);$<br />$24:$ подходят две единицы $($получаем число $1\\space124);$<br />$32:$ подходят цифры $1$ и $8$ $($не подходят по проверке$);$<br />$36:$ не подходит;<br />$44:$ не подходит;<br />$48:$ не подходит;<br />$52:$ не подходит;<br />$56:$ не подходит;<br />$64:$ не подходит;<br />$72:$ не подходит;<br />$76:$ не подходит;<br />$84:$ не подходит;<br />$92:$ не подходит.<br /><br />$5.$ Проверка всех подходящих чисел.<br />Для числа $1\\space412$: $$1+4+1+2 = 1 \\cdot 4 \\cdot 1 \\cdot 2 = 8$$Для числа $4\\space112$: $$4+1+1+2 = 4 \\cdot 1 \\cdot 1 \\cdot 2 = 8$$Для числа $1\\space124$: $$1+1+2+4 = 1 \\cdot 1 \\cdot 2 \\cdot 4 = 8$$Ответ: $1\\space124,1\\space412, 4\\space112.$"]},{"content":"Найдите четырехзначное натуральное число, кратное $19,$ сумма цифр которого на $1$ больше их произведения.[[fill_choice_big-403]][[image-681]]","widgets":{"fill_choice_big-403":{"type":"fill_choice_big","options":["$3\\space211$","$3\\space203$","$3\\space221$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-681":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/do-homework_2-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Условия задачи:<br />число кратно $19;$<br />сумма цифр на $1$ больше их произведения;<br />все цифры числа больше $0.$<br /><br />$2.$ Проверка возможных сумм цифр:<br />Минимальная сумма цифр: $4$ $($так как все цифры больше $ 0).$<br />Проверим суммы $5$, $6$, $7$ и т.д.<br /><br />$3.$ Сумма цифр равна $5{:}$<br />Возможные комбинации: $1\\space112$, $1\\space121$, $1\\space211$, $2\\space111$.<br />Произведение цифр: $2$.<br />Условие $a + b + c + d = a \\cdot b \\cdot c \\cdot d + 1$ не выполняется.<br /><br />$4.$ Сумма цифр равна $6{:}$<br />Возможные комбинации: $1\\space113$, $1\\space122$.<br />Произведение цифр: $3$ или $4$.<br />Условие $a + b + c + d = a \\cdot b \\cdot c \\cdot d + 1,$ не выполняется.<br /><br />$5.$ Сумма цифр равна $7{:}$<br />Возможная комбинация: $3\\space211$.<br /><br />Проверка:<br />Сумма цифр: $3 + 2 + 1 + 1 = 7$.<br />Произведение цифр: $3 \\cdot 2 \\cdot 1 \\cdot 1 = 6$.<br />Условие выполняется: $7 = 6 + 1$.<br /><br />Проверка кратности $19{:}$<br /> $3\\space211 : 19 = 169$ (целое число).<br /><br />Ответ: $3\\space211.$"]},{"content":"Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами $1$ и $0,$ и делится на $24.$[[fill_choice_big-494]][[image-746]]","widgets":{"fill_choice_big-494":{"type":"fill_choice_big","options":["$111\\space000$","$111\\space100$","$101\\space000$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-746":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/doska-magnitnaya.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Чтобы число делилось на $24$, оно должно делиться на $3$ и на $8.$<br /><br />$2.$ Число делится на $8$, если три его последние цифры образуют число, делящееся на $8.$<br />Так как число состоит только из цифр $1$ и $0,$ оно должно заканчиваться на $000.$<br /><br />$3.$ Число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$.<br />Поскольку три последние цифры — нули, сумма первых трех цифр должна делиться на $3.$<br /><br />$4.$ Так как число состоит только из $1$ и $0,$ возможные варианты для первых трех цифр:<br />$111$ $($сумма равна $3);$<br />$100$ $($сумма равна $1);$<br />$000$ $($сумма равна $0).$<br /><br />$5.$ Из этих вариантов только $111$ дает шестизначное число с суммой цифр, кратной $3.$<br /><br />$6.$ Таким образом, единственное число, удовлетворяющее всем условиям: $111\\space000.$<br /><br />Проверка:<br />$111\\space000$ делится на $8$ $($ $000$ делится на $8).$<br />$111\\space000$ делится на $3$ (сумма цифр $1+1+1+0+0+0=3$ делится на $3).$<br />$111\\space000$ делится на $24.$<br /><br />Ответ: $111\\space000.$"]},{"content":"Найдите четырехзначное натуральное число, кратное $25,$ все цифры которого различны и нечетны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-660]][[image-815]]","widgets":{"fill_choice_big-660":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\space375$","$1\\space275$","$1\\space175$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-815":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/schety-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Чтобы число делилось на $25$, оно должно оканчиваться на: $00,25,50,75.$<br /><br />$2.$ По условию все цифры должны быть нечетными, поэтому:<br /> $00$ не подходит (цифра $0$ четная)<br /> $25$ не подходит (цифра $2$ четная)<br /> $50$ не подходит (цифра $0$ четная)<br /> Остается только $75.$<br /><br />$3.$ Первые две цифры могут быть любыми нечетными числами, но все цифры должны быть различными.<br />Возможные нечетные цифры: $1, 3, 5, 7, 9.$<br /><br />$4.$ Составим возможные комбинации: $1\\space375,1\\space975,3\\space175,3\\space975,9\\space175,9\\space375.$<br /><br />Проверка:<br /> все числа оканчиваются на $75$ (значит, делятся на $25);$<br /> все цифры в числах различны;<br /> все цифры нечетные $(1, 3, 7, 5, 9);$<br /> числа четырехзначные.