8 класс Алгебра Рациональные дроби Произведение и частное дробей

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Содержание

В уроке «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» дроби складывали на общей сетке. Теперь научимся умножать рациональные дроби, умножать дробь на многочлен и возводить дробь в степень. Модель та же — прямоугольник, разрезанный на доли: при умножении одна сетка ложится поверх другой.

Дробь от дроби — это сетка на сетке

Под пшеницу отвели $\frac{3}{5}$ поля, а засеяли пока $\frac{2}{3}$ этого участка. Какая доля всего поля засеяна? Обе доли больше половины, а ответ, как сейчас увидим, меньше каждой из них.

Нарисуем поле прямоугольником. Разрежем его на $5$ горизонтальных полос и закрасим $3$ — это $\frac{3}{5}$. Теперь разрежем прямоугольник на $3$ вертикальных столбца и в закрашенных полосах отметим $2$ столбца из $3$. Вторая сетка легла поверх первой: прямоугольник разрезан на $3\cdot5=15$ одинаковых клеток, а отмечено $2\cdot3=6$ клеток.

Три панели: прямоугольник из 5 полос, закрашены 3; поверх 3 столбца, в закрашенных полосах отмечены 2 столбца; сетка 3 × 5 = 15 клеток, отмечены 6; 2/3 · 3/5 = 6/15 = 2/5 — Две сетки дают 3 · 5 = 15 клеток, отмечено 2 · 3 = 6: две трети от трех пятых — это 6/15 = 2/5 поля

Засеяно $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$ поля. Это меньше и $\frac{3}{5}$, и $\frac{2}{3}$: мы взяли часть от участка, а часть меньше того, от чего ее берут. Вот и ответ на вопрос о поле: умножение на положительную дробь, меньшую $1$, уменьшает положительное число.

На схеме видно главное: число всех клеток — произведение знаменателей, число отмеченных клеток — произведение числителей. Так же умножают и рациональные дроби, у которых числители и знаменатели — многочлены.

Правило

Чтобы умножить дробь на дробь, перемножают числители и перемножают знаменатели:

$$\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}$$

где $B\ne0$, $D\ne0$. Полученную дробь сокращают, если это возможно.

Почему правило верно и для букв

Скрыть

С буквами размер долей меняется вместе с переменной, поэтому сетку можно нарисовать только при конкретном значении. Но при любом допустимом значении переменных выражения $A$, $B$, $C$, $D$ становятся числами, а для чисел правило мы увидели на сетке. Значит, равенство верно при всех допустимых значениях переменных.

Пример

Задача. Выполните умножение: $\frac{4p}{9q}\cdot\frac{3q^3}{8p^2}$.

Решение. Перемножаем числители и знаменатели:

$$\frac{4p}{9q}\cdot\frac{3q^3}{8p^2}=\frac{4p\cdot3q^3}{9q\cdot8p^2}=\frac{12pq^3}{72p^2q}$$

Сокращаем на $12pq$: остается $\frac{q^2}{6p}$.

Проверка при $p=1$, $q=2$: исходное произведение $\frac{4}{18}\cdot\frac{24}{8}=\frac{2}{9}\cdot3=\frac{2}{3}$, ответ $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Совпало.

Ответ: $\frac{q^2}{6p}$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На рисунке закрашена часть прямоугольника: $\\dfrac{2}{3}$ по ширине и $\\dfrac{4}{5}$ по высоте. Какую долю всего прямоугольника составляет закрашенная часть?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dpq7s5eoo5zo.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{8}{15}$","$\\dfrac{8}{5}$","$\\dfrac{10}{12}$","$\\dfrac{6}{8}$"],"explanations":["","Знаменатели не перемножены: сетка стала мельче, клеток $15$, а не $5$","Умножено крест-накрест ($2\\cdot5$ и $3\\cdot4$) — это не умножение дробей","Числители и знаменатели сложены: $2+4$ и $3+5$. Сетки не складывают, а накладывают"],"answer":[0]}},"hints":["Сетка на сетке: клеток всего $3\\cdot5=15$.","Закрашено $2\\cdot4=8$ клеток.","Ответ: $\\dfrac{8}{15}$."],"step":1},{"content":"$\\dfrac{3a}{4b}\\cdot\\dfrac{2b}{9a^2}=$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{2}{3a}$","$\\dfrac{a}{6}$","$\\dfrac{1}{6a^2}$","$\\dfrac{1}{6a}$"],"answer":3}},"hints":["Перемножьте числители и знаменатели: $\\dfrac{6ab}{36a^2b}$.","Сократите на $6ab$.","Ответ: $\\dfrac{1}{6a}$."],"step":1}],"mix":1}

Сначала сократить, потом умножать

В примере выше знаменатель вырос до $72p^2q$, и общий множитель пришлось искать в большом выражении. Удобнее сокращать до умножения. Сравним на числах: $\frac{9}{14}\cdot\frac{7}{12}$. Если перемножить сразу, получится $\frac{63}{168}$, и общий множитель $21$ еще нужно найти.

