Деление рациональных дробей

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{4}{15}:\\dfrac{8}{9}$ и запишите результат в виде обыкновенной дроби, например 3/7. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["3/10","0,3","0.3","0,3","0.3"]}},"hints":["Замените деление умножением: $\\dfrac{4}{15}\\cdot\\dfrac{9}{8}$.","Сократите: $4$ и $8$ на $4$, $9$ и $15$ на $3$.","Ответ: $\\dfrac{3}{10}$."],"step":1},{"id":"1","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{5}{14}:\\dfrac{10}{7}$ и запишите результат в виде обыкновенной дроби, например 3/7. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["1/4","0,25","0.25","0,25","0.25"]}},"hints":["Замените деление умножением: $\\dfrac{5}{14}\\cdot\\dfrac{7}{10}$.","Сократите: $5$ и $10$ на $5$, $7$ и $14$ на $7$.","Ответ: $\\dfrac{1}{4}$."],"step":1},{"id":"2","content":"$\\dfrac{6a}{5b}:\\dfrac{9a^2}{10b^2}=$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{3a}{4b}$","$\\dfrac{4b}{3a}$","$\\dfrac{4a}{3b}$","$\\dfrac{4b}{3a^2}$"],"answer":1}},"hints":["Замените деление умножением: $\\dfrac{6a}{5b}\\cdot\\dfrac{10b^2}{9a^2}$.","$\\dfrac{60ab^2}{45a^2b}$, сократите на $15ab$.","Ответ: $\\dfrac{4b}{3a}$."],"step":1},{"id":"2","content":"$\\dfrac{8m}{3n}:\\dfrac{4m^2}{9n^2}=$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{m}{6n}$","$\\dfrac{6m}{n}$","$\\dfrac{6n}{m}$","$\\dfrac{6n}{m^2}$"],"answer":2}},"hints":["Замените деление умножением: $\\dfrac{8m}{3n}\\cdot\\dfrac{9n^2}{4m^2}$.","$\\dfrac{72mn^2}{12m^2n}$, сократите на $12mn$.","Ответ: $\\dfrac{6n}{m}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Выполните деление: $12:\\dfrac{3}{x}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4x$","$\\dfrac{4}{x}$","$\\dfrac{x}{4}$","$\\dfrac{36}{x}$"],"explanations":["","Букву $x$ оставили в знаменателе: после переворота она в числителе","Перевернут результат, а не делитель","Дробь не перевернута: выполнено умножение"],"answer":[0]}},"hints":["Переверните делитель: $\\dfrac{3}{x}\\to\\dfrac{x}{3}$.","$12\\cdot\\dfrac{x}{3}$, сократите на $3$.","Ответ: $4x$."],"step":1},{"id":"3","content":"Выполните деление: $15:\\dfrac{5}{y}$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{75}{y}$","$\\dfrac{y}{3}$","$3y$","$\\dfrac{3}{y}$"],"explanations":["Дробь не перевернута: выполнено умножение","Перевернут результат, а не делитель","","Букву $y$ оставили в знаменателе: после переворота она в числителе"],"answer":[2]}},"hints":["Переверните делитель: $\\dfrac{5}{y}\\to\\dfrac{y}{5}$.","$15\\cdot\\dfrac{y}{5}$, сократите на $5$.","Ответ: $3y$."],"step":1},{"id":"4","content":"Из $\\dfrac{x^2}{8}$ литров сока разливают порции по $\\dfrac{x}{4}$ литра. Сколько получится порций?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x}{8}$","$\\dfrac{x}{2}$","$\\dfrac{2}{x}$","$\\dfrac{x^3}{32}$"],"explanations":["После сокращения потерян множитель $4$: $\\dfrac{4x^2}{8x}=\\dfrac{x}{2}$","","Перевернут результат: порций столько, сколько раз $\\dfrac{x}{4}$ укладывается в $\\dfrac{x^2}{8}$","Дроби перемножены вместо деления"],"answer":[1]}},"hints":["Число порций — частное: $\\dfrac{x^2}{8}:\\dfrac{x}{4}$.","$\\dfrac{x^2}{8}\\cdot\\dfrac{4}{x}=\\dfrac{4x^2}{8x}$.","Ответ: $\\dfrac{x}{2}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Из $\\dfrac{m^2}{12}$ литров сока разливают порции по $\\dfrac{m}{3}$ литра. Сколько получится порций?