<br /><br />Проверка на делимость на $25$:<br />$1\\space375 : 25 = 55$ (целое число);<br />$1\\space975 :25 = 79$ (целое число);<br />$3\\space175 : 25 = 127$ (целое число);<br />$3\\space975 : 25 = 159$ (целое число);<br />$9\\space175 : 25 = 367$ (целое число);<br />$9\\space375 : 25 = 375$ (целое число).<br /><br />Ответ: $1\\space375$ (или любое другое из перечисленных чисел)."]},{"content":"Найдите трехзначное натуральное число, большее $800,$ которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-734]][[image-888]]","widgets":{"fill_choice_big-734":{"type":"fill_choice_big","options":["$816$","$920$","$988$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-888":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/uchitel-chitaet-gazetu-gazeta.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем трехзначное число $>800,$ где:<br />$1.$ Все цифры различны и $\\neq 0.$<br />$2.$ Делится на каждую свою цифру.<br /><br />Решение:<br />$1.$ Первая цифра $8$ или $9.$<br />$2.$ Переберем возможные варианты:<br /><br />Для чисел, начинающихся на $8$:<br />Число $816$:   $$816 : 8 = 102$$  $$816 : 1 = 816$$ $$816 : 6 = 136$$— подходит.<br /><br />Число $864$: $$864 :  8 = 108$$$$864 :  6 = 144$$$$864 :  4 = 216$$ — подходит.<br /><br />Для чисел, начинающихся на $9$:<br />Число $936$: $$936 :  9 = 104$$$$936 :  3 = 312$$$$936 :  6 = 156$$ — подходит.<br /><br />Ответ: $816$ (или $864$, $936$)."]},{"content":"Найдите четырехзначное натуральное число, кратное $45,$ все цифры которого различны и четны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-290]][[image-965]]","widgets":{"fill_choice_big-290":{"type":"fill_choice_big","options":["$4\\space680$","$4\\space268$","$4\\space608$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-965":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/01/uchitel-i-uchenik1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Число должно делиться на $45,$ значит:<br />Оно должно делиться на $5.$<br />Оно должно делиться на $9.$<br /><br />$2.$ Признаки делимости:<br />На $5$: число должно оканчиваться на $0$ или $5.$<br /> На $9$: сумма цифр должна делиться на $9.$<br /><br />$3.$ По условию:<br />Все цифры должны быть четными.<br />Все цифры должны быть различными.<br />Число должно быть четырехзначным.<br /><br />$4.$ Учитывая, что все цифры четные и число должно делиться на $5,$ последняя цифра может быть только $0.$<br /><br />$5.$ Возможные четные цифры: $0, 2, 4, 6, 8.$<br /><br />$6.$ Составим числа, сумма цифр которых делится на $9{:}$<br />$4 + 6 + 8 + 0 = 18$ (делится на $9).$<br /> $6 + 8 + 4 + 0 = 18$ (делится на $9).$<br /><br />$7.$ Возможные числа: $4\\space680,4\\space860,6\\space480,6\\space840,8\\space460,8\\space640.$<br /><br />Проверка:<br />все числа оканчиваются на $0$ $($делятся на $5);$<br />сумма цифр всех чисел делится на $9;$<br />все цифры в числах различны;<br />все цифры четные;<br />числа четырехзначные.<br /><br />Ответ: $4\\space680$ (или любое другое из перечисленных чисел)."]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите пятизначное число, кратное $15,$ произведение цифр которого равно $60.$ В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-1]][[image-121]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$11\\space265$","$11\\space255$","$11\\space215$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-121":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/personazh-dumaet.svg","width":"300"}},"hints":["Условия:<br />$1.$ Делится на $15$ $\\Rightarrow$ делится на $3$ и $5.$<br />$2.$ Произведение цифр: $a \\cdot b \\cdot c \\cdot d \\cdot e = 60.$<br />$3.$ Оканчивается на $5$ $($так как при $0$ произведение $=0).$<br /><br />Решение:<br />$1.$ Разложение $60$ для цифр:<br />$60 = 5 \\cdot 3 \\cdot2 \\cdot2 \\cdot1 = 5 \\cdot4 \\cdot3 \\cdot1 \\cdot1.$<br /><br />$2.$ Варианты с окончанием $5$:<br />Число $11\\space235{:}$<br />Произведение: $1 \\cdot 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 5 = 30$ — не подходит.<br />Число $11\\space325{:}$<br />Произведение: $1 \\cdot 1 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 5 = 30$ — не подходит.<br />Число $11\\space265{:}$<br /> Произведение: $1 \\cdot 1 \\cdot 2 \\cdot 6 \\cdot 5 = 60.$<br />Сумма цифр: $1+1+2+6+5=15$ (делится на $3).$<br />Проверка: $11\\space265 : 15 = 751.$<br /><br />$3.$ Другие подходящие варианты:<br />$12\\space165$, $21\\space165$, $11\\space625$ — все дают произведение $60.$<br /><br />Ответ: $11\\space265$ $(или\\space12\\space165, 21\\space165, 11\\space625).$"]},{"content":"Найдите четырехзначное натуральное число, большее $1\\space640,$ но меньшее $1\\space930,$ которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-32]][[image-177]]","widgets":{"fill_choice_big-32":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\space824$","$1\\space624$","$1\\space428$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-177":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/02/test-01.svg","width":"300"}},"hints":["<br />Решение:<br />$1.$ Рассмотрим диапазон от $1\\space641$ до $1\\space929$ (исключая числа с $0$)<br />$2.