2. Векторы: все задания

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(1-3;5-1)=\vec{a}(-2;4)$$ $$\vec{b}(2-5;4-3)=\vec{b}(-3;1)$$

Найдите скалярное произведение векторов:$$\vec{a}\cdot \vec{b}(-2\cdot (-3) +4\cdot1)=10$$

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(3-1;3-2)=\vec{a}(2;1)$$ $$\vec{b}(4-2;4-5)=\vec{b}(2;-1)$$

Найдите скалярное произведение векторов:$$\vec{a}\cdot \vec{b}(2\cdot 2 +1\cdot(-1))=3$$

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(1-4;1-2)=\vec{a}(-3;-1)$$ $$\vec{b}(2-5;3-5)=\vec{b}(-3;-2)$$

Найдите скалярное произведение векторов:$$\vec{a}\cdot \vec{b}(-3\cdot (-3) -1\cdot(-2))=11$$

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(2-4;3-1)=\vec{a}(-2;2)$$ $$\vec{b}(5-3;4-5)=\vec{b}(2;-1)$$

Найдите скалярное произведение векторов:$$\vec{a}\cdot \vec{b}(-2\cdot 2+2\cdot(-1))=-6$$

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(1-3;2-1)=\vec{a}(-2;1)$$ $$\vec{b}(5-2;4-3)=\vec{b}(3;1)$$

Найдите скалярное произведение векторов:$$\vec{a}\cdot \vec{b}(-2\cdot 3 +1\cdot1)=-5$$

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(4-2;5-1)=\vec{a}(2;4)$$ $$\vec{b}(9-5;7-3)=\vec{b}(4;4)$$

Сложим вектора:$$\vec{a}+ \vec{b}(2+4;4+4)$$ $$\vec{a}+ \vec{b}(6;8)$$

Найдем длину полученного вектора:$$|\vec{a}+ \vec{b}|=\sqrt{6^2+8^2}=10$$

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(1-9;1-5)=\vec{a}(-8;-4)$$ $$\vec{b}(9-5;2-1)=\vec{b}(4;1)$$

Сложим вектора:$$\vec{a}+ \vec{b}(-8+4;-4+1)$$ $$\vec{a}+ \vec{b}(-4;-3)$$

Найдем длину полученного вектора:$$|\vec{a}+ \vec{b}|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5$$

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(7-1;3-1)=\vec{a}(6;2)$$ $$\vec{b}(7-9;4-3)=\vec{b}(-2;1)$$

Сложим вектора:$$\vec{a}+ \vec{b}(6-2;2+1)$$ $$\vec{a}+ \vec{b}(4;3)$$

Найдем длину полученного вектора:$$|\vec{a}+ \vec{b}|=\sqrt{4^2+3^2}=5$$

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(10-1;3-1)=\vec{a}(9;2)$$ $$\vec{b}(5-2;6-3)=\vec{b}(3;3)$$

Сложим вектора:$$\vec{a}+ \vec{b}(9+3;2+3)$$ $$\vec{a}+ \vec{b}(12;5)$$

Найдем длину полученного вектора:$$|\vec{a}+ \vec{b}|=\sqrt{12^2+5^2}=13$$

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(4-10;1-5)=\vec{a}(-6;-4)$$ $$\vec{b}(7-1;6-1)=\vec{b}(6;5)$$

Найдем разность векторов:$$\vec{a}- \vec{b}(-6-6;-4-5)$$ $$\vec{a}- \vec{b}(-12;-9)$$

Найдем длину полученного вектора:$$|\vec{a}- \vec{b}|=\sqrt{(-12)^2+(-9)^2}=15$$

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(3-9;3-1)=\vec{a}(-6;2)$$ $$\vec{b}(4-6;5-6)=\vec{b}(-2;-1)$$

Найдем разность векторов:$$\vec{a}-\vec{b}(-6+2;2+1)$$ $$\vec{a}-\vec{b}(-4;3)$$

Найдем длину полученного вектора:$$|\vec{a}- \vec{b}|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$$

