Задание 16. Вычисления и преобразования

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $\\log_{5}(\\log_{3}243).$[[fill_choice_big-1]][[image-1210]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$2$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1210":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/obrazavr-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем значение внутреннего логарифма: $$\\log_{3}243=5$$ Вычислим внешний логарифм: $$\\log_{5}5=1$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\log_{3}(\\log_{5}125).$[[fill_choice_big-12]][[image-1237]]","widgets":{"fill_choice_big-12":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$5$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1237":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/obrazavr_giperbola-1.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем значение внутреннего логарифма: $$\\log_{5}125=3$$ Вычислим внешний логарифм: $$\\log_{3}3=1$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{\\log_{3}(7^{6})}{3\\log_{3}7}.$[[fill_choice_big-47]][[image-1266]]","widgets":{"fill_choice_big-47":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1266":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/parabola-01.svg","width":"300"}},"hints":["В числителе вынесем степень аргумента как множитель перед логарифмом: $$\\dfrac{\\log_{3}(7^{6})}{3\\log_{3}7}=\\dfrac{6\\log_{3}7}{3\\log_{3}7}$$ Сократим логарифмы и произведем вычисления: $$\\dfrac{6\\cancel{\\log_{3}7}}{3\\cancel{\\log_{3}7}}=\\frac{6}{3}=2$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{\\log_{5}(6^{9})}{3\\log_{5}6}.$[[fill_choice_big-86]][[image-1297]]","widgets":{"fill_choice_big-86":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$6$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1297":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/skejt-01.svg","width":"300"}},"hints":["В числителе вынесем степень аргумента как множитель перед логарифмом: $$\\dfrac{\\log_{5}(6^{9})}{3\\log_{5}6}=\\dfrac{9\\log_{5}6}{3\\log_{5}6}$$ Сократим логарифмы и произведем вычисления: $$\\dfrac{9\\cancel{\\log_{5}6}}{3\\cancel{\\log_{5}6}}=\\frac{9}{3}=3$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $8^{4\\log_{8}3}.$[[fill_choice_big-147]][[image-1330]]","widgets":{"fill_choice_big-147":{"type":"fill_choice_big","options":["$81$","$25$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1330":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_break.svg","width":"300"}},"hints":["Занесем множитель перед логарифмом в логарифм в качестве степени аргумента: $$8^{4\\log_{8}3}=8^{\\log_{8}3^4}$$ Воспользуемся основным свойством логарифмов, а затем произведем вычисления: $$8^{\\log_{8}3^4}=3^4=81$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $5^{2\\log_{5}6}.$[[fill_choice_big-234]][[image-1365]]","widgets":{"fill_choice_big-234":{"type":"fill_choice_big","options":["$36$","$81$","$33$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1365":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_chalk.svg","width":"300"}},"hints":["Занесем множитель перед логарифмом в логарифм в качестве степени аргумента: $$5^{2\\log_{5}6}=5^{\\log_{5}6^2}$$ Воспользуемся основным свойством логарифмов, а затем произведем вычисления: $$5^{\\log_{5}6^2}=6^2=36$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\log_{\\sqrt[4]{7}}7^{3}.$[[fill_choice_big-327]][[image-1402]]","widgets":{"fill_choice_big-327":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$64$","$16$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1402":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl_3_klass_papa_uchitel.svg","width":"300"}},"hints":["Представим корень в виде степени, а затем вынесем как множитель перед логарифмом: $$\\log_{{7^{\\frac{1}{4}}}}7^{3}=4\\log_{{7}}7^{3}$$ Произведем вычисления: $$4\\log_{{7}}7^{3}=4\\cdot 3=12$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\log_{\\sqrt[4]{5}}5^{2}.$[[fill_choice_big-422]][[image-1441]]","widgets":{"fill_choice_big-422":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$6$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1441":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/obrazavr_skuchayushhij.svg","width":"300"}},"hints":["Представим корень в виде степени, а затем вынесем как множитель перед логарифмом: $$\\log_{{5^{\\frac{1}{4}}}}5^{2}=4\\log_{{5}}5^{2}$$ Произведем вычисления: $$4\\log_{{5}}5^{2}=4\\cdot 2=8$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $2^{\\log_{2}7+2}.