Преобразование рациональных выражений

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Расставьте шаги упрощения $\\left(\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{y}\\right):\\dfrac{x+y}{3xy}$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Выполнить действие в скобках: $\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{y}=\\dfrac{x+y}{xy}$","Заменить деление умножением на обратную дробь: $\\dfrac{x+y}{xy}\\cdot\\dfrac{3xy}{x+y}$","Сократить множители $x+y$ и $xy$, которые есть в числителе и знаменателе","Записать ответ: $3$"]}},"hints":["Сначала выполняют действие в скобках.","Деление заменяют умножением на обратную дробь.","Ответ: $3$."],"step":1},{"id":"1","content":"Расставьте шаги упрощения $\\left(\\dfrac{1}{a}-\\dfrac{1}{b}\\right):\\dfrac{b-a}{4ab}$ по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Выполнить действие в скобках: $\\dfrac{1}{a}-\\dfrac{1}{b}=\\dfrac{b-a}{ab}$","Заменить деление умножением на обратную дробь: $\\dfrac{b-a}{ab}\\cdot\\dfrac{4ab}{b-a}$","Сократить множители $b-a$ и $ab$, которые есть в числителе и знаменателе","Записать ответ: $4$"]}},"hints":["Сначала выполняют действие в скобках.","Деление заменяют умножением на обратную дробь.","Ответ: $4$."],"step":1},{"id":"2","content":"$\\left(\\dfrac{2}{x}+\\dfrac{3}{x^2}\\right)\\cdot x^2=$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$2x+3$","$5$","$x(2x+3)$","$2x^2+3$"],"answer":0}},"hints":["Умножьте каждое слагаемое на $x^2$.","$\\dfrac{2}{x}\\cdot x^2=2x$, $\\dfrac{3}{x^2}\\cdot x^2=3$.","Ответ: $2x+3$."],"step":1},{"id":"2","content":"$\\left(\\dfrac{5}{y}-\\dfrac{1}{y^2}\\right)\\cdot y^2=$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$y(5y-1)$","$5y-1$","$4$","$5y^2-1$"],"answer":1}},"hints":["Умножьте каждое слагаемое на $y^2$.","$\\dfrac{5}{y}\\cdot y^2=5y$, $\\dfrac{1}{y^2}\\cdot y^2=1$.","Ответ: $5y-1$."],"step":1},{"id":"3","content":"Упростите: $\\dfrac{x+3}{x}:\\left(\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{3}{x^2}\\right)$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x$","$\\dfrac{1}{x}$","$x+3$","$\\dfrac{(x+3)^2}{x^3}$"],"explanations":["","Перевернут результат, а не делитель","Разделили только на первое слагаемое $\\dfrac{1}{x}$","Умножение без переворота: делитель не обращен"],"answer":[0]}},"hints":["Сначала скобка: $\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{3}{x^2}=\\dfrac{x+3}{x^2}$.","Делитель — вся сумма: $\\dfrac{x+3}{x}\\cdot\\dfrac{x^2}{x+3}$.","Ответ: $x$."],"step":1},{"id":"3","content":"Упростите: $\\dfrac{y+2}{y}:\\left(\\dfrac{1}{y}+\\dfrac{2}{y^2}\\right)$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{(y+2)^2}{y^3}$","$\\dfrac{1}{y}$","$y$","$y+2$"],"explanations":["Умножение без переворота: делитель не обращен","Перевернут результат, а не делитель","","Разделили только на первое слагаемое $\\dfrac{1}{y}$"],"answer":[2]}},"hints":["Сначала скобка: $\\dfrac{1}{y}+\\dfrac{2}{y^2}=\\dfrac{y+2}{y^2}$.","Делитель — вся сумма: $\\dfrac{y+2}{y}\\cdot\\dfrac{y^2}{y+2}$.","Ответ: $y$."],"step":1},{"id":"4","content":"Упростите: $\\dfrac{1-\\frac{1}{x}}{1-\\frac{1}{x^2}}$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x}{x+1}$","$\\dfrac{x+1}{x}$","$\\dfrac{1}{x+1}$","$\\dfrac{x}{x-1}$"],"explanations":["","Перевернут результат","Множитель $x$ потерян при сокращении степеней","Разность квадратов раскрыта неверно: $x^2-1=(x-1)(x+1)$"],"answer":[0]}},"hints":["Числитель: $1-\\dfrac{1}{x}=\\dfrac{x-1}{x}$, знаменатель: $1-\\dfrac{1}{x^2}=\\dfrac{x^2-1}{x^2}$.","Черта дроби — деление: $\\dfrac{x-1}{x}\\cdot\\dfrac{x^2}{(x-1)(x+1)}$.","Ответ: $\\dfrac{x}{x+1}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Упростите: $\\dfrac{1-\\frac{4}{x}}{1-\\frac{16}{x^2}}$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x+4}{x}$","$\\dfrac{x}{x+4}$","$\\dfrac{1}{x+4}$","$\\dfrac{x}{x-4}$"],"explanations":["Перевернут результат","","Множитель $x$ потерян при сокращении степеней","Разность квадратов раскрыта неверно: $x^2-16=(x-4)(x+4)$"],"answer":[1]}},"hints":["Числитель: $1-\\dfrac{4}{x}=\\dfrac{x-4}{x}$, знаменатель: $1-\\dfrac{16}{x^2}=\\dfrac{x^2-16}{x^2}$.","Черта дроби — деление: $\\dfrac{x-4}{x}\\cdot\\dfrac{x^2}{(x-4)(x+4)}$.","Ответ: $\\dfrac{x}{x+4}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Упростите: $\\dfrac{3}{x-2}-\\dfrac{x+2}{x^2-4}$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{2x+8}{x^2-4}$","$\\dfrac{1-x}{x^2-4}$","$\\dfrac{2}{x-2}$","$\\dfrac{2}{x+2}$"],"explanations":["Скобки при вычитании потеряны: $3(x+2)-x+2$ вместо $3(x+2)-(x+2)$","Первая дробь не домножена на дополнительный множитель $x+2$","","Сокращен не тот множитель: после сокращения в знаменателе остается $x-2$"],"answer":[2]}},"hints":["Разложите: $x^2-4=(x-2)(x+2)$; вторая дробь сокращается на $x+2$.","$\\dfrac{3}{x-2}-\\dfrac{1}{x-2}=\\dfrac{2}{x-2}$.","Ответ: $\\dfrac{2}{x-2}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Упростите: $\\dfrac{5}{x+1}-\\dfrac{x-1}{x^2-1}$.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{4}{x-1}$","$\\dfrac{4x-6}{x^2-1}$","$\\dfrac{4}{x+1}$","$\\dfrac{6-x}{x^2-1}$"],"explanations":["Сокращен не тот множитель: после сокращения в знаменателе остается $x+1$","Скобки при вычитании потеряны: $5(x-1)-x-1$ вместо $5(x-1)-(x-1)$","","Первая дробь не домножена на дополнительный множитель $x-1$"],"answer":[2]}},"hints":["Разложите: $x^2-1=(x-1)(x+1)$; вторая дробь сокращается на $x-1$.","$\\dfrac{5}{x+1}-\\dfrac{1}{x+1}=\\dfrac{4}{x+1}$.","Ответ: $\\dfrac{4}{x+1}$."],"step":1},{"id":"6","content":"Ученик ответил на задание «сложите $\\dfrac{1}{x^2-3x}+\\dfrac{1}{x^2+3x}$» так: $\\dfrac{2x^2}{x^2(x^2-9)}$. Какой ответ принял бы проверяющий?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Ответ принят как есть","Нужна несократимая дробь $\\dfrac{2}{x^2-9}$: знаменатели нужно было разложить до выбора общего","Верно $\\dfrac{2}{x(x^2-9)}$","Верно $0$"],"explanations":["Значения совпадают, но дробь сократима на $x^2$: ответ не доведен до несократимого вида","","Лишний $x$ оставлен в знаменателе","Потеряны скобки: числитель равен $2x^2$"],"answer":[1]}},"hints":["Знаменатели: $x(x-3)$ и $x(x+3)$, общий множитель $x$.","Общий знаменатель $x(x-3)(x+3)$, числитель $2x$.","Ответ: $\\dfrac{2}{x^2-9}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Ученик ответил на задание «сложите $\\dfrac{1}{x^2-5x}+\\dfrac{1}{x^2+5x}$» так: $\\dfrac{2x^2}{x^2(x^2-25)}$. Какой ответ принял бы проверяющий?