17. Различные фигуры: все задания

Так как трапеция равнобедренная, углы при основании $AD$ равны:

$\angle A=\angle D=74^\circ$

Основания $AD$ и $BC$ параллельны, значит соседние углы при боковой стороне дополняют друг друга до $180^\circ$:

$\angle B=180^\circ-74^\circ=106^\circ$

Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $21^\circ$, значит:

$\angle BAC=21^\circ$

Рассмотрим треугольник $ABC$:

$\angle ACB=180^\circ-106^\circ-21^\circ=53^\circ$

Именно угол $\angle ACB$ является углом между диагональю $AC$ и меньшим основанием $BC$.

Так как трапеция равнобедренная, углы при основании $AD$ равны:

$\angle A=\angle D=68^\circ$

Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, значит:

$\angle CAD=\frac{68^\circ}{2}=34^\circ$

Рассмотрим треугольник $ACD$:

$\angle ADC=68^\circ$
$\angle CAD=34^\circ$

Тогда:

$\angle ACD=180^\circ-68^\circ-34^\circ=78^\circ$

Так как $AK$ — биссектриса угла $A$, то:

$\angle BAK=\angle KAC$

Рассмотрим треугольник $AKC$. По условию:

$AK=CK$

Значит, треугольник $AKC$ равнобедренный, поэтому углы при основании $AC$ равны:

$\angle KAC=\angle ACK$

Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, то:

$\angle ACK=\angle C=12^\circ$

Значит:

$\angle KAC=12^\circ$

Тогда весь угол $A$ равен:

$\angle A=12^\circ+12^\circ=24^\circ$

Найдём угол $B$:

$\angle B=180^\circ-24^\circ-12^\circ=144^\circ$

Так как $AK$ — биссектриса угла $A$, то: $\angle BAK=\angle KAC$

Рассмотрим треугольник $AKC$. По условию: $AK=CK$

Значит, треугольник $AKC$ равнобедренный, поэтому углы при основании $AC$ равны:

$\angle KAC=\angle ACK$

Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, то: $\angle ACK=\angle C=23^\circ$

Значит: $\angle KAC=23^\circ$

Тогда весь угол $A$ равен:

$\angle A=23^\circ+23^\circ=46^\circ$

Найдём угол $B$:

$\angle B=180^\circ-46^\circ-23^\circ=111^\circ$

Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$, значит: $AM=MC$

По условию также: $BM=AM=MC$

Значит, точка $M$ равноудалена от точек $A$, $B$ и $C$, то есть является центром описанной окружности треугольника $ABC$.

Так как центр описанной окружности лежит на стороне $AC$, то $AC$ — диаметр, а угол $B$ — прямой: $\angle B=90^\circ$

Тогда: $\angle A=180^\circ-90^\circ-65^\circ=25^\circ$

Так как трапеция равнобедренная, углы при основании $AD$ равны:

$\angle A=\angle D=58^\circ$

Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, значит: $\angle CAD=\frac{58^\circ}{2}=29^\circ$

Рассмотрим треугольник $ACD$:

$\angle ADC=58^\circ$
$\angle CAD=29^\circ$

Тогда: $\angle ACD=180^\circ-58^\circ-29^\circ=93^\circ$

В ромбе соседние углы дополняют друг друга до $180^\circ$, значит тупой угол равен:

$180^\circ-52^\circ=128^\circ$

Меньшая диагональ ромба проходит через вершины тупых углов и делит эти углы пополам.

Значит, угол между стороной и меньшей диагональю равен:

$\frac{128^\circ}{2}=64^\circ$

Так как $AK$ — биссектриса угла $A$, то: $\angle BAK=\angle KAC$

Рассмотрим треугольник $AKC$. По условию: $AK=CK$

Значит, треугольник $AKC$ равнобедренный, поэтому углы при основании $AC$ равны:

$\angle KAC=\angle ACK$

Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, то: $\angle ACK=\angle C=20^\circ$

Значит: $\angle KAC=20^\circ$

Тогда весь угол $A$ равен: $\angle A=20^\circ+20^\circ=40^\circ$

Найдём угол $B$:

$\angle B=180^\circ-40^\circ-20^\circ=120^\circ$

Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, значит острый угол ромба равен:

$180^\circ-134^\circ=46^\circ$

Большая диагональ ромба проходит через острые углы и делит их пополам, значит угол между большей диагональю и стороной равен:

$\frac{46^\circ}{2}=23^\circ$

Высота ромба перпендикулярна стороне, поэтому угол между высотой и большей диагональю равен:

$90^\circ-23^\circ=67^\circ$

Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам.

Перпендикуляр к стороне образует с диагональю угол $35^\circ$, значит угол между этой стороной и той же диагональю равен: $90^\circ-35^\circ=55^\circ$

Этот угол является половиной тупого угла ромба, так как диагональ ромба делит угол пополам.