$ Проверим подходящие варианты:<br /><br />Число $1\\space680{:}$<br />Цифры: $1,6,8,0$ — содержит $0$ — не подходит.<br /><br />Число $1\\space728{:}$<br />Цифры: $1,7,2,8$<br />Проверка делимости:<br />$1\\space728 : 1 = 1\\space728;$<br />$1\\space728 : 7 \\approx 246.857$ — не делится — не подходит.<br /><br />Число $1\\space824{:}$<br />Цифры: $1,8,2,4.$<br />Проверка:<br />$1\\space824 : 1 = 1\\space824;$<br />$1\\space824 : 8 = 228;$<br />$1\\space824 : 2 = 912;$<br />$1\\space824 : 4 = 456$ → подходит.<br /><br />Число $1\\space848{:}$<br />Цифры: $1,8,4,8$ — повторяется $8$ — не подходит.<br /><br />Ответ: $1\\space824.$"]},{"content":"Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами $1$ и $5$ и делится на $45.$ В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-12]][[image-226]]","widgets":{"fill_choice_big-12":{"type":"fill_choice_big","options":["$111\\space555$","$115\\space115$","$151\\space555$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-226":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/soso.svg","width":"300"}},"hints":["Условия:<br />$1.$ Только цифры $1$ и $5.$<br />$2.$ Делится на $45$ $\\Rightarrow$ на $5$ и $9.$<br /><br />Решение:<br />$1.$ Окончание на $5$ $($так как на $0$ нельзя$).$<br />$2.$ Сумма цифр делится на $9.$<br />$3.$ Сумма $a+b+c+d+e+5$ должна делиться на $9.$<br />$4.$ Диапазон сумм: от $1+1+1+1+1+5=10$ до $1+5+5+5+5+5=26.$<br />$5.$ Подходит только сумма $18.$<br /><br />Варианты:<br /><br />$1.$ Четыре $1$ и две $5\\Rightarrow$ $1+1+1+1+5+5=14$ — не подходит.<br /><br />$2.$ Три $1$ и три $5\\Rightarrow$ $1+1+1+5+5+5=18$ — подходит.<br /><br />$3.$ Две $1$ и четыре $5\\Rightarrow$ $1+1+5+5+5+5=22$ — не подходит.<br /><br />Проверка:<br />Число $111\\space555{:}$<br />Сумма: $1+1+1+5+5+5=18$ (делится на $9).$<br />$111\\space555 : 45 = 2\\space479$ (целое$).$<br /><br />Ответ: $111\\space555.$"]},{"content":"Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами $2$ и $0$ и делится на $30.$ В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-222]][[image-279]]","widgets":{"fill_choice_big-222":{"type":"fill_choice_big","options":["$202\\space222 $","$202\\space022 $","$202\\space020 $"],"placeholder":0,"answer":2},"image-279":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/dumayushhii-razmyshlyayushhii-5-01.svg","width":"300"}},"hints":["Условия:<br />$1.$ Только цифры $2$ и $0.$<br />$2.$ Делится на $30$ $\\Rightarrow$ на $2,$ $3$ и $5.$<br /><br />Решение:<br />$1.$ Оканчивается на $0$ $($делимость на $5$ и $2).$<br />$2.$ Сумма цифр делится на $3$.<br />$3.$ Диапазон сумм:<br />Минимальная: $2+0+0+0+0+0=2.$<br />Максимальная: $2+2+2+2+2+0=10.$<br /><br />Варианты:<br />Число $222\\space000{:}$<br />Сумма: $2+2+2+0+0+0=6.$<br />Проверка: $222\\space000 : 30 = 7\\space400.$<br /><br />Число $202\\space020{:}$<br />Сумма: $2+0+2+0+2+0=6.$<br />Проверка: $202\\space020 : 30 = 6\\space734.$<br /><br />Число $220\\space200{:}$<br />Сумма: $2+2+0+2+0+0=6.$<br />Проверка: $220\\space200 : 30 = 7\\space340.$<br /><br />Ответ: $202\\space020 $  (или $222\\space000,$ $220\\space200).$"]},{"content":"Найдите натуральное число, большее $1\\space340,$ но меньшее $1\\space640,$ которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-181]][[image-336]]","widgets":{"fill_choice_big-181":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\space395$","$1\\space375$","$1\\space355$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-336":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/molitsya-molitva-slozhil-ruki-5-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ По условию число должно быть:<br />больше $1\\space340$, но меньше $1\\space640;$<br />делиться на каждую свою цифру;<br />все цифры различны;<br />все цифры не равны нулю.<br /><br />$2.$ Поскольку число находится в диапазоне от $1\\space341$ до $1\\space639,$ первая цифра равна $1.$<br /><br />$3.$ Проверим число $1395$:<br />Делится на $1$ ($1\\space395 : 1 = 1\\space395).$<br />Делится на $3$ ($1\\space395 : 3 = 465).$<br />Делится на $9$ ($1\\space395 : 9 = 155).$<br />Делится на $5$ ($1\\space395 : 5 = 279).$<br />Все цифры различны.<br />Все цифры не равны нулю.<br /><br />$4.$ Проверим число $1\\space470{:}$<br />Не подходит, так как содержит цифру $0.$<br /><br />$5.$ Проверим число $1\\space539{:}$<br />Делится на $1$ ($1\\space539 : 1 = 1\\space539).$<br />Делится на $5$ ($1\\space539 : 5 = 307.8$ — не делится).<br />Не подходит.<br /><br />$6.$ Проверим число $1\\space639{:}$<br />Не подходит, так как не делится на $3.$<br /><br />Ответ: $1\\space395.$"]},{"content":"Найдите четырехзначное натуральное число, кратное $12,$ произведение цифр которого равно $40.$ В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-151]][[image-397]]","widgets":{"fill_choice_big-151":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\space525$","$1\\space542$","$1\\space524$"],"placeholder":0,"answer":2},"image-397":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_ok-05.