10. Текстовые задачи: все задания

Пусть скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A$ равна $x км/ч.$ Тогда скорость из $A$ в $B$ будет равна $x-3 \spaceкм/ч.$ Время движения велосипедиста вперед будет: $\frac{70}{x-3} \spaceч,$ а время движения велосипедиста назад будет равно: $\frac{70}{x}+3 \spaceч.$ На путь из $B$ в $A$ велосипедист затратил столько же времени, сколько и на путь из $A$ в $B$: $$\frac{70}{x}+3=\frac{70}{x-3}$$

Решим полученное уравнение: $$x^2-3x+70=0$$ $$x_1=10$$ $$x_2=-7$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, скорость велосипедиста на пути из города $B$ в город $A$ равна $10 \spaceкм/ч.$

Скорости друзей отличаются на $1.5\space км/ч,$ значит, они удаляются друг от друга каждый час на $1.5\space км.$ Следовательно, для того чтобы найти время, через которое расстояние между ними станет равным $300\space м,$ нужно необходимое расстояние разделить на скорость удаления: $$\frac{300}{1500}=0.2$$ Переведем часы в минуты: $$0.2 \cdot 60 = 12$$

Первый садовый насос перекачивает $5$ литров воды за $2$ минуты, значит скорость его работы — $\frac{5}{2}.$ Второй насос перекачивает тот же объем воды за $3$ минуты: $\frac{5}{3}.$ Найдем скорость совместной работы насосов: $$\frac{5}{2}+\frac{5}{3} = \frac{25}{6}$$

Чтобы найти время, за которое насосы перекачают $25$ литров, разделим всю работу на общую скорость работы: $$25:\frac{25}{6} = 6$$

Пусть масса первого сплава составляет $x \spaceкг.$ Тогда масса второго сплава равна $(x+3)\space кг,$ а масса третьего сплава равна $x+x+3 \space кг.$ Следовательно, масса меди в первом сплаве равна $0.1x \spaceкг,$ во втором сплаве — $0.4(x+3)\space кг,$ а в третьем — $0.3(2x+3)\space кг.$ Сумма масс меди в первом и втором сплавах равна массе меди в третьем сплаве: $$0.1x+0.4(x+3)=0.3(2x+3)$$ $$0.1x=0.3$$ $$x=3$$ Найдем массу третьего сплава: $$3+3+3=9$$

Если зарплату мужа увеличить вдвое, общий доход семьи увеличится на сумму, равную исходной зарплате мужа, значит, зарплата мужа составляет $67\%$ от общего дохода семьи. При уменьшении стипендии дочери втрое общий доход семьи уменьшится на сумму, равную $\frac{2}{3}$ исходной стипендии дочери, то есть на $4\%.$ Найдем часть дохода семьи, которую составляет стипендия дочери: $$4:\frac{2}{3}=6$$ Осталось найти долю зарплаты жены: $$100-67-6=27$$

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении всего пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Примем весь путь за $3s \space км.$ Тогда первую треть трассы автомобиль преодолел за $\frac{s}{60}\spaceч,$ вторую треть — за $\frac{s}{120}\spaceч,$ а последнюю треть — за $\frac{s}{110}\spaceч.$

Составим уравнение и найдем среднюю скорость автомобиля: $$v=\frac{3s}{\frac{s}{60}+\frac{s}{120}+\frac{s}{110}}$$ $$v=\frac{12\cdot 10\cdot11\cdot3}{45}$$ $$v=88$$

За $1$ минуту поезд проезжает $1000$ метров, так как скорость поезда равна $60\spaceкм/ч.$ За $1$ минуту поезд проезжает мимо станции, значит, проходит расстояние, равное сумме длины станции и длины поезда. Следовательно, длина поезда составляет: $$1000−400=600$$