Запишем произведение одной дробью, но перемножать не будем: $\frac{9\cdot7}{14\cdot12}$. Теперь видно, что $9$ и $12$ делятся на $3$, а $7$ и $14$ — на $7$. Сокращаем: $\frac{3\cdot1}{2\cdot4}=\frac{3}{8}$. Это основное свойство дроби из урока «Основное свойство дроби. Сокращение дробей»: доли склеиваем заранее, пока сетка еще не стала мелкой.

Сократить до умножения: в 9/14 · 7/12 числа 9 и 12 делятся на 3, 7 и 14 на 7; получается (3 · 1)/(2 · 4) = 3/8; сразу перемножать 63/168 хуже — Сначала сократить, потом умножить: 9/14 · 7/12 = (3 · 1)/(2 · 4) = 3/8 — в конце сокращать уже нечего

Алгоритм

Разложите числители и знаменатели на множители: вынесите общий множитель, примените формулы сокращенного умножения.
Запишите произведение одной дробью, не раскрывая скобок.
Сократите общие множители числителя и знаменателя (сокращают только множители, слагаемые — нельзя).
Перемножьте оставшиеся множители.

Пример

Задача. Выполните умножение: $\frac{x^2-6x}{x+1}\cdot\frac{x^2+2x+1}{x^2-36}$.

Шаг 1. Раскладываем: $x^2-6x=x(x-6)$, $x^2+2x+1=(x+1)^2$, $x^2-36=(x-6)(x+6)$.

Шаг 2. Одна дробь: $\frac{x(x-6)(x+1)^2}{(x+1)(x-6)(x+6)}$.

Шаг 3. Сокращаем на $x-6$ и на $x+1$.

Шаг 4. Остается $\frac{x(x+1)}{x+6}$.

Проверка при $x=2$: исходное произведение $\frac{-8}{3}\cdot\frac{9}{-32}=\frac{3}{4}$, ответ $\frac{2\cdot3}{8}=\frac{3}{4}$. Совпало.

Ответ: $\frac{x(x+1)}{x+6}$.

Обратите внимание

Допустимые значения смотрят по исходной записи, до сокращения. Дробь $\frac{x(x+1)}{x+6}$ имеет смысл при $x=6$ и $x=-1$, а исходное произведение — нет: там есть знаменатели $x+1$ и $x^2-36$. Поэтому ответ верен при $x\ne-1$, $x\ne6$, $x\ne-6$. Трехчлены, которые не сворачиваются по формуле, раскладывают через корни — урок «Корни квадратного трехчлена и разложение его на множители».

{"questions":[{"content":"Выполните умножение $\\dfrac{7a}{15}\\cdot\\dfrac{5}{14a}$ и запишите результат в виде обыкновенной дроби, например 3/7. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1/6"}},"hints":["Сократите числитель одной дроби со знаменателем другой: $7$ и $14$ на $7$, $5$ и $15$ на $5$, $a$ и $a$ на $a$.","Остается $\\dfrac{1\\cdot1}{3\\cdot2}$.","Ответ: $\\dfrac{1}{6}$."],"step":1},{"content":"Выполните умножение и сократите результат: $\\dfrac{x^2-9}{x^2}\\cdot\\dfrac{x}{x+3}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x-9}{x}$","$\\dfrac{x+3}{x}$","$x-3$","$\\dfrac{x-3}{x}$"],"explanations":["Сократили слагаемое $x^2$ с $x$: сокращают только множители","Скобки перепутаны: после сокращения на $x+3$ остается $x-3$","Знаменатель $x$ потерян: из $x^2$ и $x$ после сокращения остается $x$",""],"answer":[3]}},"hints":["Разложите числитель первой дроби: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.","Сократите на $x$ и на $x+3$.","Ответ: $\\dfrac{x-3}{x}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вычислите при $x=8$ значение произведения $\\dfrac{x^2-25}{2x}\\cdot\\dfrac{6x}{x+5}$, предварительно упростив его. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Сначала упростите: $x^2-25=(x-5)(x+5)$, сократите на $x+5$ и на $2x$.","Получится $3(x-5)$.","При $x=8$: $3\\cdot3=9$. Ответ: $9$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Многочлен — это дробь со знаменателем один

Как умножить дробь на многочлен, например $\frac{5}{a^2-4}\cdot(a+2)$? Знаменатель $1$ значит, что целое не разрезано: доля и есть весь прямоугольник. Числитель показывает, сколько взято таких целых. Поэтому любой многочлен можно записать дробью со знаменателем $1$: $a+2=\frac{a+2}{1}$ — это $a+2$ целых прямоугольников.