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Верно $0$","Верно $\\dfrac{2}{x(x^2-25)}$","Нужна несократимая дробь $\\dfrac{2}{x^2-25}$: знаменатели нужно было разложить до выбора общего","Ответ принят как есть"],"explanations":["Потеряны скобки: числитель равен $2x^2$","Лишний $x$ оставлен в знаменателе","","Значения совпадают, но дробь сократима на $x^2$: ответ не доведен до несократимого вида"],"answer":[2]}},"hints":["Знаменатели: $x(x-5)$ и $x(x+5)$, общий множитель $x$.","Общий знаменатель $x(x-5)(x+5)$, числитель $2x$.","Ответ: $\\dfrac{2}{x^2-25}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Преобразуйте в одну дробь: $\\left(\\dfrac{x}{x-3}-\\dfrac{3}{x+3}\\right)\\cdot\\dfrac{x^2-9}{x}$.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x^2-9}{x}$","$x^2+9$","$\\dfrac{x^2+9}{x^2-9}$","$\\dfrac{x^2+9}{x}$"],"explanations":["Скобки при вычитании потеряны: $-3(x-3)$ раскрыто как $-3x-9$","Знаменатель $x$ потерян при сокращении","Умножение на вторую дробь не выполнено",""],"answer":[3]}},"hints":["Скобка: $\\dfrac{x(x+3)-3(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\\dfrac{x^2+9}{x^2-9}$.","Умножьте на $\\dfrac{x^2-9}{x}$ и сократите на $x^2-9$.","Ответ: $\\dfrac{x^2+9}{x}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Преобразуйте в одну дробь: $\\left(\\dfrac{x}{x-5}-\\dfrac{5}{x+5}\\right)\\cdot\\dfrac{x^2-25}{x}$.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x^2+25}{x^2-25}$","$\\dfrac{x^2+25}{x}$","$x^2+25$","$\\dfrac{x^2-25}{x}$"],"explanations":["Умножение на вторую дробь не выполнено","","Знаменатель $x$ потерян при сокращении","Скобки при вычитании потеряны: $-5(x-5)$ раскрыто как $-5x-25$"],"answer":[1]}},"hints":["Скобка: $\\dfrac{x(x+5)-5(x-5)}{(x-5)(x+5)}=\\dfrac{x^2+25}{x^2-25}$.","Умножьте на $\\dfrac{x^2-25}{x}$ и сократите на $x^2-25$.","Ответ: $\\dfrac{x^2+25}{x}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Укажите все значения $x$, при которых имеет смысл выражение $\\dfrac{1}{x}:\\left(\\dfrac{1}{x-2}-\\dfrac{1}{x+2}\\right)$.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["Только $x\\ne0$","$x\\ne0$, $x\\ne2$ и $x\\ne-2$","$x\\ne2$ и $x\\ne-2$","$x\\ne0$ и $x\\ne2$"],"explanations":["Запреты от знаменателей внутри скобки потеряны: нельзя $x=2$ и $x=-2$","","Не учтен знаменатель $x$ первой дроби","Не учтен знаменатель $x+2$ внутри скобки"],"answer":[1]}},"hints":["Знаменатели: $x\\ne0$, $x\\ne2$, $x\\ne-2$.","Скобка равна $\\dfrac{4}{x^2-4}$ — нулю не равна ни при каких $x$, нового запрета нет.","Ответ: $x\\ne0$, $x\\ne2$, $x\\ne-2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Укажите все значения $y$, при которых имеет смысл выражение $\\dfrac{1}{y}:\\left(\\dfrac{1}{y-1}-\\dfrac{1}{y+1}\\right)$.