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Чтобы число делилось на $12,$ оно должно:<br />Делиться на $3$ (сумма цифр делится на $3).$<br />Делиться на $4$ (две последние цифры образуют число, делящееся на $4).$<br /><br />$2.$ По условию произведение цифр равно $40.$ Разложим $40$ на множители:<br />$40 = 1 \\cdot 1 \\cdot5 \\cdot8;$<br />$40 = 1 \\cdot2 \\cdot4 \\cdot5.$<br /><br />$3.$ Проверим комбинации цифр $1, 2, 4, 5{:}$<br />Возможные числа: $1\\space245, 1\\space254, 1\\space425, 1\\space452, 1\\space524, 1\\space542.$<br />Также возможны перестановки: $2\\space145, 2\\space154, 2\\space415, 2\\space451, 2\\space514, 2\\space541.$<br />И другие перестановки с цифрами $4$ и $5$ впереди.<br /><br />$4.$ Проверим делимость на $4$ (последние две цифры должны делиться на $4$):<br />$1\\space452$ — делится ($52 : 4 = 13);$<br />$1\\space524$ — делится ($24 : 4 = 6);$<br />$4\\space152$ — делится ($52 : 4 = 13);$<br />$4\\space512$ — делится ($12 : 4 = 3);$<br />$5\\space124$ — делится ($24 : 4 = 6);$<br />$5\\space412$ — делится ($12 : 4 = 3).$<br /><br />$5.$ Проверим делимость на $3$ (сумма цифр должна делиться на $3$):<br />$1\\space452\\Rightarrow$ $1 + 4 + 5 + 2 = 12$ (делится на $3);$<br />$1\\space524\\Rightarrow$ $1 + 5 + 2 + 4 = 12$ (делится на $3);$<br />$4\\space152\\Rightarrow$ $4 + 1 + 5 + 2 = 12$ (делится на $3);$<br />$4\\space512\\Rightarrow$ $4 + 5 + 1 + 2 = 12$ (делится на $3);$<br />$5\\space124\\Rightarrow$ $5 + 1 + 2 + 4 = 12$ (делится на $3);$<br />$5\\space412\\Rightarrow$ $5 + 4 + 1 + 2 = 12$ (делится на $3).$<br /><br />$6.$ Проверим произведение цифр:<br /> $1 \\cdot 5 \\cdot2 \\cdot4 = 40;$<br />$4 \\cdot1 \\cdot5 \\cdot2 = 40;$<br />$5 \\cdot1 \\cdot2 \\cdot4 = 40.$<br /><br />Ответ: $1\\space524$ $($или $5\\space124$, $4\\space152$, $4\\space512$, $5\\space412).$"]},{"content":"Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами $1$ и $2$ и делится на $72.$ В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-288]][[image-462]]","widgets":{"fill_choice_big-288":{"type":"fill_choice_big","options":["$122\\space112$","$122\\space222$","$122\\space111$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-462":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/lenivyi-lezhit-divan-kreslo-torsher-1.svg","width":"300"}},"hints":["Условия:<br />$1.$ Только цифры $1$ и $2$.<br />$2.$ Делится на $72$ $\\Rightarrow$ делится на $8$ и $9$.<br /><br />Решение:<br />$1.$ Делимость на $9$: сумма цифр делится на $9$.<br />$2.$ Делимость на $8$: последние три цифры делятся на $8$.<br />$3.$ Возможные суммы: от $1+1+1+1+1+2=7$ до $2+2+2+2+2+1=11$. <br />Подходит только $9$.<br /><br />Варианты:<br />$1.$ Три $1$ и три $2$: $1+1+1+2+2+2=9.$<br />$2.$ Проверим комбинации:<br /><br />Число $122\\space112{:}$<br />Последние три цифры: $112$ ($112 : 8 = 14).$<br />Сумма: $1+2+2+1+1+2=9.$<br />Проверка: $122\\space112 : 72 = 1\\space696.$<br /><br />Число $212\\space112{:}$<br />Последние три цифры: $112$ ($112 : 8 = 14).$<br />Сумма: $2+1+2+1+1+2=9.$<br />Проверка: $212\\space112 : 72 = 2\\space946.$<br /><br />Число $221\\space112{:}$<br />Последние три цифры: $112$ ($112 : 8 = 14).$<br />Сумма: $2+2+1+1+1+2=9.$<br />Проверка: <br />$221\\space112 : 72 = 3\\space071.$<br /><br />Ответ: $122\\space112$ (также подходят $221\\space112$ и $212\\space112).$"]},{"content":"Найдите трехзначное натуральное число, большее $500,$ которое при делении на $4,$ на $5$ и на $6$ дает в остатке $2,$ и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-387]][[image-531]]","widgets":{"fill_choice_big-387":{"type":"fill_choice_big","options":["$662$","$644$","$688$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-531":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/devochka-devushka-ochki-govorit-stoit-1-1.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем трехзначное число $>500$, где:<br />$1.$ При делении на $4$, $5$ и $6$ остаток $2.$<br />$2.$ Только две различные цифры.<br /><br />Решение:<br />$1.$ Число имеет вид: $N = \\text{НОК}(4,5,6) \\cdot k + 2 = 60k + 2.$<br />$2.$ Подходящие числа: $542, 602, 662, 722, 782, 842, 902, 962.$<br />$3.$ Проверяем условие с цифрами:<br /><br />Число $662{:}$<br />Цифры: $6,6,2$ (две различные).<br />Проверка:<br />  $662 : 4 = 165$ остаток $2;$<br />  $662 : 5 = 132$ остаток $2;$<br />  $662 : 6 = 110$ остаток $2.$<br /><br />Число $722{:}$<br />Цифры: $7,2,2$ (две различные).<br />Проверка:<br />  $722 :4 = 180$ остаток $2;$<br />  $722 :5 = 144$ остаток $2;$<br />  $722 :6 = 120$ остаток $2.$<br /><br />Ответ: $662$ (или $722).$"]},{"content":"Найдите четырехзначное число, кратное $88,$ все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-453]][[image-604]]","widgets":{"fill_choice_big-453":{"type":"fill_choice_big","options":["$2\\space640$","$2\\space840$","$2\\space680$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-604":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/personazh-s-lupoi-.svg","width":"300"}},"hints":["Условия:<br />$1.