8 класс Алгебра Рациональные дроби Произведение и частное дробей

Преобразование рациональных выражений

Содержание

В прошлых уроках, до урока «Деление дробей» включительно, мы выполняли с дробями по одному действию. Теперь действий несколько, и главное — в каком порядке их выполнять и как не запутаться в громоздких знаменателях. Научимся строить дерево действий, раскладывать знаменатели заранее, упрощать выражение до подстановки числа и проверять ответ.

Вопрос на весь урок. В уроке «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» мы нашли среднюю скорость для $90$ и $60$ км/ч. Для любых скоростей $v_1$ и $v_2$ формула выглядит так: $\dfrac{2S}{\frac{S}{v_1}+\frac{S}{v_2}}$ — дробь в три этажа, да еще с путем $S$, которого никто не знает. Можно ли свернуть ее в простую дробь? Ответ — в разделе 4.

Дерево действий: какую сетку строим первой

Возьмем выражение $\frac{3}{a}-\frac{a}{4}:\frac{a^2}{8}$. В нем два действия: вычитание и деление. Подставим $a=2$ и выполним их в разном порядке.

Сначала деление: $\frac{2}{4}:\frac{4}{8}=\frac{1}{2}:\frac{1}{2}=1$, затем вычитание: $\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$. А если сначала вычитать: $\frac{3}{2}-\frac{2}{4}=1$, затем делить: $1:\frac{1}{2}=2$. Получились разные числа — значит, это два разных выражения, и верное только одно.

Два дерева одной записи 3/a − a/4 : a²/8: верное (сначала деление, потом вычитание, при a = 2 получается 1/2) и неверное (деление последним, при a = 2 получается 2) — Одна запись, два дерева: верное дерево велит сначала делить, потом вычитать. При a = 2 получаем 1/2, а не 2

Порядок действий с дробями тот же, что с числами. Его удобно рисовать деревом действий: листья — отдельные дроби, узлы — знаки действий. Действие на нижнем этаже выполняют раньше, корень дерева — последним. В модели долей это значит: сначала строим сетки нижних этажей, потом складываем или вычитаем то, что получилось.

Правило

Действия в выражении с дробями выполняют в таком порядке:

1) действия в скобках;

2) возведение в степень;

3) умножение и деление — по порядку слева направо;

4) сложение и вычитание — по порядку слева направо.

Пример 1

Задача. Упростите выражение $\frac{3}{a}-\frac{a}{4}:\frac{a^2}{8}$.

Решение. Первое действие — деление. Заменяем его умножением на обратную дробь и сокращаем:

$$\frac{a}{4}:\frac{a^2}{8}=\frac{a}{4}\cdot\frac{8}{a^2}=\frac{8a}{4a^2}=\frac{2}{a}$$

Второе действие — вычитание. У дробей уже одна сетка $a$, поэтому вычитаем числители: $\frac{3}{a}-\frac{2}{a}=\frac{1}{a}$.

Проверка. При $a=2$ выражение равно $\frac{1}{2}$ (посчитано выше), и $\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$. Совпало.

Ответ: $\frac{1}{a}$.

При a = 4 обе дроби на одной сетке из 4 долей: 3 доли и 2 доли; вычитание 3 − 2 = 1 доля; 3/a − 2/a = 1/a — После деления обе дроби разрезаны одинаково, на a долей. Вычитание — просто счет: 3 доли минус 2 доли

