8 класс Алгебра Рациональные дроби Произведение и частное дробей

Деление рациональных дробей

Содержание

В уроке «Умножение дробей. Возведение дроби в степень» мы перемножали дроби. Сначала загадка: почему $6:\frac{1}{2}$ больше $6$, хотя делим? Теперь научимся делить: дробь на дробь, дробь на многочлен и многочлен на дробь, — поймем, почему при делении переворачивают именно вторую дробь, и узнаем, какие значения переменной запрещает деление.

Вопрос на весь урок: в мешке $\frac{a^2}{6}$ кг крупы, ее фасуют в пакеты по $\frac{a}{9}$ кг. Сколько получится пакетов? Ответ — выражение с буквой $a$; мы найдем его в последнем разделе, там же ответим на загадку.

Делить — значит узнать, сколько раз укладывается

Разделить $12$ на $3$ — значит узнать, сколько раз тройка укладывается в двенадцати. С дробями смысл тот же. Возьмем прямоугольник, разрежем его на $5$ долей и закрасим $4$: это $\frac{4}{5}$. Сколько раз в закрашенной части укладывается $\frac{2}{5}$, то есть кусок из $2$ долей? Доли одного размера, поэтому достаточно сосчитать: $4$ доли по $2$ — это $2$ раза.

$$\frac{4}{5}:\frac{2}{5}=4:2=2$$

Если доли одного размера, деление дробей сводится к делению чисел закрашенных долей.

Вернемся к крупе и подставим $a=2$. В мешке $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ кг, пакет — $\frac{2}{9}$ кг. Доли разного размера: трети и девятые. Как в уроке «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями», перейдем на общую сетку из $9$ долей: $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$. Теперь доли одинаковые: $6$ девятых, пакет — $2$ девятых. Пакет укладывается $6:2=3$ раза.

2/3 кг переложены на сетку из 9 долей: закрашено 6 долей, кусок из 2 долей (пакет 2/9 кг) укладывается 3 раза; 6 девятых : 2 девятых = 3 — На общей сетке из 9 долей: в 6 закрашенных долях кусок из 2 долей укладывается 3 раза, поэтому 2/3 : 2/9 = 3

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На рисунке закрашено $\\dfrac{3}{4}$ прямоугольника. Сколько раз в закрашенной части укладывается доля $\\dfrac{1}{4}$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vcxzamdtej6i.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{3}{4}$","$\\dfrac{3}{16}$","$\\dfrac{1}{3}$","$3$"],"explanations":["Это сама закрашенная часть, а не число раз","Знаменатели перемножены, как при умножении: дробь делили так же, как умножали","Это обратное частное: на $\\dfrac{1}{4}$ делили не $\\dfrac{3}{4}$, а наоборот",""],"answer":[3]}},"hints":["Закрашены $3$ доли, каждая равна $\\dfrac{1}{4}$.","Значит, $\\dfrac{3}{4}:\\dfrac{1}{4}=3$.","Ответ: $3$."],"step":1}],"mix":1}

Почему переворачивают делитель

Повторим то же рассуждение для любых дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Общая сетка — $bd$ долей. По основному свойству дроби

$$\frac{a}{b}=\frac{ad}{bd},\qquad \frac{c}{d}=\frac{cb}{bd}$$

Теперь доли одинаковые. Делимое — это $ad$ долей, делитель — $bc$ долей. Делим счетом: $ad:bc=\frac{ad}{bc}$. А это то же самое, что $\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$.

Делимое $\frac{a}{b}$ в ответе осталось как было, а делитель $\frac{c}{d}$ перевернулся: числитель и знаменатель поменялись местами. Дробь $\frac{d}{c}$ называют обратной к $\frac{c}{d}$: их произведение равно $1$. Это правило вы знаете из 6 класса, урок «Деление дробей». Модель объясняет, откуда оно берется.

Правило

Чтобы разделить дробь на дробь, делимое умножают на дробь, обратную делителю:

$$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}=\frac{A\cdot D}{B\cdot C}$$

Переворачивают только вторую дробь — делитель. Дальше действуют как при умножении: сокращают и записывают результат.

Проверить деление можно умножением: частное, умноженное на делитель, дает делимое. Для крупы: $3\cdot\frac{2}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Верно. Частное может быть и не целым: $\frac{2}{3}:\frac{4}{9}=\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{3}{2}$ — кусок из $4$ девятых укладывается в $6$ девятых полтора раза.