$ Делится на $88$ $\\Rightarrow$ на $8$ и $11.$<br />$2.$ Все цифры четные: $0,2,4,6,8.$<br />$3.$ Все цифры разные.<br /><br />Решение:<br />$1.$ Варианты окончаний (делимость на $8){:}$<br />$024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408,$ <br />$480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864.$<br /><br />$2.$ Проверяем делимость на $11{:}$<br />Число $6\\space248{:}$<br />$(6+4)-(2+8)=0$ $\\Rightarrow$ делится.<br />Цифры: $6,2,4,8$ — разные.<br /><br />Число $8\\space624{:}$<br />$(8+2)-(6+4)=0$ $\\Rightarrow$ делится.<br />Цифры: $8,6,2,4$ — разные.<br /><br />Число $2\\space640{:}$<br />$(2+4)-(6+0)=0$ $\\Rightarrow$ делится.<br />Цифры: $2,6,4,0$ — разные.<br /><br />$3.$ Проверка деления:<br />$6\\space248 : 88 = 71;$<br />$8\\space624 :88 = 98;$<br />$2\\space640 :88 = 30.$<br /><br />Ответ: $2\\space640$ (или $6\\space248$, $8\\space624).$"]},{"content":"Найдите трехзначное натуральное число, большее $600,$ которое при делении и на $3,$ и на $4,$ и на $5$ дает в остатке $1$ и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-539]][[image-681]]","widgets":{"fill_choice_big-539":{"type":"fill_choice_big","options":["$761$","$721$","$751$"],"placeholder":0,"answer":1},"image-681":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/schety-1.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем трехзначное число $>600$, где:<br />$1.$ При делении на $3$, $4$, $5$ остаток $1.$<br />$2.$ Цифры расположены в порядке убывания.<br /><br />Решение:<br />$1.$ Число имеет вид: $N = \\text{НОК}(3,4,5) \\cdot k + 1 = 60k + 1.$<br />$2.$ В диапазоне $>600$: $601, 661, 721, 781, 841, 901, 961.$<br />$3.$ Проверяем порядок цифр:<br /><br />$721$: $7 > 2 > 1$ $\\Rightarrow$ подходит;<br />$841$: $8 > 4 > 1$ $\\Rightarrow$ подходит;<br />$961$: $9 > 6 > 1$ $\\Rightarrow$ подходит.<br /><br />Проверка делений с остатком $1$:<br /> $721 : 3 = 240$ остаток $1;$<br />$721 : 4 = 180$ остаток $1;$<br />$721 : 5 = 144$ остаток $1.$<br /><br />$841 : 3 = 280$ остаток $1;$<br /> $841 : 4 = 210$ остаток $1;$<br /> $841 : 5 = 168$ остаток $1.$<br /><br /> $961 : 3 = 320$ остаток $1;$<br />$961 : 4 = 240$ остаток $1;$<br />$961 : 5 = 192$ остаток $1.$<br /><br />Ответ: $721$ (или $841$, $961).$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите четырехзначное натуральное число, кратное $45,$ все цифры которого различны и нечетны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-5]][[image-741]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\space359$","$1\\space295$","$1\\space395$"],"placeholder":0,"answer":2},"image-741":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/doska-magnitnaya.svg","width":"300"}},"hints":["Чтобы найти четырехзначное натуральное число, кратное $45,$ все цифры которого различны и нечетны, необходимо учесть два условия:<br /><br />$1.$ Число должно быть кратно $45,$ то есть оно должно делиться на $5$ и на $9.$<br />$2.$ Все цифры числа должны быть различными и нечетными.<br /><br />Для того, чтобы число делилось на $5,$ оно должно оканчиваться на $0$ или $5.$ Поскольку все цифры должны быть нечетными, последняя цифра должна быть $5.$<br /><br />Для того, чтобы число делилось на $9,$ сумма его цифр должна быть кратна $9.$ Учитывая, что последняя цифра $5,$ сумма оставшихся трех цифр должна быть такой, чтобы в сумме с $5$ давать число, кратное $9.$<br /><br />Рассмотрим возможные комбинации цифр:<br />Нечетные цифры: $1, 3, 5, 7, 9.$<br />Последняя цифра фиксирована как $5.$<br /><br />Проверим комбинации оставшихся цифр:<br />$1 + 3 + 7 + 5 = 16$ $($не кратно $9);$<br />$1 + 3 + 9 + 5 = 18$ $($кратно $9).$<br /><br />Таким образом, одна из возможных комбинаций цифр — $1, 3, 9, 5.$ Составим число из этих цифр, чтобы оно было кратно $45{:}$<br />Число $1\\space395{:}$<br /> Последняя цифра $5,$ значит, делится на $5.$<br /> Сумма цифр $1 + 3 + 9 + 5 = 18$, что кратно $9.$<br /><br />Следовательно, число $1\\space395$ удовлетворяет всем условиям.<br /><br />Ответ: $1\\space395.$"]},{"content":"Найдите трехзначное натуральное число, которое при делении и на $4,$ и на $5,$ и на $6$ дает в остатке $1,$ а цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-1]][[image-786]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$421$","$321$","$531$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-786":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/ideya-lampochkaok-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Найдем число, которое при делении на $4,$ $5$ и $6$ дает остаток $1.$<br /><br />$2.$ Так как число дает одинаковый остаток $1$ при делении на $4,$ $5$ и $6,$ то оно дает остаток $1$ и при делении на $60$ (наименьшее общее кратное чисел $4$, $5$ и $6).$<br /><br />$3.$ Значит, число имеет вид: $60k + 1,$ где $k$ — натуральное число.<br /><br />$4.$ Для трехзначного числа:<br />$$100 \\leq 60k + 1 \\leq 999$$ $$99 \\leq 60k \\leq 998$$ $$1.65 \\leq k \\leq 16.63$$<br />$5.$ Так как $k$ — целое число, то $2 \\leq k \\leq 16.$<br />$6.