Умножение дробей. Возведение дроби в степень

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{3}{8}\\cdot\\dfrac{4}{9}$ и запишите результат в виде обыкновенной дроби, например 3/7. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1/6"}},"hints":["Сократите: $3$ и $9$ на $3$, $4$ и $8$ на $4$.","Остается $\\dfrac{1\\cdot1}{2\\cdot3}$.","Ответ: $\\dfrac{1}{6}$."],"step":1},{"id":"1","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{5}{12}\\cdot\\dfrac{8}{15}$ и запишите результат в виде обыкновенной дроби, например 3/7. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"2/9"}},"hints":["Сократите: $5$ и $15$ на $5$, $8$ и $12$ на $4$.","Остается $\\dfrac{1\\cdot2}{3\\cdot3}$.","Ответ: $\\dfrac{2}{9}$."],"step":1},{"id":"2","content":"$\\dfrac{5x}{6y}\\cdot\\dfrac{3y^2}{10x^2}=$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{25x^3}{9y^3}$","$\\dfrac{y}{4x^2}$","$\\dfrac{y^2}{4x}$","$\\dfrac{y}{4x}$"],"answer":3}},"hints":["Перемножьте: $\\dfrac{15xy^2}{60x^2y}$.","Сократите на $15xy$.","Ответ: $\\dfrac{y}{4x}$."],"step":1},{"id":"2","content":"$\\dfrac{7m}{8n}\\cdot\\dfrac{4n^2}{21m^2}=$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{147m^3}{32n^3}$","$\\dfrac{n}{6m^2}$","$\\dfrac{n}{6m}$","$\\dfrac{n^2}{6m}$"],"answer":2}},"hints":["Перемножьте: $\\dfrac{28mn^2}{168m^2n}$.","Сократите на $28mn$.","Ответ: $\\dfrac{n}{6m}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Упростите: $\\dfrac{a^2-1}{5}\\cdot\\dfrac{15}{a-1}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3a-3$","$\\dfrac{a+1}{3}$","$3a+3$","$3a+1$"],"explanations":["После сокращения остается $a+1$, а не $a-1$","Число $15$ поставлено в знаменатель: $5$ и $15$ сокращены как $\\dfrac{5}{15}$","","Число $3$ умножено только на $a$: скобку надо умножать целиком"],"answer":[2]}},"hints":["Разложите: $a^2-1=(a-1)(a+1)$.","Сократите на $a-1$ и $5$: остается $3(a+1)$.","Ответ: $3a+3$."],"step":1},{"id":"3","content":"Упростите: $\\dfrac{b^2-4}{7}\\cdot\\dfrac{21}{b+2}$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$3b-6$","$\\dfrac{b-2}{3}$","$3b+6$","$3b-2$"],"explanations":["","Число $21$ поставлено в знаменатель: $7$ и $21$ сокращены как $\\dfrac{7}{21}$","После сокращения остается $b-2$, а не $b+2$","Число $3$ умножено только на $b$: скобку надо умножать целиком"],"answer":[0]}},"hints":["Разложите: $b^2-4=(b-2)(b+2)$.","Сократите на $b+2$ и $7$: остается $3(b-2)$.","Ответ: $3b-6$."],"step":1},{"id":"4","content":"Возведите в степень: $\\left(\\dfrac{3a}{2b^2}\\right)^3$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{9a^3}{6b^6}$","$\\dfrac{27a^3}{2b^6}$","$\\dfrac{27a^3}{8b^6}$","$\\dfrac{27a^3}{8b^5}$"],"explanations":["Числа умножены на $3$ вместо возведения в куб","Число $2$ в знаменателе не возведено в куб","","Степени при возведении в степень перемножают: $(b^2)^3=b^6$"],"answer":[2]}},"hints":["Возведите числитель и знаменатель: $\\dfrac{(3a)^3}{(2b^2)^3}$.","$(3a)^3=27a^3$, $(2b^2)^3=8b^6$.","Ответ: $\\dfrac{27a^3}{8b^6}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Возведите в степень: $\\left(\\dfrac{2m^2}{5n}\\right)^3$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{8m^6}{125n^3}$","$\\dfrac{6m^6}{15n^3}$","$\\dfrac{8m^6}{5n^3}$","$\\dfrac{8m^5}{125n^3}$"],"explanations":["","Числа умножены на $3$ вместо возведения в куб","Число $5$ в знаменателе не возведено в куб","Степени при возведении в степень перемножают: $(m^2)^3=m^6$"],"answer":[0]}},"hints":["Возведите числитель и знаменатель: $\\dfrac{(2m^2)^3}{(5n)^3}$.","$(2m^2)^3=8m^6$, $(5n)^3=125n^3$.","Ответ: $\\dfrac{8m^6}{125n^3}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите степени по знаку