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$y\\ne1$ и $y\\ne-1$","$y\\ne0$, $y\\ne1$ и $y\\ne-1$","Только $y\\ne0$","$y\\ne0$ и $y\\ne1$"],"explanations":["Не учтен знаменатель $y$ первой дроби","","Запреты от знаменателей внутри скобки потеряны: нельзя $y=1$ и $y=-1$","Не учтен знаменатель $y+1$ внутри скобки"],"answer":[1]}},"hints":["Знаменатели: $y\\ne0$, $y\\ne1$, $y\\ne-1$.","Скобка равна $\\dfrac{2}{y^2-1}$ — нулю не равна ни при каких $y$, нового запрета нет.","Ответ: $y\\ne0$, $y\\ne1$, $y\\ne-1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Поезд шел от станции $A$ до станции $B$ со скоростью $84$ км/ч, а обратно по той же линии — со скоростью $60$ км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на всем пути (в км/ч). [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"70"}},"hints":["Пусть путь в одну сторону равен $S$. Средняя скорость — весь путь $2S$, деленный на все время.","Время: $\\dfrac{S}{84}+\\dfrac{S}{60}=\\dfrac{S(84+60)}{5040}$.","$\\dfrac{25040}{144}=70$. Ответ: $70$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Поезд шел от станции $A$ до станции $B$ со скоростью $50$ км/ч, а обратно по той же линии — со скоростью $75$ км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на всем пути (в км/ч). [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Пусть путь в одну сторону равен $S$. Средняя скорость — весь путь $2S$, деленный на все время.","Время: $\\dfrac{S}{50}+\\dfrac{S}{75}=\\dfrac{S(50+75)}{3750}$.","$\\dfrac{23750}{125}=60$. Ответ: $60$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр записал: $\\dfrac{3}{a}+\\dfrac{a}{2}\\cdot\\dfrac{3}{a}=\\dfrac{6+a^2}{2a}\\cdot\\dfrac{3}{a}=\\dfrac{18+3a^2}{2a^2}$. Что не так?[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["Верно $\\dfrac{9}{2a}$","Сложение выполнено раньше умножения: верно $\\dfrac{3a+6}{2a}$","Ошибки нет: так и надо","Верно $\\dfrac{3a+6}{2}$"],"explanations":["Второе слагаемое $\\dfrac{3}{2}$ приведено к знаменателю $2a$ без умножения числителя на $a$","","Проверка при $a=2$: слева $3$, справа $\\dfrac{30}{8}$ — не совпало","Общий знаменатель $2a$ потерян: $a$ в знаменателе первого слагаемого"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте при $a=2$: слева $\\dfrac{3}{2}+\\dfrac{3}{2}=3$, справа $\\dfrac{30}{8}$.","Умножение выполняют раньше сложения: $\\dfrac{a}{2}\\cdot\\dfrac{3}{a}=\\dfrac{3}{2}$.","Верно: $\\dfrac{3}{a}+\\dfrac{3}{2}=\\dfrac{6+3a}{2a}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр записал: $\\dfrac{5}{b}+\\dfrac{b}{4}\\cdot\\dfrac{5}{b}=\\dfrac{20+b^2}{4b}\\cdot\\dfrac{5}{b}=\\dfrac{100+5b^2}{4b^2}$. Что не так?[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["Верно $\\dfrac{5b+20}{4}$","Верно $\\dfrac{25}{4b}$","Ошибки нет: так и надо","Сложение выполнено раньше умножения: верно $\\dfrac{5b+20}{4b}$"],"explanations":["Общий знаменатель $4b$ потерян: $b$ в знаменателе первого слагаемого","Второе слагаемое $\\dfrac{5}{4}$ приведено к знаменателю $4b$ без умножения числителя на $b$","Проверка при $b=2$: слева $\\dfrac{15}{4}$, справа $\\dfrac{120}{16}$ — не совпало",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте при $b=2$: слева $\\dfrac{5}{2}+\\dfrac{5}{4}=\\dfrac{15}{4}$, справа $\\dfrac{120}{16}$.","Умножение выполняют раньше сложения: $\\dfrac{b}{4}\\cdot\\dfrac{5}{b}=\\dfrac{5}{4}$.","Верно: $\\dfrac{5}{b}+\\dfrac{5}{4}=\\dfrac{20+5b}{4b}$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>