{"questions":[{"content":"Сопоставьте каждое выражение с действием, которое в нем выполняют первым.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\dfrac{1}{a}+\\dfrac{b}{c}\\cdot\\dfrac{c}{a}$","$\\left(\\dfrac{1}{a}+\\dfrac{b}{c}\\right)\\cdot\\dfrac{c}{a}$","$\\dfrac{1}{a}-\\dfrac{b}{c}:\\dfrac{c}{a}$","$\\left(\\dfrac{1}{a}-\\dfrac{b}{c}\\right):\\dfrac{c}{a}$"],"items":["Умножение","Сложение","Деление","Вычитание"]}},"instruction":"Соедините выражение с первым действием","hints":["Сначала — действие в скобках; если скобок нет — умножение и деление раньше сложения и вычитания.","Без скобок первым идет $\\cdot$ или $:$; со скобками — то, что внутри скобок.","Ответ: первое выражение — умножение, второе — сложение, третье — деление, четвертое — вычитание."],"step":1},{"content":"Упростите выражение $\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{x+1}\\cdot\\dfrac{x+1}{2}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x+2}{2x}$","$\\dfrac{1}{2x}$","$\\dfrac{2x+1}{2x}$","$\\dfrac{2}{x+2}$"],"explanations":["","Все три дроби перемножены: знак «плюс» потерян","Сначала сложены первые две дроби: порядок действий нарушен","Складывают числители и знаменатели отдельно: так дроби не складывают"],"answer":[0]}},"hints":["Умножение выполняют раньше сложения: $\\dfrac{1}{x+1}\\cdot\\dfrac{x+1}{2}=\\dfrac{1}{2}$.","Затем складывают: $\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{2+x}{2x}$.","Ответ: $\\dfrac{x+2}{2x}$."],"step":1}],"mix":1}

Скобки — нижний этаж дерева

Скобки меняют дерево: действие в скобках опускается на нижний этаж, и его выполняют первым, даже если это сложение. Всю скобку сначала сворачивают в одну дробь, и только потом выполняют внешнее действие.

Дерево выражения (x/3 − 3/x) : (x − 3)/(6x): скобка с вычитанием выполняется первой, дает (x² − 9)/(3x), затем деление дает 2(x + 3) — Скобка опускает вычитание на нижний этаж: сначала одна дробь из скобки, потом деление

Пример 2

Задача. Упростите выражение $\left(\frac{x}{3}-\frac{3}{x}\right):\frac{x-3}{6x}$.

Шаг 1 — скобка. Общий знаменатель $3x$, дополнительные множители $x$ и $3$:

$$\frac{x}{3}-\frac{3}{x}=\frac{x\cdot x-3\cdot3}{3x}=\frac{x^2-9}{3x}$$

Шаг 2 — деление. Умножаем на обратную дробь и раскладываем $x^2-9=(x-3)(x+3)$:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{3x}\cdot\frac{6x}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)\cdot6x}{3x\cdot(x-3)}=2(x+3)$$

Проверка. При $x=1$: $\left(\frac{1}{3}-3\right):\frac{-2}{6}=-\frac{8}{3}:\left(-\frac{1}{3}\right)=8$ и $2\cdot(1+3)=8$. Совпало.

Ответ: $2x+6$.

Важно

Скобку можно не сворачивать, когда ее умножают: по распределительному закону каждое слагаемое умножают отдельно. А делить на сумму по частям нельзя: $12:(2+4)=2$, но $12:2+12:4=9$. Делитель-скобку сначала сворачивают в одну дробь, затем переворачивают.