значения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Значение положительное","Значение отрицательное"],"items":[["$\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)^{4}$","$\\left(-\\dfrac{2}{3}\\right)^{2}$","$\\left(-\\dfrac{3}{4}\\right)^{6}$"],["$\\left(-\\dfrac{1}{5}\\right)^{3}$","$\\left(-\\dfrac{3}{2}\\right)^{5}$","$\\left(-\\dfrac{2}{3}\\right)^{7}$"]]}},"instruction":"Распределите степени по знаку","hints":["Знак зависит только от показателя: четный — минус исчезает, нечетный — остается.","Положительны степени с показателями $4, 2, 6$.","Отрицательны — с показателями $3, 5, 7$."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите степени по знаку значения.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Значение положительное","Значение отрицательное"],"items":[["$\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right)^{2}$","$\\left(-\\dfrac{2}{5}\\right)^{4}$","$\\left(-\\dfrac{3}{2}\\right)^{6}$"],["$\\left(-\\dfrac{1}{4}\\right)^{5}$","$\\left(-\\dfrac{4}{3}\\right)^{3}$","$\\left(-\\dfrac{2}{5}\\right)^{7}$"]]}},"instruction":"Распределите степени по знаку","hints":["Знак зависит только от показателя: четный — минус исчезает, нечетный — остается.","Положительны степени с показателями $2, 4, 6$.","Отрицательны — с показателями $5, 3, 7$."],"step":1},{"id":"6","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{x^2-1}{x}\\cdot\\dfrac{3x}{x+1}$ при $x=4$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Сначала упростите: $x^2-1=(x-1)(x+1)$, сократите на $x+1$ и на $x$.","Получится $3(x-1)$.","При $x=4$: $3\\cdot3=9$. Ответ: $9$."],"step":1},{"id":"6","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{x^2-4}{x}\\cdot\\dfrac{5x}{x+2}$ при $x=6$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Сначала упростите: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, сократите на $x+2$ и на $x$.","Получится $5(x-2)$.","При $x=6$: $5\\cdot4=20$. Ответ: $20$."],"step":1},{"id":"7","content":"Упростите: $\\dfrac{x^2-6x+9}{x^2-4}\\cdot\\dfrac{x+2}{x-3}$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{(x-3)^2}{x-2}$","$\\dfrac{x-3}{x+2}$","$\\dfrac{x-3}{x-2}$","$\\dfrac{x+3}{x-2}$"],"explanations":["Не сократили на $x-3$: во второй дроби он стоит в знаменателе","Сократили на $x-2$ вместо $x+2$: множитель $x+2$ стоит во втором числителе и в знаменателе первой дроби","","Квадрат разности свернут неверно: $x^2-6x+9=(x-3)^2$"],"answer":[2]}},"hints":["Разложите: $x^2-6x+9=(x-3)^2$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$.","Сократите на $x-3$ и на $x+2$.","Ответ: $\\dfrac{x-3}{x-2}$."],"step":1},{"id":"7","content":"Упростите: $\\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-9}\\cdot\\dfrac{x-3}{x+2}$.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x-2}{x+3}$","$\\dfrac{(x+2)^2}{x+3}$","$\\dfrac{x+2}{x+3}$","$\\dfrac{x+2}{x-3}$"],"explanations":["Квадрат суммы свернут неверно: $x^2+4x+4=(x+2)^2$","Не сократили на $x+2$: во второй дроби он стоит в знаменателе","","Сократили на $x+3$ вместо $x-3$: множитель $x-3$ стоит во втором числителе и в знаменателе первой дроби"],"answer":[2]}},"hints":["Разложите: $x^2+4x+4=(x+2)^2$, $x^2-9=(x-3)(x+3)$.","Сократите на $x+2$ и на $x-3$.","Ответ: $\\dfrac{x+2}{x+3}$."],"step":1},{"id":"8","content":"При каких значениях $x$ имеет смысл выражение $\\dfrac{x+1}{x}\\cdot\\dfrac{x}{x-2}$?