$[[fill_choice_big-571]][[image-1482]]","widgets":{"fill_choice_big-571":{"type":"fill_choice_big","options":["$28$","$12$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1482":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/obrazavr_ozadachennyj.svg","width":"300"}},"hints":["При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются. Разложим данное число на множители: $$2^{\\log_{2}7+2}=2^{\\log_{2}7}\\cdot 2^2$$ $$2^{\\log_{2}7}\\cdot 2^2=7\\cdot4 =28$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $3^{\\log_{3}8+2}.$[[fill_choice_big-703]][[image-1525]]","widgets":{"fill_choice_big-703":{"type":"fill_choice_big","options":["$72$","$36$","$16$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1525":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/09/kleozavr-lupa-himiya-uchenyj-opyty-kolby-klba.svg","width":"300"}},"hints":["При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются. Разложим данное число на множители: $$3^{\\log_{3}8+2}=3^{\\log_{3}8}\\cdot 3^2$$ $$3^{\\log_{3}8}\\cdot 3^2=8\\cdot9 =72$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $28\\sin{390\\degree}.$[[fill_choice_big-920]][[image-1570]]","widgets":{"fill_choice_big-920":{"type":"fill_choice_big","options":["$14$","$28$","$56$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1570":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/doska-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Значения синуса повторяются через каждые $360$ градусов, поэтому можно уменьшить данный угол на $360\\degree{:}$ $$28\\sin{390\\degree}=28\\sin{30\\degree}$$ Определим значение синуса и выполним вычисления: $$28\\sin{30\\degree}=28\\cdot\\frac{1}{2}=14$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $46\\sqrt{3}\\sin{1140\\degree}.$[[fill_choice_big-1093]][[image-1617]]","widgets":{"fill_choice_big-1093":{"type":"fill_choice_big","options":["$69$","$36$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1617":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/zhmut-ruki-1.svg","width":"300"}},"hints":["Значения синуса повторяются через каждые $360$ градусов, поэтому можно уменьшить данный угол на $3\\cdot 360\\degree{:}$ $$46\\sqrt{3}\\sin{1140\\degree}=46\\sqrt{3}\\sin{60\\degree}$$ Определим значение синуса и выполним вычисления: $$46\\sqrt{3}\\sin{60\\degree}=46\\sqrt{3}\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2}=69$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $(0.01)^{2}\\cdot10^{4}\\cdot2^{3}.$[[fill_choice_big-1]][[image-867]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$5$","$0.2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-867":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/arhitektor-stroitel-doska-chertezh-rulon-bumaga-3.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Произведем возведение в степень: $$(0.01)^{2}\\cdot10^{4}\\cdot2^{3}=0.0001\\cdot10\\space000\\cdot8$$ $$0.0001\\cdot10\\space000\\cdot8=8$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $(0.01)^{2}\\cdot10^{5}:2^{-3}.$[[fill_choice_big-15]][[image-890]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$80$","$20$","$30$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-890":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/svobodnoe2.svg","width":"304"}},"hints":["Произведем возведение в степень: $$(0.01)^{2}\\cdot10^{5}:2^{-3}=0.0001\\cdot100\\space000:\\dfrac{1}{8}$$ $$0.0001\\cdot100\\space000\\cdot \\dfrac{8}{1} = 80$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $(5\\cdot10^{-6})\\cdot(2.6\\cdot 10^{5}).$[[fill_choice_big-52]][[image-915]]","widgets":{"fill_choice_big-52":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.3$","$5$","$13$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-915":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/obrazavr_ozadachennyj.svg","width":"300"}},"hints":["От перестановки множителей произведение не меняется: $$(5\\cdot10^{-6})\\cdot(2.6\\cdot 10^{5})=5\\cdot10^{-6}\\cdot2.6\\cdot 10^{5}$$ $$5\\cdot2.6\\cdot 10^{5}\\cdot10^{-6}=13\\cdot 10^{-1}=1.3$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $(7\\cdot10^{-5})\\cdot(5.2\\cdot 10^{5}).