Тупой угол ромба равен: $55^\circ\cdot2=110^\circ$

Тогда острый угол ромба равен:

$180^\circ-110^\circ=70^\circ$

Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, значит острый угол ромба равен:

$180^\circ-118^\circ=62^\circ$

Большая диагональ ромба проходит через острые углы и делит их пополам, значит угол между большей диагональю и стороной равен:

$\frac{62^\circ}{2}=31^\circ$

Высота ромба перпендикулярна стороне, поэтому угол между высотой и большей диагональю равен:

$90^\circ-31^\circ=59^\circ$

Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$, значит: $AM=MC$

По условию также: $BM=AM=MC$

Значит, точка $M$ равноудалена от точек $A$, $B$ и $C$, то есть является центром описанной окружности треугольника $ABC$.

Так как центр описанной окружности лежит на стороне $AC$, то $AC$ — диаметр, а угол $B$ — прямой: $\angle B=90^\circ$

Тогда: $\angle A=180^\circ-90^\circ-68^\circ=22^\circ$

Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, значит тупой угол равен:

$180^\circ-78^\circ=102^\circ$

Меньшая диагональ ромба проходит через вершины тупых углов и делит эти углы пополам.

Значит, угол между стороной и меньшей диагональю равен:

$\frac{102^\circ}{2}=51^\circ$

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности.

Значит, расстояние от точки $O$ до стороны треугольника — это радиус вписанной окружности: $r=4\sqrt3$

Для равностороннего треугольника:

$r=\frac{a\sqrt3}{6}$

Подставим значение $r$:

$\frac{a\sqrt3}{6}=4\sqrt3$
$a\sqrt3=24\sqrt3$
$a=24$

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности.

Значит, расстояние от точки $O$ до стороны треугольника — это радиус вписанной окружности: $r=5\sqrt3$

Для равностороннего треугольника: $r=\frac{a\sqrt3}{6}$

Подставим значение $r$:

$\frac{a\sqrt3}{6}=5\sqrt3$
$a\sqrt3=30\sqrt3$
$a=30$

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности.

Значит, расстояние от точки $O$ до стороны треугольника — это радиус вписанной окружности: $r=\frac{\sqrt3}{2}$

Для равностороннего треугольника: $r=\frac{a\sqrt3}{6}$

Подставим значение $r$:

$\frac{a\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$
$a\sqrt3=3\sqrt3$
$a=3$

Так как основания трапеции параллельны, то углы при боковой стороне $CD$ в сумме дают $180^\circ$:

$\angle C+\angle D=180^\circ$

$\angle C=180^\circ-76^\circ=104^\circ$

Угол $C$ состоит из двух углов:

$\angle BCA+\angle ACD=104^\circ$

По условию: $\angle ACD=49^\circ$

Значит: $\angle BCA=104^\circ-49^\circ=55^\circ$

Именно $\angle BCA$ — это угол между диагональю $AC$ и меньшим основанием $BC$.

Так как трапеция равнобедренная, углы при основании $AD$ равны:

$\angle A=\angle D=73^\circ$

Основания $AD$ и $BC$ параллельны, значит соседние углы при боковой стороне дополняют друг друга до $180^\circ$:

$\angle B=180^\circ-73^\circ=107^\circ$

Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $19^\circ$, значит:

$\angle BAC=19^\circ$

Рассмотрим треугольник $ABC$:

$\angle ACB=180^\circ-107^\circ-19^\circ=54^\circ$

Именно $\angle ACB$ — это угол между диагональю $AC$ и меньшим основанием $BC$.

Так как трапеция равнобедренная, углы при основании $AD$ равны:

$\angle A=\angle D=78^\circ$

Основания $AD$ и $BC$ параллельны, значит соседние углы при боковой стороне дополняют друг друга до $180^\circ$:

$\angle B=180^\circ-78^\circ=102^\circ$

Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $32^\circ$, значит:

$\angle BAC=32^\circ$

Рассмотрим треугольник $ABC$:

$\angle ACB=180^\circ-102^\circ-32^\circ=46^\circ$

Именно $\angle ACB$ — это угол между диагональю $AC$ и меньшим основанием $BC$.

Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$, значит: $AM=MC$

По условию также: $BM=AM=MC$

Значит, точка $M$ равноудалена от точек $A$, $B$ и $C$, то есть является центром описанной окружности треугольника $ABC$.

Так как центр описанной окружности лежит на стороне $AC$, то $AC$ — диаметр, а угол $B$ — прямой: $\angle B=90^\circ$

Тогда:

$\angle A=180^\circ-90^\circ-71^\circ=19^\circ$