Многочлен a + 2 как дробь (a + 2)/1: умножение на 5/(a² − 4) дает 5(a + 2)/(a² − 4); скобка идет в числитель целиком, знаменатель 1 не меняется; потеря скобки — ошибка — Знаменатель 1 — разрезов нет: a + 2 = (a + 2)/1, то есть a + 2 целых. При умножении он уходит в числитель целиком, в скобках

Дальше работает то же правило: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Знаменатель от умножения на $1$ не меняется, поэтому многочлен попадает только в числитель — и попадает весь, в скобках.

Правило

Чтобы умножить дробь на многочлен, многочлен умножают на числитель, а знаменатель оставляют прежним:

$$\frac{A}{B}\cdot C=\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{1}=\frac{A\cdot C}{B}$$

Пример

Задача 1. Выполните умножение: $\frac{5}{a^2-4}\cdot(a+2)$.

Решение. $\frac{5}{a^2-4}\cdot(a+2)=\frac{5(a+2)}{(a-2)(a+2)}=\frac{5}{a-2}$.

Проверка при $a=3$: $\frac{5}{5}\cdot5=5$ и $\frac{5}{1}=5$. Совпало.

Задача 2. Выполните умножение: $\frac{7}{3b}\cdot6b$.

Решение. $\frac{7\cdot6b}{3b}=\frac{42b}{3b}=14$. После сокращения дробь исчезла совсем: результат — число $14$ (при $b\ne0$).

Ответ: $\frac{5}{a-2}$; $14$.

{"questions":[{"content":"Выполните умножение: $\\dfrac{3}{x}\\cdot(x+4)$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{3x+4}{x}$","$\\dfrac{3x+12}{x}$","$\\dfrac{3}{x(x+4)}$","$\\dfrac{3x+12}{x^2}$"],"explanations":["Число $3$ умножено только на $x$: скобку надо умножать целиком","","Многочлен записан в знаменатель — это деление, а не умножение","Знаменатель умножили на $x$: многочлен идет в числитель"],"answer":[1]}},"hints":["Многочлен — дробь со знаменателем $1$: $(x+4)=\\dfrac{x+4}{1}$.","Умножьте числитель на весь многочлен: $3\\cdot(x+4)=3x+12$.","Ответ: $\\dfrac{3x+12}{x}$."],"step":1},{"content":"Выполните умножение: $\\dfrac{4}{y^2-9}\\cdot(y-3)$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{4}{y-3}$","$\\dfrac{4}{y+3}$","$\\dfrac{4y-3}{y^2-9}$","$\\dfrac{4(y-3)}{y+3}$"],"explanations":["После сокращения на $y-3$ остается множитель $y+3$ в знаменателе","","Число $4$ умножено только на $y$: скобку надо умножать целиком","Скобка $y-3$ не сокращена: она есть и в числителе, и в знаменателе"],"answer":[1]}},"hints":["Многочлен — дробь со знаменателем $1$; разложите $y^2-9=(y-3)(y+3)$.","Сократите на $y-3$.","Ответ: $\\dfrac{4}{y+3}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Степень дроби — одна и та же сетка несколько раз

Возведем $\frac{2}{3}$ в квадрат. По определению степени $\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}$ — это дробь от дроби, у которой обе сетки одинаковые. Прямоугольник разрезан на $3$ полосы и на $3$ столбца: клеток $3\cdot3=9$, отмечено $2\cdot2=4$. Получилось $\frac{4}{9}$.

Слева квадрат 3 × 3: 2 полосы и 2 столбца, пересечение 2 × 2 = 4 клетки из 9, это 4/9; справа ошибка 4/3: четыре доли при трех, четвертая выходит за границу — (2/3)² = 4/9: в квадрат возводят и число отмеченных клеток, и число всех клеток. Запись 4/3 больше целого прямоугольника — так быть не может

Для $n$ одинаковых множителей рассуждение то же: перемножаем $n$ числителей и $n$ знаменателей.

Правило

Чтобы возвести дробь в степень, возводят в эту степень числитель и знаменатель:

$$\left(\frac{A}{B}\right)^n=\frac{A^n}{B^n}$$

где $B\ne0$, $n$ — натуральное число.