$[[fill_choice_big-97]][[image-942]]","widgets":{"fill_choice_big-97":{"type":"fill_choice_big","options":["$36.4$","$15.8$","$326.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-942":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/sidyat-za-partoj-ruchka.svg","width":"300"}},"hints":["От перестановки множителей произведение не меняется: $$(7\\cdot10^{-5})\\cdot(5.2\\cdot 10^{5})=7\\cdot10^{-5}\\cdot5.2\\cdot 10^{5}$$ $$7\\cdot5.2\\cdot 10^{5}\\cdot10^{-5}=36.4$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{0.1^{4}}{10^{-2}}\\cdot10^{5}.$[[fill_choice_big-178]][[image-971]]","widgets":{"fill_choice_big-178":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\space000$","$500$","$0.001$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-971":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/pet-chaj.svg","width":"300"}},"hints":["Выполним возведение в степень: $$\\dfrac{0.1^{4}}{10^{-2}}\\cdot10^{5}=\\dfrac{0.0001}{0.01}\\cdot10^{5}$$ $$0.01\\cdot 10^{5}=1\\space000$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{0.1^{2}}{10^{-2}}\\cdot10^{4}.$[[fill_choice_big-240]][[image-1002]]","widgets":{"fill_choice_big-240":{"type":"fill_choice_big","options":["$10\\space000$","$1\\space000$","$5\\space000$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1002":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/uchenik-uchitel-uchitelnitsa-papka-1.svg","width":"300"}},"hints":["Выполним возведение в степень: $$\\dfrac{0.1^{2}}{10^{-2}}\\cdot10^{4}=\\dfrac{0.01}{0.01}\\cdot10^{4}$$ $$1\\cdot 10^{4}=10\\space000$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\log_{20}25+\\log_{20}16.$[[fill_choice_big-339]][[image-1035]]","widgets":{"fill_choice_big-339":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$20$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1035":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/himik-laboratoriya-kolby-veshhestvo-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Так как основания логарифмов одинаковые, слагаемые можно занести под один логарифм: $$\\log_{20}25+\\log_{20}16=\\log_{20}25\\cdot16$$ $$\\log_{20}400 = 2$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\log_{15}75+\\log_{15}45.$[[fill_choice_big-483]][[image-1070]]","widgets":{"fill_choice_big-483":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$5$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1070":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/big-x-concept-v3.svg","width":"300"}},"hints":["Так как основания логарифмов одинаковые, слагаемые можно занести под один логарифм: $$\\log_{15}75+\\log_{15}45=\\log_{15}75\\cdot45$$ $$\\log_{15}3\\space375=3$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\log_{2}352-\\log_{2}11.$[[fill_choice_big-648]][[image-1107]]","widgets":{"fill_choice_big-648":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$3$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1107":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/research-phase-1.svg","width":"300"}},"hints":["Так как основания логарифмов одинаковые, разность можно занести под один логарифм: $$\\log_{2}352-\\log_{2}11=\\log_{2}352:11$$ $$\\log_{2}32=5$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\log_{5}75-\\log_{5}3.$[[fill_choice_big-770]][[image-1146]]","widgets":{"fill_choice_big-770":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1146":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/lenivyi-lezhit-divan-kreslo-torsher-1.svg","width":"300"}},"hints":["Так как основания логарифмов одинаковые, разность можно занести под один логарифм: $$\\log_{5}75-\\log_{5}3=\\log_{5}75:3$$ $$\\log_{5}25=2$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{(2^{-4})^2}{2^{-10}}.$[[fill_choice_big-1]][[image-857]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-857":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/tests-01-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Возведем степень в степень в числителе: $$\\dfrac{(2^{-4})^2}{2^{-10}}=\\dfrac{2^{-8}}{2^{-10}}$$ При делении степени вычитаются: $$2^{-8}:2^{-10}=2^{-8-(-10)}$$ $$2^{-8-(-10)}=2^2=4$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{(3^{-4})^2}{3^{-10}}.