Пример

Задача. Выполните деление: $\frac{4x}{15}:\frac{2x^2}{5}$.

Решение. Переворачиваем делитель и умножаем:

$$\frac{4x}{15}:\frac{2x^2}{5}=\frac{4x}{15}\cdot\frac{5}{2x^2}=\frac{4x\cdot5}{15\cdot2x^2}=\frac{20x}{30x^2}$$

Сокращаем на $10x$: $\frac{2}{3x}$.

Проверка. При $x=1$: слева $\frac{4}{15}:\frac{2}{5}=\frac{4}{15}\cdot\frac{5}{2}=\frac{2}{3}$, справа $\frac{2}{3\cdot1}=\frac{2}{3}$. Совпало.

Ответ: $\frac{2}{3x}$.

{"questions":[{"content":"$\\dfrac{5}{6}:\\dfrac{2}{3}=$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{9}{5}$","$\\dfrac{5}{4}$","$\\dfrac{4}{5}$","$\\dfrac{5}{9}$"],"answer":1}},"hints":["Деление заменяют умножением на обратную дробь делителя: $\\dfrac{5}{6}\\cdot\\dfrac{3}{2}$.","Сократите на $3$: $\\dfrac{5}{2\\cdot2}$.","Ответ: $\\dfrac{5}{4}$."],"step":1}],"mix":1}

Целое выражение и многочлен — тоже дроби

Сколько раз $\frac{3}{4}$ укладывается в $3$? Возьмем $3$ целых прямоугольника и разрежем каждый на четверти: получится $12$ четвертей. Кусок из $3$ четвертей укладывается в них $12:3=4$ раза. По правилу: $3=\frac{3}{1}$, и $\frac{3}{1}\cdot\frac{4}{3}=4$. Совпало.

Три целых прямоугольника, каждый разрезан на 4 доли: всего 12 четвертей; кусок 3/4 укладывается 4 раза; 3 : 3/4 = 4 — Три целых прямоугольника — это 12 четвертей; кусок из 3 четвертей укладывается 4 раза, поэтому 3 : 3/4 = 4

Так же поступают с многочленом: его записывают дробью со знаменателем $1$. Делить на многочлен $P$ — значит умножать на $\frac{1}{P}$, и $P$ уходит в знаменатель. Если многочлен — делимое, он остается в числителе. Перед сокращением многочлены раскладывают на множители: выносят общий множитель, применяют формулы сокращенного умножения из 7 класса, например «Разность квадратов», или раскладывают трехчлен, как в уроке «Корни квадратного трехчлена и разложение его на множители». Сокращать можно только множители, а не слагаемые.

Правило

Целое выражение (число, многочлен) при делении записывают дробью со знаменателем $1$:

$$\frac{A}{B}:P=\frac{A}{B}\cdot\frac{1}{P}=\frac{A}{B\cdot P},\qquad P:\frac{C}{D}=\frac{P}{1}\cdot\frac{D}{C}=\frac{P\cdot D}{C}$$

Пример

Задача 1. Разделите дробь на многочлен: $\frac{x^2-9}{2x}:(x+3)$.

Решение. Многочлен $x+3$ переходит в знаменатель; числитель раскладываем по формуле разности квадратов:

$$\frac{x^2-9}{2x}\cdot\frac{1}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{2x(x+3)}=\frac{x-3}{2x}$$

Проверка. При $x=1$: слева $\frac{-8}{2}:4=-1$, справа $\frac{-2}{2}=-1$. Совпало. Ответ: $\frac{x-3}{2x}$.

Задача 2. Разделите многочлен на дробь: $(y^2-1):\frac{y+1}{y}$.

Решение. Переворачиваем делитель, многочлен остается в числителе:

$$(y^2-1)\cdot\frac{y}{y+1}=\frac{(y-1)(y+1)\cdot y}{y+1}=y(y-1)$$

Проверка. При $y=2$: слева $3:\frac{3}{2}=2$, справа $2\cdot1=2$. Совпало. Ответ: $y(y-1)$.