a8-preobrazovanie-racionalnyh-vyrazhenij-poryadok-dejstvij

{"questions":[{"content":"Упростите: $\\left(\\dfrac{1}{a}+\\dfrac{1}{b}\\right)\\cdot ab$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a+b$","$2$","$\\dfrac{a+b}{ab}$","$ab(a+b)$"],"explanations":["","Каждая дробь заменена единицей: $\\dfrac{1}{a}\\cdot ab$ равно $b$, а не $1$","Скобка свернута, но умножение на $ab$ не выполнено","Умножение на $ab$ выполнено дважды"],"answer":[0]}},"hints":["Умножьте каждое слагаемое в скобках на $ab$.","$\\dfrac{1}{a}\\cdot ab=b$, $\\dfrac{1}{b}\\cdot ab=a$.","Ответ: $a+b$."],"step":1},{"content":"Упростите: $\\dfrac{4}{x^2}:\\left(\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{2x}\\right)$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{8}{3x^2}$","$\\dfrac{8}{3x}$","$\\dfrac{3x}{8}$","$\\dfrac{12}{x}$"],"explanations":["При сокращении степень $x$ в знаменателе не уменьшена: $\\dfrac{x}{x^2}=\\dfrac{1}{x}$","","Перевернут результат, а не делитель","Делили на каждое слагаемое отдельно и складывали: на сумму делят целиком"],"answer":[1]}},"hints":["Сначала сложите в скобках: $\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{2x}=\\dfrac{3}{2x}$.","Делитель — вся сумма: $\\dfrac{4}{x^2}\\cdot\\dfrac{2x}{3}=\\dfrac{8x}{3x^2}$.","Ответ: $\\dfrac{8}{3x}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Сначала разложить все знаменатели

Найдем разность $\frac{1}{x^2-2x}-\frac{1}{x^2+2x}$. Разложим оба знаменателя: $x^2-2x=x(x-2)$ и $x^2+2x=x(x+2)$. Теперь видно, что множитель $x$ общий, и наименьший общий знаменатель — $x(x-2)(x+2)$. Дополнительные множители — $x+2$ и $x-2$:

$$\frac{x+2-(x-2)}{x(x-2)(x+2)}=\frac{4}{x(x^2-4)}$$

Без разложения общий множитель $x$ не виден, и в произведении знаменателей он попадает в сетку дважды.

Для 1/(x² − 2x) − 1/(x² + 2x): знаменатели раскладываются, общий множитель x; общий знаменатель x(x − 2)(x + 2) дает 15 долей при x = 3, а произведение с лишним x дает 45 долей; ответ 4/(x(x² − 4)) — Разложение показывает общий множитель x. При x = 3 нужна сетка из 15 долей, а произведение дает 45

Метод

Шаг 1. Постройте дерево действий: что выполняется первым, что последним.

Шаг 2. Разложите на множители все знаменатели и числители выражения — сразу, до первого действия.

Шаг 3. Выполняйте действия по этажам, снизу вверх; при каждом действии сокращайте, что сокращается.

Шаг 4. Запишите ответ несократимой дробью и проверьте его подстановкой.

Пример 3

Задача. Упростите выражение $\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)\cdot\frac{x^2+2x}{3}$.

Шаги 1–2. Первое действие — скобка, второе — умножение. Раскладываем: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ по формуле из урока «Разность квадратов», $x^2+2x=x(x+2)$.

Шаг 3. Скобка: общий знаменатель $(x-2)(x+2)$, дополнительный множитель первой дроби $x+2$:

$$\frac{x+2-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}$$

Умножение: $\frac{1}{x+2}\cdot\frac{x(x+2)}{3}=\frac{x}{3}$.

Шаг 4. Проверка при $x=3$: $\left(1-\frac{4}{5}\right)\cdot\frac{15}{3}=\frac{1}{5}\cdot5=1$ и $\frac{3}{3}=1$. Совпало.

Ответ: $\frac{x}{3}$.

Ошибка

Как ошибаются. В разности $\frac{1}{x^2-2x}-\frac{1}{x^2+2x}$ берут общий знаменатель произведением $(x^2-2x)(x^2+2x)=x^2(x^2-4)$, не разложив. Получают $\frac{x^2+2x-(x^2-2x)}{x^2(x^2-4)}=\frac{4x}{x^2(x^2-4)}$ и сдают так. Или в длинном числителе теряют скобки: $x^2+2x-x^2-2x=0$, и «ответ» — нуль.

Проверка на числах. При $x=3$: $\frac{1}{3}-\frac{1}{15}=\frac{4}{15}$. «Ответ» $0$ не совпал: потеряны скобки, ответ неверен. Дробь $\frac{4x}{x^2(x^2-4)}$ дает $\frac{12}{45}=\frac{4}{15}$ — число то же, но ответ не принят: дробь сократима на $x$, а в задании с ответом-дробью нужна несократимая запись. Проверка на числах такую ошибку не ловит: ловит только разложение знаменателей до выбора общего.