$[[fill_choice_big-13]][[image-880]]","widgets":{"fill_choice_big-13":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$4$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-880":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/05/obrazavr_bumaga.svg","width":"300"}},"hints":["Возведем степень в степень в числителе: $$\\dfrac{(3^{-4})^2}{3^{-10}}=\\dfrac{3^{-8}}{3^{-10}}$$ При делении степени вычитаются: $$3^{-8}:3^{-10}=3^{-8-(-10)}$$ $$3^{-8-(-10)}=3^2=9$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{2^{-5}\\cdot 2^2}{2^{-6}}.$[[fill_choice_big-50]][[image-905]]","widgets":{"fill_choice_big-50":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$5$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-905":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-4-urok_ruchka.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении — вычитаются. $$\\dfrac{2^{-5}\\cdot 2^2}{2^{-6}}=\\dfrac{2^{-5+2}}{2^{-6}}$$ $$\\dfrac{2^{-3}}{2^{-6}}=2^{-3}:2^{-6}$$ $$2^{-3}:2^{-6}=2^{-3-(-6)}$$ $$2^{-3-(-6)}=2^3=8$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{5^{-10}\\cdot 5^8}{5^{-4}}.$[[fill_choice_big-89]][[image-932]]","widgets":{"fill_choice_big-89":{"type":"fill_choice_big","options":["$25$","$5$","$125$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-932":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl_3_klass_papa_uchitel.svg","width":"300"}},"hints":["При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении — вычитаются. $$\\dfrac{5^{-10}\\cdot 5^8}{5^{-4}}=\\dfrac{5^{-10+8}}{5^{-4}}$$ $$\\dfrac{5^{-2}}{5^{-4}}=5^{-2}:5^{-4}$$ $$5^{-2}:5^{-4}=5^{-2-(-4)}$$ $$5^{-2-(-4)}=5^2=25$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $7^4\\cdot \\dfrac{7^{-5}}{7^{-2}}.$[[fill_choice_big-154]][[image-961]]","widgets":{"fill_choice_big-154":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$2$","$49$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-961":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/ruchka.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении — вычитаются. $$7^4\\cdot7^{-5-(-2)}=7^4\\cdot 7^{-3}$$ $$7^4\\cdot 7^{-3}=7^1=7$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $2^{-5}\\cdot \\dfrac{2^{3}}{2^{-3}}.$[[fill_choice_big-226]][[image-992]]","widgets":{"fill_choice_big-226":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$5$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-992":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/uchitel-doska-globus.svg","width":"300"}},"hints":["При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении — вычитаются. $$2^{-5}\\cdot2^{3-(-3)}=2^{-5}\\cdot 2^{6}$$ $$2^{-5}\\cdot 2^{6}=2^1=2$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{16^{5}}{4^{8}}.$[[fill_choice_big-331]][[image-1025]]","widgets":{"fill_choice_big-331":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$4$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1025":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/dumaet-primer-doska2-v2.svg","width":"300"}},"hints":["Представим $16$ в виде $4$ в степени $2{:}$ $$\\dfrac{16^{5}}{4^{8}}=\\dfrac{(4^{2})^{5}}{4^{8}}$$ При возведении степени в степень степени перемножаются: $$\\dfrac{(4^{2})^{5}}{4^{8}}=\\dfrac{4^{10}}{4^{8}}$$ При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$\\dfrac{4^{10}}{4^{8}}=4^{10-8}$$ $$4^{10-8}=4^2=16$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{81^{3}}{3^{9}}.$[[fill_choice_big-440]][[image-1060]]","widgets":{"fill_choice_big-440":{"type":"fill_choice_big","options":["$27$","$81$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1060":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/prover-sebya-stol-lapy-01.svg","width":"300"}},"hints":["Представим $81$ в виде $3$ в степени $4{:}$ $$\\dfrac{81^{3}}{3^{9}}=\\dfrac{(3^{4})^{3}}{3^{9}}$$ При возведении степени в степень степени перемножаются: $$\\dfrac{(3^{4})^{3}}{3^{9}}=\\dfrac{3^{12}}{3^{9}}$$ При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$\\dfrac{3^{12}}{3^{9}}=3^{12-9}$$ $$3^{12-9}=3^3=27$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{5^{29}\\cdot 7^{28}}{35^{27}}.$[[fill_choice_big-637]][[image-1097]]","widgets":{"fill_choice_big-637":{"type":"fill_choice_big","options":["$175$","$85$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1097":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/dumaet-nad-formulami-na-doske-formuly-doska.