{"questions":[{"content":"Выполните деление: $\\dfrac{4x}{9}:6$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{4x}{15}$","$\\dfrac{2x}{3}$","$\\dfrac{8x}{3}$","$\\dfrac{2x}{27}$"],"explanations":["Знаменатели $9$ и $6$ сложены; их перемножают","Делитель $6$ применен только к числителю: знаменатель $9$ потерян","Целое число поставлено в числитель: это умножение на $6$, а не деление",""],"answer":[3]}},"hints":["Деление на $6$ — умножение на $\\dfrac{1}{6}$.","$\\dfrac{4x}{9}\\cdot\\dfrac{1}{6}=\\dfrac{4x}{54}$.","Сократите на $2$. Ответ: $\\dfrac{2x}{27}$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $5:\\dfrac{x}{3}$ при $x=6$. Ответ запишите обыкновенной или десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["5/2","2,5","2.5","2,5","2.5"]}},"hints":["Переверните делитель: $\\dfrac{x}{3}$ превращается в $\\dfrac{3}{x}$.","$5\\cdot\\dfrac{3}{x}=\\dfrac{15}{x}$; при $x=6$ получается $\\dfrac{15}{6}$.","Ответ: $\\dfrac{5}{2}$, то есть $2{,}5$."],"step":1},{"content":"Разделите дробь на многочлен: $\\dfrac{6}{x}:(x+2)$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{6}{x(x+2)}$","$\\dfrac{6(x+2)}{x}$","$\\dfrac{x(x+2)}{6}$","$\\dfrac{6}{x+2}$"],"explanations":["","Многочлен записан в числитель: это умножение","Перевернут результат, а не делитель","Множитель $x$ в знаменателе потерян"],"answer":[0]}},"hints":["Многочлен — дробь со знаменателем $1$; делить на него — умножать на $\\dfrac{1}{x+2}$.","$\\dfrac{6}{x}\\cdot\\dfrac{1}{x+2}$.","Ответ: $\\dfrac{6}{x(x+2)}$."],"step":1}],"mix":1}

На пустую долю делить нельзя

В уроке «Рациональные выражения» мы выяснили: прямоугольник нельзя разрезать на $0$ долей, поэтому знаменатель не равен нулю. В частном $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}$ два знаменателя — значит, уже два запрета: $B\ne0$ и $D\ne0$.

Деление добавляет третий. Если $C=0$, делитель — пустой кусок, в нем нет ни одной закрашенной доли. Сколько раз пустой кусок укладывается в делимом? На этот вопрос нет ответа, так же как нельзя делить на нуль число. Правило показывает то же самое: после переворота $C$ оказывается в знаменателе $\frac{D}{C}$.

Запись A/B : C/D = A/B · D/C и три запрета: B не равно 0, D не равно 0, C не равно 0 (новый); внизу полоса делителя с C = 0 со штриховкой ошибки — Три запрета частного: оба знаменателя не равны нулю, и числитель делителя тоже — после переворота он стоит в знаменателе

Правило

Частное $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}$ имеет смысл, когда выполнены три условия:

$$B\ne0,\qquad D\ne0,\qquad C\ne0$$

Запреты записывают по исходному выражению, до сокращения.

Ошибка

Как ошибаются. Для $\frac{a}{a-1}:\frac{a+3}{2a}$ выписывают $a\ne1$ и $a\ne0$, а третий запрет $a\ne-3$ забывают.

Проверка на числах. При $a=-3$ делитель равен $\frac{0}{-6}=0$, а на нуль делить нельзя. Ответ $\frac{2a^2}{(a-1)(a+3)}$ при $a=-3$ тоже теряет смысл.

Где ломается рассуждение. Запреты искали только в знаменателях записи. Но числитель делителя после переворота уходит в знаменатель, поэтому его тоже приравнивают к нулю.

Пример

Задача. Выполните деление $\frac{x}{x-4}:\frac{x+5}{3x}$ и укажите, при каких $x$ выражение имеет смысл.

Запреты. Знаменатель делимого: $x-4\ne0$, то есть $x\ne4$. Знаменатель делителя: $3x\ne0$, то есть $x\ne0$. Числитель делителя: $x+5\ne0$, то есть $x\ne-5$.

Деление.

$$\frac{x}{x-4}\cdot\frac{3x}{x+5}=\frac{3x^2}{(x-4)(x+5)}$$

Ответ: $\frac{3x^2}{(x-4)(x+5)}$ при $x\ne4$, $x\ne0$, $x\ne-5$.