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{m}{4}$","$\\dfrac{4}{m}$","$\\dfrac{m^3}{36}$","$\\dfrac{m}{12}$"],"explanations":["","Перевернут результат: порций столько, сколько раз $\\dfrac{m}{3}$ укладывается в $\\dfrac{m^2}{12}$","Дроби перемножены вместо деления","После сокращения потерян множитель $3$: $\\dfrac{3m^2}{12m}=\\dfrac{m}{4}$"],"answer":[0]}},"hints":["Число порций — частное: $\\dfrac{m^2}{12}:\\dfrac{m}{3}$.","$\\dfrac{m^2}{12}\\cdot\\dfrac{3}{m}=\\dfrac{3m^2}{12m}$.","Ответ: $\\dfrac{m}{4}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Расставьте шаги деления $\\dfrac{x-2}{6}:\\dfrac{x-2}{9}$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Заменить деление умножением на обратную дробь: $\\dfrac{x-2}{6}\\cdot\\dfrac{9}{x-2}$","Сократить общий множитель $x-2$ (при $x-2\\ne0$)","Сократить числа $6$ и $9$ на $3$","Записать ответ $\\dfrac{3}{2}$"]}},"hints":["Сначала делитель переворачивают: деление становится умножением.","Затем сокращают одинаковые множители (если они не равны нулю).","Ответ: $\\dfrac{9}{6}$, то есть $3/2$."],"step":1},{"id":"5","content":"Расставьте шаги деления $\\dfrac{y+3}{4}:\\dfrac{y+3}{10}$ по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Заменить деление умножением на обратную дробь: $\\dfrac{y+3}{4}\\cdot\\dfrac{10}{y+3}$","Сократить общий множитель $y+3$ (при $y+3\\ne0$)","Сократить числа $4$ и $10$ на $2$","Записать ответ $\\dfrac{5}{2}$"]}},"hints":["Сначала делитель переворачивают: деление становится умножением.","Затем сокращают одинаковые множители (если они не равны нулю).","Ответ: $\\dfrac{10}{4}$, то есть $5/2$."],"step":1},{"id":"6","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{x}{x-1}:\\dfrac{x^2}{x^2-1}$ при $x=5$. Ответ запишите обыкновенной дробью или десятичной. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["6/5","1,2","1.2"]}},"hints":["Замените деление умножением: $\\dfrac{x}{x-1}\\cdot\\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$.","Сократите: остается $\\dfrac{x+1}{x}$.","При $x=5$: $\\dfrac{6}{5}$. Ответ: $1{,}2$."],"step":1},{"id":"6","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{x}{x-2}:\\dfrac{x^2}{x^2-4}$ при $x=4$. Ответ запишите обыкновенной дробью или десятичной. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["3/2","1,5","1.5"]}},"hints":["Замените деление умножением: $\\dfrac{x}{x-2}\\cdot\\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$.","Сократите: остается $\\dfrac{x+2}{x}$.","При $x=4$: $\\dfrac{6}{4}$. Ответ: $1{,}5$."],"step":1},{"id":"7","content":"Найдите частное и упростите результат: $\\dfrac{x^2-6x+9}{4x}:\\dfrac{x-3}{8x^2}$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$2x(x-3)^2$","$\\dfrac{1}{2x(x-3)}$","$2x(x-3)$","$2x(x+3)$"],"explanations":["Не сокращен множитель $x-3$: он стоит и в числителе, и в знаменателе","Перевернута первая дробь вместо второй","","Квадрат разности свернут неверно: $x^2-6x+9=(x-3)^2$"],"answer":[2]}},"hints":["Разложите: $x^2-6x+9=(x-3)^2$. Замените деление умножением: $\\dfrac{(x-3)^2}{4x}\\cdot\\dfrac{8x^2}{x-3}$.","Сократите на $x-3$ и на $4x$.","Ответ: $2x(x-3)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Найдите частное и упростите результат: $\\dfrac{x^2+10x+25}{3x}:\\dfrac{x+5}{9x^2}$.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{1}{3x(x+5)}$","$3x(x+5)^2$","$3x(x+5)$","$3x(x-5)$"],"explanations":["Перевернута первая дробь вместо второй","Не сокращен множитель $x+5$: он стоит и в числителе, и в знаменателе","","Квадрат суммы свернут неверно: $x^2+10x+25=(x+5)^2$"],"answer":[2]}},"hints":["Разложите: $x^2+10x+25=(x+5)^2$. Замените деление умножением: $\\dfrac{(x+5)^2}{3x}\\cdot\\dfrac{9x^2}{x+5}$.","Сократите на $x+5$ и на $3x$.","Ответ: $3x(x+5)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"При каких значениях $a$ имеет смысл выражение $\\dfrac{a}{a-2}:\\dfrac{a^2-1}{a}$?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$a\\ne0$, $a\\ne1$ и $a\\ne-1$","$a\\ne2$, $a\\ne0$, $a\\ne1$ и $a\\ne-1$","$a\\ne2$, $a\\ne0$ и $a\\ne1$","$a\\ne2$ и $a\\ne0$"],"explanations":["Забыт знаменатель первой дроби: при $a=2$ она не имеет смысла","","Числитель делителя $a^2-1$ обращается в нуль и при $a=-1$: его надо разложить","Забыт запрет на нулевой делитель: при $a=1$ и $a=-1$ делить на $0$ нельзя"],"answer":[1]}},"hints":["Запретов: $a-2\\ne0$, $a\\ne0$ (знаменатель делителя) и $a^2-1\\ne0$ (делитель не нуль).","Разложите: $a^2-1=(a-1)(a+1)$, то есть $a\\ne1$ и $a\\ne-1$.","Ответ: $a\\ne2$, $a\\ne0$, $a\\ne1$ и $a\\ne-1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"При каких значениях $b$ имеет смысл выражение $\\dfrac{b}{b+4}:\\dfrac{b^2-9}{b}$?