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Представим знаменатель дроби в виде произведения: $$\\dfrac{5^{29}\\cdot 7^{28}}{35^{27}}=\\dfrac{5^{29}\\cdot 7^{28}}{5^{27}\\cdot 7^{27}}$$ Произведем сокращения: $$\\dfrac{5^{{}^2\\cancel{29}}\\cdot 7^{{}^1\\cancel{28}}}{\\cancel{5^{27}}\\cdot \\cancel{7^{27}}}=5^2\\cdot 7=175$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{4^{10}\\cdot 9^{9}}{36^{8}}.$[[fill_choice_big-760]][[image-1136]]","widgets":{"fill_choice_big-760":{"type":"fill_choice_big","options":["$144$","$16$","$81$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1136":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/01/teacher.svg","width":"300"}},"hints":["Представим знаменатель дроби в виде произведения: $$\\dfrac{4^{10}\\cdot 9^{9}}{36^{8}}=\\dfrac{4^{10}\\cdot 9^{9}}{4^{8}\\cdot 9^{8}}$$ Произведем сокращения: $$\\dfrac{4^{{}^2\\cancel{10}}\\cdot 9^{{}^1\\cancel{9}}}{\\cancel{4^{8}}\\cdot \\cancel{9^{8}}}=4^2\\cdot 9=144$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $(\\sqrt{48}-\\sqrt{3})\\cdot\\sqrt{3}.$[[fill_choice_big-1]][[image-843]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$8$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-843":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/pic_1-01.svg","width":"300"}},"hints":["Раскроем скобки: $$(\\sqrt{48}-\\sqrt{3})\\cdot\\sqrt{3}=\\sqrt{48}\\cdot \\sqrt{3}-\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}$$ Занесем множители под один знак корня и произведем вычисления: $$\\sqrt{48 \\cdot3}-\\sqrt{3 \\cdot 3}=\\sqrt{144}-\\sqrt{9}$$ $$12-3 = 9$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $(\\sqrt{12}-\\sqrt{3})\\cdot\\sqrt{3}.$[[fill_choice_big-35]][[image-872]]","widgets":{"fill_choice_big-35":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$4$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-872":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/02/test-01.svg","width":"300"}},"hints":["Раскроем скобки: $$(\\sqrt{12}-\\sqrt{3})\\cdot\\sqrt{3}=\\sqrt{12}\\cdot \\sqrt{3}-\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}$$ Занесем множители под один знак корня и произведем вычисления: $$\\sqrt{12\\cdot3}-\\sqrt{3 \\cdot 3}=\\sqrt{36}-\\sqrt{9}$$ $$6-3 =3$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $(\\sqrt{20}-\\sqrt{5})\\cdot\\sqrt{5}.$[[fill_choice_big-18]][[image-903]]","widgets":{"fill_choice_big-18":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$3$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-903":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/diagramma-stol-lapy-1.svg","width":"300"}},"hints":["Раскроем скобки: $$(\\sqrt{20}-\\sqrt{5})\\cdot\\sqrt{5}=\\sqrt{20}\\cdot \\sqrt{5}-\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{5}$$ Занесем множители под один знак корня и произведем вычисления: $$\\sqrt{20\\cdot5}-\\sqrt{5 \\cdot 5}=\\sqrt{100}-\\sqrt{25}$$ $$10-5 =5$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $(\\sqrt{41}-\\sqrt{6})(\\sqrt{41}+\\sqrt{6}) .$[[fill_choice_big-28]][[image-936]]","widgets":{"fill_choice_big-28":{"type":"fill_choice_big","options":["$35$","$41$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-936":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/personazh-s-lupoi-vopros-voprosy.svg","width":"300"}},"hints":["Свернем выражение по формуле разности квадратов: $$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$ $$(\\sqrt{41}-\\sqrt{6})(\\sqrt{41}+\\sqrt{6}) =\\sqrt{41}^2-\\sqrt{6}^2$$ Произведем вычисления: $$\\sqrt{41}^2-\\sqrt{6}^2=41-6=35$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $(\\sqrt{42}-\\sqrt{10})(\\sqrt{42}+\\sqrt{10}) .$[[fill_choice_big-105]][[image-971]]","widgets":{"fill_choice_big-105":{"type":"fill_choice_big","options":["$32$","$42$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-971":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/vremya5-01.svg","width":"300"}},"hints":["Свернем выражение по формуле разности квадратов: $$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$ $$(\\sqrt{42}-\\sqrt{10})(\\sqrt{42}+\\sqrt{10}) =\\sqrt{42}^2-\\sqrt{10}^2$$ Произведем вычисления: $$\\sqrt{42}^2-\\sqrt{10}^2=42-10=32$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $(\\sqrt{29}-\\sqrt{18})(\\sqrt{29}+\\sqrt{18}) .