Обратите внимание

По ответу $\frac{3x^2}{(x-4)(x+5)}$ запрет $x\ne0$ уже не виден: при $x=0$ эта дробь равна $0$. Но исходное выражение при $x=0$ смысла не имеет — в нем знаменатель $3x$ равен нулю. Поэтому запреты выписывают до преобразований.

a8-delenie-drobej-delenie-shagi

{"questions":[{"content":"Укажите значения $x$, которые нельзя подставлять в частное $\\dfrac{x}{x+1}:\\dfrac{x-3}{x}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x=0$ и $x=3$","$x=-1$ и $x=3$","$x=-1$ и $x=0$","$x=-1$, $x=0$ и $x=3$"],"explanations":["Забыт знаменатель первой дроби: при $x=-1$ она не имеет смысла","Забыт запрет $x\\ne0$: знаменатель делителя не может быть нулем","Забыт запрет на нулевой делитель: при $x=3$ делитель равен $0$",""],"answer":[3]}},"hints":["Запретов три: знаменатель первой дроби, знаменатель делителя и нулевой делитель.","$x+1\\ne0$, $x\\ne0$, $x-3\\ne0$.","Ответ: $x=-1$, $x=0$, $x=3$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Упростите частное: $\\dfrac{x^2-4}{x}:\\dfrac{x+2}{3x}$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$3x+6$","$\\dfrac{x-2}{3}$","$\\dfrac{1}{3x-6}$","$3x-6$"],"explanations":["Остался множитель $x+2$ вместо $x-2$: сократили не ту скобку","Число $3$ оставлено в знаменателе: оно из числителя второй дроби после переворота","Перевернута первая дробь вместо второй",""],"answer":[3]}},"hints":["Замените деление умножением: $\\dfrac{(x-2)(x+2)}{x}\\cdot\\dfrac{3x}{x+2}$.","Сократите на $x$ и на $x+2$: остается $3(x-2)$.","Ответ: $3x-6$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Переворачивают только делитель

Ошибка

Как ошибаются. Переворачивают первую дробь вместо второй: $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{B}{A}\cdot\frac{C}{D}$. Или переворачивают обе.

Проверка на числах. Сколько половинок в $6$ целых? Каждое целое — $2$ половинки, всего $12$: $6:\frac{1}{2}=12$. Если перевернуть делимое, получится $\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$. Проверка умножением: $\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$, а не $6$. Значит, $\frac{1}{12}$ — не частное.

Где ломается рассуждение. На общей сетке делимое — это то, что мы пересчитываем, оно не меняется: $ad$ долей. Переворот появляется только у делителя, когда счет $ad:bc$ записывают дробью. Перевернуть делимое — значит спросить наоборот: сколько раз $6$ целых укладываются в половинке.

Верно: 6 прямоугольников, каждый разрезан пополам, 12 половинок, 6 : 1/2 = 12; ошибка: 1/6 · 1/2 = 1/12 меньше одной половинки, штриховка ошибки — В 6 целых двенадцать половинок; ответ 1/12 при перевороте делимого — меньше одной половинки, такого быть не может

Порядок действий. Если в выражении несколько делений и умножений, их выполняют по порядку слева направо, как с числами. Переворачивают только ту дробь, которая стоит сразу после знака деления.

Пример

Задача. Упростите: $\frac{3m}{4}:\frac{m^2}{2}\cdot\frac{m}{6}$.

Решение. Слева направо: сначала деление. Переворачиваем только $\frac{m^2}{2}$:

$$\frac{3m}{4}\cdot\frac{2}{m^2}\cdot\frac{m}{6}=\frac{3m\cdot2\cdot m}{4\cdot m^2\cdot6}=\frac{6m^2}{24m^2}=\frac{1}{4}$$

Проверка. При $m=2$: $\frac{3}{2}:2=\frac{3}{4}$, затем $\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$. Совпало. Если сначала перемножить две последние дроби, получится $\frac{9}{m^2}$ — при $m=2$ это $\frac{9}{4}$, другое число.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

Теперь ответим на вопрос из введения. Число пакетов — сколько раз $\frac{a}{9}$ укладывается в $\frac{a^2}{6}$:

$$\frac{a^2}{6}:\frac{a}{9}=\frac{a^2}{6}\cdot\frac{9}{a}=\frac{9a^2}{6a}=\frac{3a}{2}$$

При $a=2$ получается $3$ пакета — как на сетке в первом разделе. При $a=4$: в мешке $\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$ кг, пакет $\frac{4}{9}$ кг, пакетов $\frac{8}{3}\cdot\frac{9}{4}=6$, и формула дает $\frac{3\cdot4}{2}=6$.