Ошибка

Как ошибаются. Возводят в степень только числитель: $\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{3}$.

Проверка на числах. $\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}$ — две трети от двух третей, это меньше $\frac{2}{3}$. А $\frac{4}{3}$ больше целого прямоугольника. По правилу умножения $\frac{2\cdot2}{3\cdot3}=\frac{4}{9}$.

Где ломается рассуждение. Степень дроби — произведение одинаковых дробей, а при умножении перемножают и знаменатели. Сетка тоже возводится в степень, а не остается прежней.

Если перед дробью стоит минус, знак результата решает показатель. Произведение четного числа отрицательных множителей положительно, нечетного — отрицательно: каждая пара минусов дает плюс.

Показатель	Знак результата	Пример
четный	плюс: $\left(-\frac{A}{B}\right)^n=\frac{A^n}{B^n}$	$\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$
нечетный	минус: $\left(-\frac{A}{B}\right)^n=-\frac{A^n}{B^n}$	$\left(-\frac{1}{2}\right)^3=-\frac{1}{8}$

Пример

Задача. Возведите в степень: а) $\left(-\frac{3a^2}{b}\right)^3$; б) $\left(-\frac{a}{2b^3}\right)^4$.

Решение. а) Показатель $3$ нечетный — минус остается. $(3a^2)^3=27a^6$ (степень степени: $2\cdot3=6$), знаменатель $b^3$. Получаем $-\frac{27a^6}{b^3}$.

б) Показатель $4$ четный — минус исчезает. Числитель $a^4$, знаменатель $(2b^3)^4=16b^{12}$. Получаем $\frac{a^4}{16b^{12}}$.

Проверка б) при $a=2$, $b=1$: $\left(-\frac{2}{2}\right)^4=1$ и $\frac{16}{16}=1$. Совпало.

Ответ: а) $-\frac{27a^6}{b^3}$; б) $\frac{a^4}{16b^{12}}$.

a8-umnozhenie-drobej-i-stepen-znak-stepeni

{"questions":[{"content":"Возведите в степень: $\\left(\\dfrac{3a}{b^2}\\right)^3$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{3a^3}{b^6}$","$\\dfrac{27a^3}{b^5}$","$\\dfrac{27a^3}{b^6}$","$\\dfrac{9a^3}{b^6}$"],"explanations":["Число $3$ не возведено в степень: $(3a)^3=27a^3$","Степени при возведении в степень перемножают: $(b^2)^3=b^6$","","Число $3$ умножено на $3$ вместо возведения в куб"],"answer":[2]}},"hints":["В степень возводят и числитель, и знаменатель: $\\dfrac{(3a)^3}{(b^2)^3}$.","$(3a)^3=27a^3$, $(b^2)^3=b^6$.","Ответ: $\\dfrac{27a^3}{b^6}$."],"step":1},{"content":"Вычислите: $\\left(-\\dfrac{2}{3}\\right)^4$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-\\dfrac{16}{81}$","$\\dfrac{16}{81}$","$-\\dfrac{8}{81}$","$\\dfrac{8}{81}$"],"explanations":["Знак минус оставлен: при четном показателе результат положителен","","Две ошибки: знак и числитель","Числитель умножен на $4$: $2\\cdot4=8$ вместо $2^4=16$"],"answer":[1]}},"hints":["Показатель $4$ — четный: произведение четного числа отрицательных множителей положительно.","$\\dfrac{2^4}{3^4}=\\dfrac{16}{81}$.","Ответ: $\\dfrac{16}{81}$."],"step":1},{"content":"Вычислите $\\left(-\\dfrac{2}{3}\\right)^3$ и запишите результат в виде обыкновенной дроби, например -1/5. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-8/27"}},"hints":["Показатель $3$ — нечетный: результат отрицателен.","$\\dfrac{2^3}{3^3}=\\dfrac{8}{27}$.","Ответ: $-\\dfrac{8}{27}$."],"step":1}],"mix":1}

Почему нельзя умножать крест-накрест

Самая частая ошибка при умножении дробей — перемножить числитель одной дроби со знаменателем другой. Ее подсказывают похожие приемы: крест-накрест проверяют пропорцию, а в следующем уроке увидим, что при делении вторую дробь переворачивают. При умножении ничего не переворачивают.

Ошибка

Как ошибаются. $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1\cdot3}{2\cdot1}=\frac{3}{2}$.