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(8-9;2-6)=\vec{a}(-1;-4)$$ $$\vec{b}(6-1;5-1)=\vec{b}(5;4)$$

Найдем разность векторов:$$\vec{a}-\vec{b}(-1-5;-4-4)$$ $$\vec{a}-\vec{b}(-6;-8)$$

Найдем длину полученного вектора:$$|\vec{a}- \vec{b}|=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}=10$$

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(3-9;3-1)=\vec{a}(-6;2)$$ $$\vec{b}(10-8;2-6)=\vec{b}(2;-4)$$

Найдем разность векторов:$$\vec{a}-\vec{b}(-6-2;2+4)$$ $$\vec{a}-\vec{b}(-8;6)$$

Найдем длину полученного вектора:$$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{(-8)^2+6^2}=10$$

Определим координаты каждого из векторов: $$\vec{a}(1-4;1-2)=\vec{a}(-3;-1)$$ $$\vec{b}(2-5;3-5)=\vec{b}(-3;-2)$$

Найдем разность векторов:$$\vec{a}-\vec{b}(-3+3;-1+2)$$ $$\vec{a}-\vec{b}(0;1)$$

Найдем длину полученного вектора:$$|\vec{a}- \vec{b}|=\sqrt{(0)^2+(1)^2}=1$$

Косинус угла между векторами можно найти по формуле: $$cos \space φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$ $$cos \space φ = \frac{x_a \cdot x_b + y_a\cdot y_b}{\sqrt{{x_a}^2 + {y_a}^2} \cdot \sqrt{{x_b}^2 + {y_b}^2}}$$

$$\frac{2 \cdot (-1) + (-6) \cdot (-3)}{\sqrt{2^2+(-6)^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+(-3)^2}} = \frac{16}{20} = 0.8$$

Косинус угла между векторами можно найти по формуле: $$cos \space φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$ $$cos \space φ = \frac{x_a \cdot x_b + y_a\cdot y_b}{\sqrt{{x_a}^2 + {y_a}^2} \cdot \sqrt{{x_b}^2 + {y_b}^2}}$$

$$\frac{-4 \cdot 3 + (-3) \cdot 4}{\sqrt{(-4)^2+(-3)^2} \cdot \sqrt{3^2+4^2}} = \frac{-24}{25} = -0.96$$

Косинус угла между векторами можно найти по формуле: $$cos \space φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$ $$cos \space φ = \frac{x_a \cdot x_b + y_a\cdot y_b}{\sqrt{{x_a}^2 + {y_a}^2} \cdot \sqrt{{x_b}^2 + {y_b}^2}}$$

$$\frac{-6 \cdot (-2) + 3 \cdot (-1)}{\sqrt{(-6)^2+3^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+(-1)^2}} = \frac{9}{15} = 0.6$$

Косинус угла между векторами можно найти по формуле: $$cos \space φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$ $$cos \space φ = \frac{x_a \cdot x_b + y_a\cdot y_b}{\sqrt{{x_a}^2 + {y_a}^2} \cdot \sqrt{{x_b}^2 + {y_b}^2}}$$

$$\frac{-2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2)}{\sqrt{(-2)^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{-4}{5} = -0.8$$

Косинус угла между векторами можно найти по формуле: $$cos \space φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$ $$cos \space φ = \frac{x_a \cdot x_b + y_a\cdot y_b}{\sqrt{{x_a}^2 + {y_a}^2} \cdot \sqrt{{x_b}^2 + {y_b}^2}}$$

$$\frac{1 \cdot (-6) + 3 \cdot (-2)}{\sqrt{1^2+3^2} \cdot \sqrt{(-6)^2+(-2)^2}} = \frac{-12}{20} = -0.6$$

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, то есть выполняется равенство: $$x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b = 0$$

Найдем скалярное произведение векторов, оно должно быть равно нулю:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-10) + 6 \cdot x = 0$$ $$-30 + 6x = 0$$ $$x = 5$$