Примем собственную скорость лодки за $x.$ Тогда скорость лодки по течению равна $x+1\space км/ч,$ а скорость лодки против течения равна $ x-1\space км/ч.$ Время движения лодки по течению равно $\frac{30}{x+1} \space ч,$ а время движения лодки против течения равно $\frac{30}{x−1}\spaceч.$ Моторная лодка находилась в движении всего $8-2.5=5.5 \spaceч.$ Составим уравнение: $$\frac{30}{x+1}+\frac{30}{x-1}=5.5$$ $$11x^2-120x-11=0$$ $$x_1=11$$ $$x_2=-\frac{1}{11}$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, собственная скорость лодки равна $11\spaceкм/ч.$

Примем скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым за $x.$ Тогда его время в пути равно $\frac{88}{x} \spaceч.$ Скорость пришедшего первым к финишу велосипедиста равна $x+3 \spaceкм/ч,$ а его время в пути равно $\frac{88}{x+3} \spaceч.$ Первый велосипедист прибыл к финишу на $3$ часа раньше второго: $$\frac{88}{x}-\frac{88}{x+3} = 3$$ $$x^2+3x-88=0$$ $$x_1=8$$ $$x_2=-11$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна $8\spaceкм/ч.$

Примем собственную скорость теплохода за $x.$ Тогда скорость теплохода по течению равна $x+4\space км/ч,$ а скорость теплохода против течения равна $x-4\space км/ч.$ Теплоход находился в движении $39 -15=24\spaceч.$ Составим уравнение: $$\frac{280}{x+4}+\frac{280}{x-4}=24$$ $$3x^2-70x-48=0$$ $$x_1=24$$ $$x_2=-\frac{2}{3}$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, собственная скорость теплохода равна $24\spaceкм/ч.$

Обозначим через $x$ массу первого раствора. Тогда масса второго раствора тоже равна $x,$ а масса итогового раствора равна $2x.$ Получаем, что количество вещества в первом растворе равно $0.15x,$ а количество вещества во втором растворе равно $0.19x.$ Следовательно, количество вещества в итоговом растворе равно: $$0.15x+0.19x=0.34x$$

Концентрация итогового раствора составляет: $$\frac{0.34x}{2x} \cdot 100=17\%$$

Обозначим через $x$ массу первого раствора. Тогда масса второго раствора тоже равна $x,$ а масса итогового раствора равна $2x.$ Получаем, что количество вещества в первом растворе равно $0.05x,$ а количество вещества во втором растворе равно $0.23x.$ Следовательно, количество вещества в итоговом растворе равно: $$0.05x+0.23x=0.28x$$

Концентрация итогового раствора составляет: $$\frac{0.28x}{2x} \cdot 100=14\%$$

Пусть автомобили встретятся на расстоянии $s\space км$ от города $A.$ Тогда второй автомобиль до встречи проедет $435−s\space км.$ До момента встречи первый автомобиль будет ехать $\frac{s}{60}\space ч,$ а второй автомобиль будет ехать $\frac{435−s}{65}\space ч.$ При этом второй автомобиль будет находиться в пути на $1\space ч$ меньше первого автомобиля: $$\frac{s}{60}-\frac{435−s}{65}=1$$

$$\frac{s}{12}-\frac{435−s}{13}=5$$ $$13s-12\cdot 435+12s=5\cdot 12 \cdot 13$$ $$25s=6\space000$$ $$s=240$$

Пусть автомобили встретятся на расстоянии $s\space км$ от города $A.$ Тогда второй автомобиль до встречи проедет $465−s\space км.$ До момента встречи первый автомобиль будет ехать $\frac{s}{45}\space ч,$ а второй автомобиль будет ехать $\frac{465−s}{60}\space ч.$ При этом второй автомобиль будет находиться в пути на $1\space ч$ меньше первого автомобиля: $$\frac{s}{45}-\frac{465−s}{60}=1$$

$$\frac{s}{3}-\frac{465−s}{4}=15$$ $$4s-3\cdot 465+3s=15\cdot 3 \cdot 4$$ $$7s=1\space575$$ $$s=225$$