$[[fill_choice_big-167]][[image-1008]]","widgets":{"fill_choice_big-167":{"type":"fill_choice_big","options":["$11$","$24$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1008":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/zhurnalist-1.svg","width":"300"}},"hints":["Свернем выражение по формуле разности квадратов: $$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$ $$(\\sqrt{29}-\\sqrt{18})(\\sqrt{29}+\\sqrt{18}) =\\sqrt{29}^2-\\sqrt{18}^2$$ Произведем вычисления: $$\\sqrt{29}^2-\\sqrt{18}^2=29-18=11$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $7 \\cdot 2^3 + 3\\cdot 2^2.$[[fill_choice_big-266]][[image-1047]]","widgets":{"fill_choice_big-266":{"type":"fill_choice_big","options":["$68$","$34$","$56$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1047":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/istorik-istoriya-chitaet-knigu-kniga-lupa-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Возведем числа в степени и выполним вычисления: $$7 \\cdot 2^3 + 3\\cdot 2^2=7 \\cdot 8 + 3\\cdot 4$$ $$7 \\cdot 8 + 3\\cdot 4=56+12=68$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $9 \\cdot (-1)^2 + 3\\cdot (-1)^3.$[[fill_choice_big-375]][[image-816]]","widgets":{"fill_choice_big-375":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$7$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-816":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/shestirenki-01.svg","width":"300"}},"hints":["Возведем числа в степени и выполним вычисления: $$9 \\cdot (-1)^2 + 3\\cdot (-1)^3=9 \\cdot 1 + 3\\cdot (-1)$$ $$9 \\cdot 1 + 3\\cdot (-1)=9-3=6$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $(-10)^5 + (-10)^3 + (-10)^0.$[[fill_choice_big-500]][[image-791]]","widgets":{"fill_choice_big-500":{"type":"fill_choice_big","options":["$-100\\space999$","$100\\space101$","$-10\\space110$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-791":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/personazh-s-lupoi-.svg","width":"300"}},"hints":["Возведем числа в степени и выполним вычисления: $$(-10)^5 + (-10)^3 + (-10)^0=-100\\space000-1\\space000+1$$ $$-100\\space000-1\\space000+1=-100\\space999$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $3 \\cdot 10^2 + 5\\cdot 10^3+4\\cdot 10.$[[fill_choice_big-641]][[image-768]]","widgets":{"fill_choice_big-641":{"type":"fill_choice_big","options":["$5\\space340$","$3\\space220$","$-4\\space040$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-768":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/neighbours-1.svg","width":"300"}},"hints":["Возведем числа в степени и выполним вычисления: $$3 \\cdot 10^2 + 5\\cdot 10^3+4\\cdot 10=3 \\cdot 100 + 5\\cdot 1\\space 000+40$$ $$3 \\cdot 100 + 5\\cdot 1\\space 000+40=300+5\\space000+40$$ $$300+5\\space000+40=5\\space340$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2.5}.$[[fill_choice_big-1]][[image-727]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$25$","$2.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-727":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/obrazavr-01.svg","width":"300"}},"hints":["Занесем множители под один знак корня: $$\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2.5}=\\sqrt{10 \\cdot 2.5}$$ Произведем расчеты под корнем: $$\\sqrt{10 \\cdot 2.5} = \\sqrt{25}$$ Вычислим квадратный корень из полученного числа: $$\\sqrt{25} = 5$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{6.4}.$[[fill_choice_big-15]][[image-748]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$6$","$6.4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-748":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/obrazavr_v-stresse.svg","width":"300"}},"hints":["Занесем множители под один знак корня: $$\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{6.4}=\\sqrt{10 \\cdot 6.4}$$ Произведем расчеты под корнем: $$\\sqrt{10 \\cdot 6.4} = \\sqrt{64}$$ Вычислим квадратный корень из полученного числа: $$\\sqrt{64} = 8$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\sqrt{35} \\cdot \\sqrt{1.4}.