$ Перебираем возможные значения $k$ и проверяем условия:<br />При $k = 2\\Rightarrow $ $60 \\cdot 2 + 1 = 121$ (цифры не убывают).<br />При $k = 3\\Rightarrow $ $60 \\cdot 3 + 1 = 181$ (цифры не убывают).<br />При $k = 4\\Rightarrow $ $60 \\cdot 4 + 1 = 241$ (цифры не убывают).<br />При $k = 5\\Rightarrow $ $60 \\cdot 5 + 1 = 301$ (цифры не убывают).<br />При $k = 6\\Rightarrow $ $60 \\cdot 6 + 1 = 361$ (цифры не убывают).<br />При $k = 7\\Rightarrow $ $60 \\cdot 7 + 1 = 421$ (подходит: $4 > 2 > 1).$<br />При $k = 8\\Rightarrow $ $60 \\cdot 8 + 1 = 481$ (цифры не убывают).<br />При $k = 9\\Rightarrow $ $60 \\cdot 9 + 1 = 541$ (подходит:  $5 > 4 > 1).$<br />При $k = 10\\Rightarrow $ $60 \\cdot 10 + 1 = 601$ (цифры не убывают).<br />При $k = 11\\Rightarrow $ $60 \\cdot 11 + 1 = 661$ (цифры не убывают).<br />При $k = 12\\Rightarrow $ $60 \\cdot 12 + 1 = 721$ (подходит: $7 > 2 > 1).$<br />При $k = 13\\Rightarrow $ $60 \\cdot 13 + 1 = 781$ (цифры не убывают).<br />При $k = 14\\Rightarrow $ $60 \\cdot 14 + 1 = 841$ (подходит: $8 > 4 > 1).$<br />При $k = 15\\Rightarrow $ $60 \\cdot 15 + 1 = 901$ (цифры не убывают).<br />При $k = 16\\Rightarrow $ $60 \\cdot 16 + 1 = 961$ (подходит: $9 > 6 > 1).$<br /><br />$7.$ Проверяем делимость найденных чисел:<br />Число $421{:}$ <br />$421 : 4 = 105$ $($остаток $1);$<br />$421 : 5 = 84$ $($остаток $1);$<br />$421 : 6 = 70$ $($остаток $1).$<br />Число $541{:}$ <br />$541 : 4 = 135$ $($остаток $1);$<br />$541 : 5 = 108$ $($остаток $1);$<br />$541 : 6 = 90$ $($остаток $1).$<br />Число $721{:}$ <br />$721 : 4 = 180$ $($остаток $1);$<br />$721 : 5 = 144$ $($остаток $1);$<br />$721 : 6 = 120$ $($остаток $1).$<br />Число $841{:}$ <br />$841 : 4 = 210$ $($остаток $1);$<br />$841 : 5 = 168$ $($остаток $1);$<br />$841 : 6 = 140$ $($остаток $1).$<br />Число $961{:}$  <br />$961 : 4 = 240$ $($остаток $1);$<br />$961 : 5 = 192$ $($остаток $1);$<br />$961 : 6 = 160$ $($остаток $1).$<br /><br />Ответ: числа, удовлетворяющие всем условиям задачи: $421,$ $541,$ $721,$ $841,$ $961.$"]},{"content":"Сумма цифр трехзначного натурального числа $А$ делится на $12.$ Сумма цифр числа $(А + 6)$ также делится на $12.$ Найдите наименьшее возможное число $А.$[[fill_choice_big-54]][[image-835]]","widgets":{"fill_choice_big-54":{"type":"fill_choice_big","options":["$699$","$705$","$996$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-835":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/02/test-01.svg","width":"300"}},"hints":["<br />$1.$ Пусть число $A$ имеет вид $abc$, где $a$, $b$, $c$ — его цифры.<br /><br />$2.$ Если $c < 3$, то сумма цифр числа $A + 6$ будет на $6$ больше, чем сумма цифр числа $A$. Это противоречит условию задачи, так как сумма цифр должна делиться на $12$. Следовательно, $c \\geq 4.$<br /><br />$3.$ Рассмотрим три случая:<br /><br />$a)$ $abc,$ $b < 9.$ Число $A + 6$ имеет вид $a(b+1)(c-4)$, сумма цифр числа $A + 6$ на $3$ меньше суммы цифр числа $A.$<br /><br />$b)$ $a9c,$ $a < 9.$ Число $A + 6$ имеет вид $(a+1)0(c-4),$ сумма цифр числа $A + 6$ на $12$ меньше суммы цифр числа $A.$<br /><br />$c)$ $99c,$ Число $A + 6$ имеет вид $100(c-4),$ сумма цифр числа $A + 6$ на $21$ меньше суммы цифр числа $A.$<br /><br />$4.$ Условиям задачи удовлетворяют числа из второго случая. Подберем число $A,$ чтобы сумма его цифр делилась на $12.$<br /><br />$5.$ Наименьшее возможное число $A = 699.$ <br />Проверим:<br />Сумма цифр числа $699{:}$ <br />$6 + 9 + 9 = 24,$ делится на $12.$<br />Число $A + 6 = 705$. <br />Сумма цифр числа $705$:<br /> $7 + 0 + 5 = 12,$ делится на $12.$<br /><br />Ответ: $699.$<br />"]},{"content":"Вычеркните в числе $123456$ три цифры так, чтобы получившееся трехзначное число делилось на $27.$ В ответе укажите получившееся число.[[fill_choice_big-31]][[image-888]]","widgets":{"fill_choice_big-31":{"type":"fill_choice_big","options":["$135$","$165$","$125$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-888":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-4-urok_ruchka.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Вычеркните в числе $123456$ три цифры так, чтобы получившееся трехзначное число делилось на $27$.<br /><br />$2.$ Если число делится на $27,$ то оно должно делиться и на $9.$<br /><br />$3.$ Число делится на $9,$ если сумма его цифр делится на $9.$<br /><br />$4.$ Найдем сумму всех цифр исходного числа:<br />$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.$<br /><br />$5.$ Чтобы получить число, делящееся на $9,$ нужно вычеркнуть цифры, сумма которых равна $12$ $($так как $21-9 = 12).$<br /><br />$6.$ Рассмотрим возможные варианты вычеркивания:<br /><br />$a)$ Вычеркнем $6$, $5$ и $1$ $($их сумма $12).$<br />Получим число $234$ (не делится на $27).$<br /><br />$b)$ Вычеркнем $2,$ $4$ и $6$ (их сумма $12).$<br />Получим число $135$ $($делится на $27).$<br /><br />Проверим:<br />$135 : 27 = 5$ $($делится без остатка).<br /><br />Ответ: $135.