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$b\\ne0$, $b\\ne3$ и $b\\ne-3$","$b\\ne-4$, $b\\ne0$ и $b\\ne3$","$b\\ne-4$ и $b\\ne0$","$b\\ne-4$, $b\\ne0$, $b\\ne3$ и $b\\ne-3$"],"explanations":["Забыт знаменатель первой дроби: при $b=-4$ она не имеет смысла","Числитель делителя $b^2-9$ обращается в нуль и при $b=-3$: его надо разложить","Забыт запрет на нулевой делитель: при $b=3$ и $b=-3$ делить на $0$ нельзя",""],"answer":[3]}},"hints":["Запретов: $b+4\\ne0$, $b\\ne0$ (знаменатель делителя) и $b^2-9\\ne0$ (делитель не нуль).","Разложите: $b^2-9=(b-3)(b+3)$, то есть $b\\ne3$ и $b\\ne-3$.","Ответ: $b\\ne-4$, $b\\ne0$, $b\\ne3$ и $b\\ne-3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Упростите: $\\dfrac{4a}{9}:\\dfrac{2a}{3}\\cdot\\dfrac{3}{a}$.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{2a}{9}$","$\\dfrac{a}{2}$","$\\dfrac{2}{3a}$","$\\dfrac{2}{a}$"],"explanations":["Сначала выполнено умножение последних дробей, потом деление: порядок слева направо нарушен","Перевернут результат","Потерян множитель: после сокращения числовой коэффициент равен $2$, а не $\\dfrac{2}{3}$",""],"answer":[3]}},"hints":["Действия выполняют слева направо: сначала деление.","$\\dfrac{4a}{9}\\cdot\\dfrac{3}{2a}\\cdot\\dfrac{3}{a}=\\dfrac{36a}{18a^2}$.","Ответ: $\\dfrac{2}{a}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Упростите: $\\dfrac{6b}{5}:\\dfrac{3b}{10}\\cdot\\dfrac{5}{b}$.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{b}{20}$","$20b$","$\\dfrac{4b}{5}$","$\\dfrac{20}{b}$"],"explanations":["Перевернут результат","Степень $b$ после сокращения оказалась в числителе: $\\dfrac{b}{b^2}=\\dfrac{1}{b}$","Сначала выполнено умножение последних дробей, потом деление: порядок слева направо нарушен",""],"answer":[3]}},"hints":["Действия выполняют слева направо: сначала деление.","$\\dfrac{6b}{5}\\cdot\\dfrac{10}{3b}\\cdot\\dfrac{5}{b}=\\dfrac{300b}{15b^2}$.","Ответ: $\\dfrac{20}{b}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр записал: $\\dfrac{3}{4}:\\dfrac{1}{2}:\\dfrac{3}{8}=\\dfrac{3}{4}\\cdot2\\cdot\\dfrac{3}{8}=\\dfrac{9}{16}$. В чем ошибка?[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["Нужно перевернуть все три дроби: $\\dfrac{64}{9}$","Ошибки нет: $\\dfrac{9}{16}$","Нужно умножить без переворотов: $\\dfrac{9}{64}$","Не перевернута третья дробь: верно $4$"],"explanations":["Делимое $\\dfrac{3}{4}$ остается как есть; переворачивают только делители","Второе деление заменено умножением на $\\dfrac{3}{8}$ без переворота: значение изменилось","Без переворотов получается умножение, а не деление",""],"answer":[3]}},"hints":["Каждое деление заменяют умножением на дробь, обратную делителю: делителей здесь два.","Вторую дробь Решавр перевернул, а третью оставил как есть.","Верно: $\\dfrac{3}{4}\\cdot2\\cdot\\dfrac{8}{3}=4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр записал: $\\dfrac{5}{6}:\\dfrac{5}{3}:\\dfrac{2}{9}=\\dfrac{5}{6}\\cdot\\dfrac{3}{5}\\cdot\\dfrac{2}{9}=\\dfrac{1}{9}$. В чем ошибка?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $\\dfrac{1}{9}$","Нужно перевернуть все три дроби: $\\dfrac{81}{25}$","Не перевернута третья дробь: верно $\\dfrac{9}{4}$","Нужно умножить без переворотов: $\\dfrac{25}{81}$"],"explanations":["Второе деление заменено умножением на $\\dfrac{2}{9}$ без переворота: значение изменилось","Делимое $\\dfrac{5}{6}$ остается как есть; переворачивают только делители","","Без переворотов получается умножение, а не деление"],"answer":[2]}},"hints":["Каждое деление заменяют умножением на дробь, обратную делителю: делителей здесь два.","Вторую дробь Решавр перевернул, а третью оставил как есть.","Верно: $\\dfrac{5}{6}\\cdot\\dfrac{3}{5}\\cdot\\dfrac{9}{2}=\\dfrac{9}{4}$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>