Переведем скорость в $км/ч$: $$750:1000 \cdot 60 =45$$ Пусть скорость товарного поезда равна $x\space км/ч.$ Тогда скорость скорого поезда равна $x+45\space км/ч.$ Значит, на путь в $180\space км$ товарный поезд тратит $\frac{180}{x} \space ч,$ а скорый тратит $\frac{180}{x+45}\space ч,$ что по условию на $2 \space ч$ меньше. Следовательно, мы можем составить уравнение: $$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+45}=2$$

$$180(x+45)-180x=2x(x+45)$$ $$x^2+45x-4 \space050=0$$ $$x_1=45$$ $$x_2=-90$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, скорость товарного поезда равна $45 \space км/ч.$

Переведем скорость в $км/ч$: $$500:1000 \cdot 60 =30$$ Пусть скорость товарного поезда равна $x\space км/ч.$ Тогда скорость скорого поезда равна $x+30\space км/ч.$ Значит, на путь в $360\space км$ товарный поезд тратит $\frac{360}{x}\space  ч,$ а скорый тратит $\frac{360}{x+30}\space ч,$ что по условию на $6 \space ч$ меньше. Следовательно, мы можем составить уравнение: $$\frac{360}{x}-\frac{360}{x+30}=6$$

$$360(x+30)-360x=6x(x+30)$$ $$360x+30\cdot 360 -360x=6x^2+180x$$ $$6x^2+180x-10 \space800=0$$ $$x^2+30x-1 \space800=0$$$$x_1=30$$ $$x_2=-60$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, скорость товарного поезда равна $30 \space км/ч.$

Примем расстояние от дома до места встречи за $x\spaceкм.$ Значит, человек, движущийся медленнее, пройдет это расстояние за $\frac{x}{2.5} ч.$ Другой человек сначала пройдёт $4.4 км$ до опушки леса, а затем вернется на $4.4−x км$ назад. Поэтому всего он пройдет $4.4+4.4−x=8.8−x км$ за $\frac{8.8-x}{3}\space ч$ Время движения первого и второго человека одинаковое: $$\frac{x}{2.5}=\frac{8.8-x}{3}$$ $$3x=22−2.5x$$ $$x=4$$

Пусть скорость второго автомобиля равна $x км/ч.$ Через $40$ минут, то есть $\frac{2}{3}$ часа, первый автомобиль опередил второй на один круг, проехав на $14 км$ больше, чем второй. За это время первый автомобиль проехал $80\cdot \frac{2}{3} км,$ а второй проехал $x\cdot \frac{2}{3} км$:$$80\cdot \frac{2}{3}-x\cdot \frac{2}{3} =14$$ $$x=59$$

Примем скорость первого автомобиля за $x.$ Тогда скорость второго автомобиля первую половину пути будет: $x-13.$ Время движения первого автомобиля можно найти, разделив расстояние на скорость: $\frac{S}{x}.$ Время движения второго автомобиля первую половину пути будет: $\frac{0.5S}{x-13}.$ Тогда время движения второго автомобиля вторую половину пути будет: $\frac{0.5S}{78}$

На дорогу автомобили затратили одинаковое количество времени: $$\frac{S}{x}=\frac{0.5S}{x-13}+\frac{0.5S}{78}$$ $$x^2-91x+2\space028=0$$ $$x_1=52$$ $$x_2=39$$ По условию задачи скорость первого автомобиля должна быть больше $48\space км/ч,$ значит, скорость равна $52 км/ч.$

Один мастер выполняет $\frac{1}{12}$ часть работы в час, а другой выполняет $\frac{1}{6}$ часть работы в час.Значит, оба мастера, работая вместе, выполняют: $$\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$$ Значит, работая вместе, они выполнят всю работу за $4$ часа.