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Только $x\\ne0$","$x\\ne0$ и $x\\ne2$","Только $x\\ne2$","$x\\ne-1$, $x\\ne0$ и $x\\ne2$"],"explanations":["Знаменатель $x-2$ тоже не может быть нулем","","После сокращения $x$ остается дробь $\\dfrac{x+1}{x-2}$, но исходное выражение при $x=0$ не имеет смысла","Числитель $x+1$ может быть нулем: значение $0$ допустимо"],"answer":[1]}},"hints":["Смысл проверяют до сокращения: в записи есть знаменатели $x$ и $x-2$.","Каждый знаменатель не равен нулю: $x\\ne0$, $x\\ne2$.","Ответ: $x\\ne0$ и $x\\ne2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"При каких значениях $y$ имеет смысл выражение $\\dfrac{y-3}{y}\\cdot\\dfrac{y}{y+1}$?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$y\\ne0$ и $y\\ne-1$","Только $y\\ne-1$","$y\\ne3$, $y\\ne0$ и $y\\ne-1$","Только $y\\ne0$"],"explanations":["","После сокращения $y$ остается дробь $\\dfrac{y-3}{y+1}$, но исходное выражение при $y=0$ не имеет смысла","Числитель $y-3$ может быть нулем: значение $3$ допустимо","Знаменатель $y+1$ тоже не может быть нулем"],"answer":[0]}},"hints":["Смысл проверяют до сокращения: в записи есть знаменатели $y$ и $y+1$.","Каждый знаменатель не равен нулю: $y\\ne0$, $y\\ne-1$.","Ответ: $y\\ne0$ и $y\\ne-1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Упростите: $\\left(\\dfrac{2a}{b}\\right)^2\\cdot\\dfrac{b^3}{8a}$.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{ab}{2}$","$\\dfrac{ab}{4}$","$\\dfrac{a^2b}{2}$","$\\dfrac{a}{2b}$"],"explanations":["","В квадрат возведена только буква: $(2a)^2=2a^2$ вместо $4a^2$","Не сокращена буква $a$: $\\dfrac{a^2}{a}=a$","Степень $b$ при сокращении вычтена неверно: $\\dfrac{b^3}{b^2}=b$"],"answer":[0]}},"hints":["Возведите в степень: $\\dfrac{4a^2}{b^2}$.","Перемножьте и сократите на $4a$ и $b^2$: $\\dfrac{4a^2b^3}{8ab^2}$.","Ответ: $\\dfrac{ab}{2}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Упростите: $\\left(\\dfrac{3x}{y}\\right)^2\\cdot\\dfrac{y^3}{9x}$.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{xy}{3}$","$\\dfrac{x}{y}$","$xy$","$x^2y$"],"explanations":["В квадрат возведена только буква: $(3x)^2=3x^2$ вместо $9x^2$","Степень $y$ при сокращении вычтена неверно: $\\dfrac{y^3}{y^2}=y$","","Не сокращена буква $x$: $\\dfrac{x^2}{x}=x$"],"answer":[2]}},"hints":["Возведите в степень: $\\dfrac{9x^2}{y^2}$.","Перемножьте и сократите на $9x$ и $y^2$: $\\dfrac{9x^2y^3}{9xy^2}$.","Ответ: $xy$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр возвел в степень: $\\left(\\dfrac{3}{x}\\right)^2=\\dfrac{9}{x}$. Проверьте при $x=1$. В чем ошибка?[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: при $x=1$ все сходится","Знаменатель не возведен в степень: верно $\\dfrac{9}{x^2}$","Верно $\\dfrac{3}{x^2}$","Числитель должен быть $6$"],"explanations":["Одна подстановка не доказывает; при $x=3$ слева $1$, справа $3$","","Числитель в степень возводят тоже: $3^2=9$","$6$ получилось бы от умножения на $2$; в степень числитель возводят: $3^2=9$"],"answer":[1]}},"hints":["При $x=1$ слева и справа $9$ — совпало, но проверьте $x=3$: слева $1$, справа $3$.","В степень возводят и числитель, и знаменатель.","Верно: $\\dfrac{9}{x^2}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр возвел в степень: $\\left(\\dfrac{2}{y}\\right)^3=\\dfrac{8}{y}$. Проверьте при $y=1$. В чем ошибка?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: при $y=1$ все сходится","Верно $\\dfrac{2}{y^3}$","Знаменатель не возведен в степень: верно $\\dfrac{8}{y^3}$","Числитель должен быть $6$"],"explanations":["Одна подстановка не доказывает; при $y=2$ слева $1$, справа $4$","Числитель в степень возводят тоже: $2^3=8$","","$6$ получилось бы от умножения на $3$; в степень числитель возводят: $2^3=8$"],"answer":[2]}},"hints":["При $y=1$ слева и справа $8$ — совпало, но проверьте $y=2$: слева $1$, справа $4$.","В степень возводят и числитель, и знаменатель.","Верно: $\\dfrac{8}{y^3}$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>