Случай	Что делаем	В модели долей
Дробь на дробь	$\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}$	Общая сетка, затем счет долей
Дробь на многочлен	$P$ — в знаменатель	Делитель из целых прямоугольников
Многочлен на дробь	$P$ — в числитель, делитель перевернуть	Целые прямоугольники режем на доли делителя
Запреты	$B\ne0$, $D\ne0$, $C\ne0$	Пустой кусок не укладывается ни разу

{"questions":[{"content":"Решавр записал решение: $\\dfrac{2}{3}:\\dfrac{4}{5}=\\dfrac{3}{2}\\cdot\\dfrac{4}{5}=\\dfrac{6}{5}$. Найдите, где допущена ошибка.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нужно перевернуть обе дроби: $\\dfrac{15}{8}$","Перевернул первую дробь: верно $\\dfrac{5}{6}$","Ошибки нет: частное может быть больше $1$","Нужно умножить без переворота: $\\dfrac{8}{15}$"],"explanations":["Переворачивают одну дробь — делитель; две дроби переворачивать не нужно","","Положительное меньшее число делят на большее — частное меньше $1$","Без переворота получается умножение, а не деление"],"answer":[1]}},"hints":["Оцените смыслом: $\\dfrac{2}{3}$ меньше $\\dfrac{4}{5}$, значит частное меньше $1$, а у Решавра $\\dfrac{6}{5}$.","Переворачивают делитель, то есть вторую дробь.","Верно: $\\dfrac{2}{3}\\cdot\\dfrac{5}{4}=\\dfrac{5}{6}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вычислите значение выражения $\\dfrac{5a}{6}:\\dfrac{a^2}{9}\\cdot\\dfrac{4a}{15}$ при $a=3$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Действия выполняют слева направо: сначала деление.","$\\dfrac{5a}{6}\\cdot\\dfrac{9}{a^2}\\cdot\\dfrac{4a}{15}=\\dfrac{180a^2}{90a^2}$.","Ответ: $2$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Делить дроби — значит узнавать, сколько раз делитель укладывается в делимом. На общей сетке это обычный счет долей, и из него получается правило: делимое умножают на дробь, обратную делителю. Переворачивают только вторую дробь; целое выражение и многочлен записывают дробью со знаменателем $1$. Запретов у частного три: оба знаменателя и числитель делителя не равны нулю, и выписывают их до сокращения. Деление понадобится в задачах на скорость, производительность и при упрощении выражений.

Как вспомнить: «сколько раз укладывается — общая сетка — делитель перевернулся».

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя перевернуть первую дробь — ведь при умножении множители можно переставлять?

Переставлять можно множители, а деление — не умножение: делимое и делитель играют разные роли. Делимое — то, что пересчитываем, делитель — кусок, которым меряем. Проверьте на числах: $6:\frac{1}{2}=12$, а с перевернутым делимым выходит $\frac{1}{12}$.

Может ли частное быть больше делимого?

Да: если делимое положительно, а делитель — дробь от $0$ до $1$, то в $6$ целых помещается $12$ половинок. При делении на дробь больше $1$ частное, наоборот, меньше делимого. Такая оценка помогает поймать ошибку переворота.

Зачем выписывать запреты до сокращения, если ответ уже простой?

После сокращения часть запретов исчезает из записи: в ответе $\frac{3x^2}{(x-4)(x+5)}$ нет знаменателя $3x$. Но исходное выражение при $x=0$ смысла не имеет, и ответ верен только при тех же запретах.

Как проверить деление, если ответ с буквами?

Подставьте удобное число, при котором все знаменатели и делитель не равны нулю, в исходное выражение и в ответ. Если значения разные, ошибка есть. Совпадение при одном числе ошибку не исключает, но ловит почти все неверные перевороты.

Награды за урок