$"]},{"content":"Найдите трехзначное натуральное число, большее $600,$ которое при делении на $4,$ на $5$ и на $6$ дает в остатке $3,$ и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. <br />В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-99]][[image-945]]","widgets":{"fill_choice_big-99":{"type":"fill_choice_big","options":["$843$","$743$","$832$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-945":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/01/uchitel-i-uchenik1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть искомое число $N$ при делении на $4$, $5$ и $6$ дает остаток $3$.<br /><br />$2.$ Если вычесть $3$ из $N$, то полученное число должно делиться на $4$, $5$ и $6$.<br /><br />$3.$ Найдем наименьшее общее кратное чисел $4$, $5$ и $6$:<br />$НОК(4, 5, 6) = 60.$<br /><br />$4.$ Искомое число $N$ должно иметь вид:<br />$N = 60k + 3,$ где $k$ — натуральное число.<br /><br />$5.$ Учитывая, что $N > 600,$ найдем возможные значения:<br />$$60k + 3 > 600.$$ $$60k > 597.$$ $$k > 9.95.$$ $6.$ Возможные значения $k{:}$ $10, 11, 12,13,14,15,16.$<br /><br />$7.$ Подставим значения $k$ и проверим условия:<br />$k = 10\\Rightarrow N = 60 \\cdot 10 + 3 = 603;$<br />$k = 11\\Rightarrow N = 60 \\cdot 11 + 3 = 663;$<br />$k = 12\\Rightarrow N = 60 \\cdot 12 + 3 = 723;$<br />$k = 13\\Rightarrow N = 60 \\cdot 13 + 3 = 783;$<br />$k = 14\\Rightarrow  N = 60 \\cdot 14 + 3 = 843;$<br />$k = 15\\Rightarrow  N = 60 \\cdot 15 + 3 = 903;$<br />$k = 16\\Rightarrow N = 60 \\cdot 16 + 3 = 963.$<br /><br />$8.$ Проверим условие убывания цифр:<br />Подходят числа: $843$ и $963.$<br /><br />Ответ: $843$ $($или $963).$"]},{"content":"Найдите четырехзначное число, кратное $88,$ все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-150]][[image-1006]]","widgets":{"fill_choice_big-150":{"type":"fill_choice_big","options":["$2\\space640$","$2\\space840$","$2\\space680$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1006":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/01/tetrad-lastik-penal-uchebnik-pishet-.svg","width":"300"}},"hints":["Число делится на $88,$ если оно делится на $8$ и на $11.$<br /><br />$2.$ Признак делимости на $8{:}$ <br />число делится на $8,$ если три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на $8$.<br /><br />$3.$ Признак делимости на $11{:}$ <br />число делится на $11,$ если сумма цифр на четных местах равна сумме цифр на нечетных местах, либо разность этих сумм делится на $11.$<br /><br />$4.$ Используя признак делимости на $8$ и условие о четности и различности цифр, получаем возможные комбинации последних трех цифр:<br />$024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480,$ <br />$608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864.$<br /><br />$5.$ Используя признак делимости на $11,$ находим подходящие числа:<br />$6\\space248, 8\\space624, 2\\space640.$<br /><br />$6.$ Проверка:<br />$6\\space248: 88 = 71$ (делится без остатка).<br />$8\\space624: 88 = 98$ (делится без остатка).<br />$2\\space640: 88 = 30$ (делится без остатка).<br /><br />Ответ: $2\\space640$ (или $6\\space248,$ или $8\\space624). $"]},{"content":"Найдите четырехзначное число, большее $1\\space500,$ но меньшее $2\\space000,$ которое делится на $ 24$ и сумма цифр которого равна $21.$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-204]][[image-1071]]","widgets":{"fill_choice_big-204":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\space776$","$1\\space677$","$1\\space874$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1071":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/uchenik-uchenitsa-otlichnitsa-otlichnik-pyaterka-dnevnik-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Число должно быть в диапазоне:<br />$1500 < N < 2\\space000.$<br /><br />$2.$ Число должно делиться на $24$, то есть:<br />$N = 24k$, где $k$ — натуральное число.<br /><br />$3.$ Сумма цифр числа должна быть равна $21.$<br /><br />$4.$ Найдем первое число, кратное $24$, большее $1\\space500{:}$<br />$1\\space500 : 24 = 62.5 \\Rightarrow k = 63.$<br />$N = 24 \\cdot 63 = 1\\space512.$<br /><br />$5.$ Найдем последнее число, кратное $24,$ меньшее $2\\space000{:}$<br />$2\\space000 : 24 = 83.33 \\Rightarrow k = 83.$<br />$N = 24 \\cdot 83 = 1\\space992.$<br /><br />$6.$ Проверим числа вида $N = 24k$ от $1\\space512$ до $1\\space992$:<br />$1\\space512\\Rightarrow 1+5+1+2 = 9$ (не подходит);<br />$1\\space536\\Rightarrow 1+5+3+6 = 15$ (не подходит);<br />$1\\space560\\Rightarrow 1+5+6+0 = 12$ (не подходит);<br />$1\\space584\\Rightarrow 1+5+8+4 = 18$ (не подходит);<br />$1\\space608\\Rightarrow 1+6+0+8 = 15$ (не подходит);<br />$1\\space632\\Rightarrow 1+6+3+2 = 12$ (не подходит);<br />$1\\space656\\Rightarrow 1+6+5+6 = 18$ (не подходит);<br />$1\\space680\\Rightarrow 1+6+8+0 = 15$ (не подходит);<br />$1\\space704\\Rightarrow 1+7+0+4 = 12$ (не подходит);<br />$1\\space728\\Rightarrow 1+7+2+8 = 18$ (не подходит);<br />$1\\space752\\Rightarrow 1+7+5+2 = 15$ (не подходит);<br />$1\\space776\\Rightarrow 1+7+7+6 = 21$ (подходит);<br />$1\\space800\\Rightarrow 1+8+0+0 = 9$ (не подходит);<br />$1\\space824\\Rightarrow 1+8+2+4 = 15$ (не подходит);<br />$1\\space848\\Rightarrow 1+8+4+8 = 21$ (подходит);<br />$1\\space872\\Rightarrow 1+8+7+2 = 18$ (не подходит);<br />$1\\space896\\Rightarrow 1+8+9+6 = 24$ (не подходит);<br />$1\\space920\\Rightarrow 1+9+2+0 = 12$ (не подходит);<br />$1\\space944\\Rightarrow 1+9+4+4 = 18$ (не подходит);<br />$1\\space968\\Rightarrow 1+9+6+8 = 24$ (не подходит);<br />$1\\space992\\Rightarrow 1+9+9+2 = 21$ (подходит).