Проверка на числах. Половина от трети меньше трети, а $\frac{3}{2}$ больше целого. На сетке: прямоугольник разрезан на $2\cdot3=6$ клеток, отмечена $1\cdot1=1$ клетка. Это $\frac{1}{6}$.

Где ломается рассуждение. Число всех клеток дает произведение знаменателей, число отмеченных — произведение числителей. «Крест» смешивает одно с другим: $3$ — это число долей второй сетки, его ставят в числитель, как будто это отмеченные клетки.

Слева 1/2 · 1/3 на сетке 2 × 3: отмечена 1 клетка из 6, ответ 1/6; справа ошибка крест-накрест (1 · 3)/(2 · 1) = 3/2 — три половины не помещаются в целое — 1/2 · 1/3 — это 1 клетка из 6. Крест-накрест получилось 3/2 — больше целого прямоугольника

Обратите внимание

Сокращать крест-накрест можно: числитель одной дроби с знаменателем другой, как $7$ и $14$ в разделе о сокращении. Это допустимо, потому что после записи одной дробью все числители оказываются наверху, а все знаменатели — внизу. Нельзя только перемножать крест-накрест.

{"questions":[{"content":"Решавр умножил: $\\dfrac{2}{5}\\cdot\\dfrac{3}{4}=\\dfrac{2\\cdot4}{5\\cdot3}=\\dfrac{8}{15}$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нужно сложить числители: верно $\\dfrac{5}{9}$","Ошибки нет: дробь от дроби бывает больше исходной","Умножил крест-накрест: верно $\\dfrac{3}{10}$","Нужно найти общий знаменатель: верно $\\dfrac{23}{20}$"],"explanations":["Дроби перемножают, а не складывают; $\\dfrac{5}{9}$ получилось бы от сложения числителей и знаменателей","Часть от $\\dfrac{2}{5}$ меньше $\\dfrac{2}{5}$, а $\\dfrac{8}{15}$ больше","","Общий знаменатель нужен при сложении, не при умножении"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте смыслом: часть от $\\dfrac{2}{5}$ должна быть меньше $\\dfrac{2}{5}$, а у Решавра $\\dfrac{8}{15}$ — больше.","Числитель умножают на числитель, знаменатель — на знаменатель.","Верно: $\\dfrac{2\\cdot3}{5\\cdot4}=\\dfrac{6}{20}=\\dfrac{3}{10}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр возвел в квадрат: $\\left(\\dfrac{x}{5}\\right)^2=\\dfrac{x^2}{5}$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Знаменатель не возведен в квадрат: верно $\\dfrac{x^2}{25}$","Ошибки нет: при $x=0$ обе части равны $0$","Верно $\\dfrac{x}{25}$","Числитель должен быть $2x$"],"explanations":["","Одно совпавшее значение ничего не доказывает; при $x=5$ слева $1$, справа $5$","Числитель в квадрат возводят тоже: $x^2$, а не $x$","$2x$ получилось бы от умножения на $2$; в квадрат возводят: $x\\cdot x=x^2$"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте при $x=5$: слева $\\left(\\dfrac{5}{5}\\right)^2=1$, справа $\\dfrac{25}{5}=5$ — не совпало.","В степень возводят и числитель, и знаменатель: $5^2=25$.","Верно: $\\dfrac{x^2}{25}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Умножение дробей держится на одной картинке — сетке на сетке. Теперь понятно, почему две трети от трех пятых поля — всего $\frac{2}{5}$: часть от части меньше каждой из них. Вспоминайте модель, когда сомневаетесь в правиле.

Часто задаваемые вопросы

Почему при умножении не нужен общий знаменатель?

При сложении доли должны быть одного размера, иначе их не сосчитать. При умножении мы берем часть от части: вторая сетка ложится на первую и сама дает одинаковые клетки. Их число — произведение знаменателей.

Можно ли сначала перемножить, а сократить потом?

Можно, ответ получится тот же. Но многочлены придется раскрыть, а потом снова раскладывать, чтобы найти общий множитель. Сократить до умножения короче и надежнее.

Чем отличаются $-\left(\frac{a}{b}\right)^2$ и $\left(-\frac{a}{b}\right)^2$?

В первой записи в квадрат возводят дробь, а минус стоит снаружи: получается $-\frac{a^2}{b^2}$. Во второй в квадрат возводят отрицательную дробь, и минус исчезает: $\frac{a^2}{b^2}$. При $a=1$, $b=2$ это $-\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{4}$.

Может ли произведение дробей быть больше каждого множителя?

Да, если обе дроби больше $1$: $\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{15}{4}$. Часть от части меньше каждой из них, только когда обе дроби меньше $1$, как в задаче о поле.

Награды за урок