Натуральные числа
Числа, которые используются при счёте: $1$, $2$, $3$, $4$, …
Целые числа
Натуральные числа, противоположные им числа и ноль: $…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…$
Чётное число
Целое число, которое делится на $2$. Число $n$ чётное, если его можно представить в виде $n=2k$, где $k$ — целое число.
Нечётное число
Целое число, которое не делится на $2$. Число $n$ нечётное, если его можно представить в виде $n=2k+1$, где $k$ — целое число.
Делимость
Число $a$ делится на число $b$, если существует целое число $k$ такое, что $a=bk$. Например, $36$ делится на $4$, потому что $36=4\cdot9$.
Кратное числа
Число, которое делится на $b$. Например, числа $36$, $72$, $108$ являются кратными $36$.
Делитель числа
Число, на которое $a$ делится без остатка. Например, делители числа $12$: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$.
Остаток от деления
Если число $a$ делят на число $b$, то его можно представить в виде $a=bq+r$, где $q$ — частное, а $r$ — остаток.
Сравнение по модулю
Запись $a\equiv b\pmod m$ означает, что числа $a$ и $b$ дают одинаковые остатки при делении на $m$.
Признак делимости на $2$
Число делится на $2$, если его последняя цифра чётная. То есть последняя цифра равна $0$, $2$, $4$, $6$ или $8$.
Признак делимости на $3$
Число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$. Например, $741$ делится на $3$, потому что $7+4+1=12$, а $12$ делится на $3$.
Признак делимости на $4$
Число делится на $4$, если число, образованное двумя последними цифрами, делится на $4$. Например, $3128$ делится на $4$, потому что $28$ делится на $4$.
Признак делимости на $9$
Число делится на $9$, если сумма его цифр делится на $9$. Например, $729$ делится на $9$, потому что $7+2+9=18$, а $18$ делится на $9$.
Признак делимости на $36$
Число делится на $36$, если оно одновременно делится на $4$ и на $9$, так как $36=4\cdot9$, а числа $4$ и $9$ взаимно просты.
Простое число
Натуральное число, большее $1$, которое имеет ровно два натуральных делителя: $1$ и само себя.
Составное число
Натуральное число, большее $1$, которое имеет больше двух натуральных делителей. Например, $12$ — составное число, потому что делится на $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$.
Разложение на множители
Представление числа или выражения в виде произведения. Например, $1106=2\cdot7\cdot79$.
НОД
Наибольший общий делитель нескольких чисел. Например, $\gcd(12;18)=6$.
НОК
Наименьшее общее кратное нескольких чисел. Например, $\operatorname{lcm}(4;9)=36$.
Цифра
Знак для записи числа. В десятичной системе используются цифры $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.
Число
Математический объект, который может быть записан одной или несколькими цифрами. Например, $7$ — число и цифра, а $74134$ — число, записанное пятью цифрами.
Десятичная запись числа
Десятичная запись числа показывает, из каких разрядов оно состоит. Например, $A=100x+10y+z$ — трёхзначное число с сотнями $x$, десятками $y$ и единицами $z$.
Сумма цифр
Сумма всех цифр, входящих в его запись. Например, если $A=137$, то сумма цифр $S=1+3+7=11$.
Разряд числа
Разряд показывает место цифры в записи числа: единицы, десятки, сотни, тысячи и так далее. Например, в числе $84631$ цифра $8$ стоит в разряде десятков тысяч.
Перестановка цифр
Изменение порядка цифр при составлении числа.
Использование каждой цифры ровно один раз
Это условие означает, что цифра не может повторяться и не может быть пропущена.
Процент
Сотая часть величины. $p\%=\frac{p}{100}$. Например, $21\%=0{,}21=\frac{21}{100}$.
Доля
Показывает, какая часть от целого рассматривается. Если в классе $g$ девочек из $n$ учеников, то доля девочек равна $\frac gn$.
Оценка сверху
Показывает, что величина не может быть больше некоторого числа. Например, если доля девочек не превышает $21\%$, то $\frac gn\leq0{,}21$.
Оценка снизу
Показывает, что величина не может быть меньше некоторого числа.
Пример
Конкретная конструкция, которая доказывает возможность. Если в пункте спрашивают «может ли быть», то для ответа «да» достаточно привести один подходящий пример.
Контрпример
Пример, который опровергает общее утверждение.
Доказательство невозможности
Показывает, что ни один вариант не удовлетворяет условию. Обычно используют делимость, остатки, оценки, перебор случаев или противоречие.
Перебор случаев
Разбор всех возможных вариантов, когда их немного или их можно резко ограничить.
Экстремальный принцип
Выбор наибольшего, наименьшего или крайнего объекта. Например, чтобы получить наибольшую сумму из цифр, нужно ставить большие цифры в старшие разряды.
Инвариант
Величина, которая не меняется при заданных действиях. Инвариантами часто бывают чётность, остаток при делении, сумма цифр или сумма всех чисел.
Непрерывное покрытие сумм
В задачах с монетами важно понимать, какие суммы можно набрать из выбранного набора. Если монеты упорядочены по возрастанию и уже можно набрать все суммы от $0$ до $M$, то следующая монета номинала $c$ не создаст разрыва, если $c\leq M+1$.
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