<br /><br />$7.$ Проверка делимости на $24$:<br />$1\\space776 : 24 = 74$ (делится без остатка).<br />$1\\space848 : 24 = 77$ (делится без остатка).<br />$1\\space992 : 24 = 83$ (делится без остатка).<br /><br />Ответ: $1\\space776$ $($или $1\\space848,$ или $1\\space992).$"]},{"content":"Найдите четырехзначное число, большее $2\\space000,$ но меньшее $4\\space000,$ которое делится на $18$ и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-634]][[image-1140]]","widgets":{"fill_choice_big-634":{"type":"fill_choice_big","options":["$2\\space358$","$2\\space578$","$2\\space378$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1140":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/pishet-formuly-na-doske-doska2-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Число делится на $18,$ если оно делится на $9$ и на $2.$<br /><br />$2.$ Признак делимости на $9{:}$ сумма цифр числа должна делиться на $9.$<br /><br />$3.$ Признак делимости на $2{:}$ число должно быть четным.<br /><br />$4.$ Представим число в виде $abcd,$ где $a < b < c < d.$<br /><br />$5.$ Рассмотрим случаи для первой цифры:<br /><br />$6.$ Пусть $a = 2{:}$<br />Последняя цифра может быть $6$ или $8.$<br />При $d = 6{:}$ сумма $2+6=8,$ нужны цифры с суммой $10$ (невозможно).<br />При $d = 8{:}$ сумма $2+8=10,$ нужны цифры с суммой $8$<br />Возможное число: $2\\space358.$<br /><br />$7.$ Пусть $a = 3$:<br />При $d = 6{:}$ сумма $3+6=9,$ нужны цифры с суммой $9.$<br />Возможное число: $3\\space456.$<br />При $d = 8{:}$ сумма $3+8=11,$ нужная сумма $7$ (невозможно).<br /><br />$8.$ Проверка:<br />$2\\space358\\Rightarrow$ $2 < 3 < 5 < 8,$ сумма $18,$  делится на $18.$<br />$3\\space456\\Rightarrow$ $3 < 4 < 5 < 6,$ сумма $18,$  делится на $18.$<br /><br />Ответ: $2\\space358$ (или $3\\space456).$"]},{"content":"Найдите четырехзначное число, кратное $125,$ все цифры которого различны и нечетны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-298]][[image-1213]]","widgets":{"fill_choice_big-298":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\space375$","$1\\space350$","$1\\space575$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1213":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/pishet-formuly-na-doske-doska.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Число должно быть кратно $125.$<br /><br />$2.$ Признак делимости на $125{:}$ число должно оканчиваться на $000,$ $125,$ $250,$ $375,$ $500,$ $625,$ $750$ или $875.$<br /><br />$3.$ По условию все цифры должны быть различными и нечетными.<br /><br />$4.$ Из всех возможных окончаний только $375$ состоит из различных нечетных цифр.<br /><br />$5.$ Следовательно, искомое число должно оканчиваться на $375.$<br /><br />$6.$ Первая цифра может быть только $1$ или $9$ (так как все цифры должны быть различными и нечетными).<br /><br />$7.$ Получаем два возможных числа: $1\\space375$ и $9\\space375.$<br /><br />$8.$ Проверка:<br />$1\\space375 :125 = 11$ (делится без остатка).<br />$9\\space375 : 125 = 75$ (делится без остатка).<br />Все цифры в обоих числах различные и нечетные.<br /><br />Ответ: $1\\space375$ $($или $9\\space375).$"]},{"content":"Четырехзначное число $A$ состоит из цифр $0, 1, 5, 6,$ а четырехзначное число $B$  — из цифр $0, 1, 2, 3.$ Известно, что $B = 2A.$  Найдите число $A.$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.[[fill_choice_big-404]][[image-1290]]","widgets":{"fill_choice_big-404":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\space065$","$1\\space650$","$6\\space510$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1290":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/kniga_nauka-chitaet-obrazavr-06-01-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Наибольшая возможная первая цифра $B$ — $3$, поэтому первой цифрой $A$ может быть только $1$.<br /><br />$2.$ Поскольку $B = 2A$ и число $A$ состоит из цифр $0, 1, 5, 6,$ число $B$ является четным числом и заканчивается на $0$ или $2.$<br /><br />$3.$ Рассмотрим оба случая:<br />    $а)$ Если число $B$ заканчивается на $0,$ то число $A$ может заканчиваться на $0$ или $5{:}$<br />$1\\space560$ (подходит).<br />$1\\space065$ (подходит).<br />$1\\space605$ (подходит).<br />$1\\space650$ (не подходит).<br /><br />    $б)$ Если число $B$ заканчивается на $2,$ то число $A$ может заканчиваться на $1$ или $6{:}$<br />$1\\space056$ (не подходит).<br />$1\\space506$ (подходит).<br /><br />$4. $ Проверка всех подходящих чисел:<br />$1\\space560 \\cdot 2 = 3\\space120;$<br />$1\\space065 \\cdot2 = 2\\space130;$<br />$1\\space605 \\cdot2 = 3\\space210;$<br />$1\\space506 \\cdot2 = 3\\space012.$<br /><br />Ответ: $1\\space065,$ $1\\space506,$ $1\\space560,$ $1\\space605.$"]}]}