$[[fill_choice_big-41]][[image-771]]","widgets":{"fill_choice_big-41":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$35$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-771":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/arhitektor-stroitel-doska-chertezh-rulon-bumaga-3.svg","width":"300"}},"hints":["Занесем множители под один знак корня: $$\\sqrt{35} \\cdot \\sqrt{1.4}=\\sqrt{35\\cdot 1.4}$$ Произведем расчеты под корнем: $$\\sqrt{35\\cdot 1.4} = \\sqrt{49}$$ Вычислим квадратный корень из полученного числа: $$\\sqrt{49} = 7$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{20}{(4\\sqrt{5})^2}.$[[fill_choice_big-92]][[image-796]]","widgets":{"fill_choice_big-92":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$4$","$0.04$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-796":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/student-uchenik.svg","width":"300"}},"hints":["Возведем знаменатель в квадрат: $$\\dfrac{20}{(4\\sqrt{5})^2}=\\dfrac{20}{16 \\cdot 5}$$ Произведем оставшиеся вычисления: $$\\dfrac{20}{16 \\cdot 5} = \\dfrac{20}{80}$$ $$\\dfrac{20}{80}=0.25$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{61}{(2\\sqrt{5})^2}.$[[fill_choice_big-161]][[image-823]]","widgets":{"fill_choice_big-161":{"type":"fill_choice_big","options":["$3.05$","$7.1$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-823":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/tihij-1.svg","width":"300"}},"hints":["Возведем знаменатель в квадрат: $$\\dfrac{61}{(2\\sqrt{5})^2}=\\dfrac{61}{4\\cdot 5}$$ Произведем оставшиеся вычисления: $$\\dfrac{61}{4\\cdot 5} = \\dfrac{61}{20}$$ $$\\dfrac{61}{20}=3.05$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{56}{(4\\sqrt{7})^2}.$[[fill_choice_big-233]][[image-852]]","widgets":{"fill_choice_big-233":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$0.25$","$0.7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-852":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/obshhenie-01.svg","width":"300"}},"hints":["Возведем знаменатель в квадрат: $$\\dfrac{56}{(4\\sqrt{7})^2}=\\dfrac{56}{16\\cdot 7}$$ Произведем оставшиеся вычисления: $$\\dfrac{56}{16\\cdot 7} = \\dfrac{56}{112}$$ $$\\dfrac{56}{112}=0.5$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{\\sqrt{11}\\cdot \\sqrt{35}}{\\sqrt{55\\cdot 7}}.$[[fill_choice_big-428]][[image-883]]","widgets":{"fill_choice_big-428":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$2$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-883":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/personazh-dumaet.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Занесем множители в числителе под один знак корня: $$\\dfrac{\\sqrt{11\\cdot 35}}{\\sqrt{55\\cdot 7}}$$ Занесем числитель и знаменатель под один знак корня: $$\\dfrac{\\sqrt{11\\cdot 35}}{\\sqrt{55\\cdot 7}}=\\sqrt{\\dfrac{11\\cdot 35}{55\\cdot 7}}$$ Произведем вычисления под корнем: $$\\sqrt{\\dfrac{11\\cdot 35}{55\\cdot 7}}=\\sqrt{1}$$ Вычислим квадратный корень: $$\\sqrt{1} = 1$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{\\sqrt{6}\\cdot \\sqrt{7}}{\\sqrt{2\\cdot 21}}.$[[fill_choice_big-530]][[image-916]]","widgets":{"fill_choice_big-530":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$2$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-916":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/kniga_nauka-chitaet-obrazavr-01-01.svg","width":"300"}},"hints":["Занесем множители в числителе под один знак корня: $$\\dfrac{\\sqrt{6\\cdot 7}}{\\sqrt{2\\cdot 21}}$$ Занесем числитель и знаменатель под один знак корня: $$\\dfrac{\\sqrt{6\\cdot 7}}{\\sqrt{2\\cdot 21}}=\\sqrt{\\dfrac{6\\cdot 7}{2\\cdot 21}}$$ Произведем вычисления под корнем: $$\\sqrt{\\dfrac{6\\cdot 7}{2\\cdot 21}}=\\sqrt{1}$$ Вычислим квадратный корень: $$\\sqrt{1} = 1$$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{\\sqrt{19}\\cdot \\sqrt{33}}{\\sqrt{57\\cdot 11}}.$[[fill_choice_big-631]][[image-951]]","widgets":{"fill_choice_big-631":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$19$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-951":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/dino-idea.svg","width":"300"}},"hints":["Занесем множители в числителе под один знак корня: $$\\dfrac{\\sqrt{19\\cdot 33}}{\\sqrt{57\\cdot 11}}$$ Занесем числитель и знаменатель под один знак корня: $$\\dfrac{\\sqrt{19\\cdot 33}}{\\sqrt{57\\cdot 11}}=\\sqrt{\\dfrac{19\\cdot 33}{57\\cdot 11}}$$ Произведем вычисления под корнем: $$\\sqrt{\\dfrac{19\\cdot 33}{57\\cdot 11}}=\\sqrt{1}$$ Вычислим квадратный корень: $$\\sqrt{1} = 1$$"]}],"mix":1}