Где ломается рассуждение. Нарушен порядок «разложить → общий знаменатель». Множитель $x$ взят в сетку дважды, дробь пришлось бы сокращать, а громоздкий числитель провоцирует ошибку со скобками. В выражении из трех действий лишний множитель тянется через все этажи.

{"questions":[{"content":"Упростите выражение $\\dfrac{2}{x-1}+\\dfrac{x+1}{x^2-1}$ и запишите результат несократимой дробью в виде 7/(x+4). [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["3/(x-1)","3/(-1+x)","3:(x-1)"]}},"hints":["Разложите: $x^2-1=(x-1)(x+1)$; вторая дробь сокращается на $x+1$.","$\\dfrac{2}{x-1}+\\dfrac{1}{x-1}=\\dfrac{3}{x-1}$.","Ответ: $\\dfrac{3}{x-1}$."],"step":1},{"content":"Решавр сложил $\\dfrac{1}{x^2-4x}+\\dfrac{1}{x^2+4x}$ и получил $\\dfrac{2x^2}{x^2(x^2-16)}$. Так и сдал. Что не так?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет","Верно $0$","Не разложил знаменатели: $x$ взят дважды, ответ сократим, верно $\\dfrac{2}{x^2-16}$","Верно $\\dfrac{2}{x(x^2-16)}$"],"explanations":["Значения совпадают (при $x=5$ оба дают $\\dfrac{2}{9}$), но дробь сократима на $x^2$: ответ не доведен до несократимого вида","Потеряны скобки: $x^2+4x+x^2-4x=2x^2$, а не нуль","","Лишний $x$ оставлен в знаменателе: сократить нужно $x^2$, а не один $x$"],"answer":[2]}},"hints":["Знаменатели: $x^2-4x=x(x-4)$, $x^2+4x=x(x+4)$. Множитель $x$ общий.","Общий знаменатель $x(x-4)(x+4)$, числитель $(x+4)+(x-4)=2x$.","Дробь $\\dfrac{2x}{x(x^2-16)}$ сокращается на $x$. Ответ: $\\dfrac{2}{x^2-16}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Выполните действия: $\\left(\\dfrac{x}{x-2}-\\dfrac{2}{x+2}\\right)\\cdot\\dfrac{x^2-4}{x^2+4}$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$1$","$\\dfrac{x^2+4}{x^2-4}$","$x^2+4$","$\\dfrac{x^2-4}{x^2+4}$"],"explanations":["","Умножение на вторую дробь не выполнено — найдена только скобка","Знаменатель $x^2+4$ второй дроби потерян при умножении: остался только числитель скобки","Скобки при вычитании потеряны: $-2(x-2)$ раскрыто как $-2x-4$"],"answer":[0]}},"hints":["Сначала скобка: общий знаменатель $(x-2)(x+2)$, числитель $x(x+2)-2(x-2)=x^2+4$.","Скобка равна $\\dfrac{x^2+4}{x^2-4}$.","Умножьте на $\\dfrac{x^2-4}{x^2+4}$. Ответ: $1$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Упростить, а потом подставлять

Найдем значение выражения $\left(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+3}\right)\cdot\frac{x^2-9}{x}$ при $x=0{,}37$. Если подставить число сразу, придется делить на $-2{,}63$ и $3{,}37$ и возводить $0{,}37$ в квадрат. Упростим сначала. Скобка: $\frac{x+3+x-3}{(x-3)(x+3)}=\frac{2x}{(x-3)(x+3)}$. Умножение: $\frac{2x}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{(x-3)(x+3)}{x}=2$.

Выражение равно $2$ при любом допустимом $x$, а $x=0{,}37$ допустимо: оно не равно $3$, $-3$ и $0$. Ответ: $2$.

Два пути при x = 0,37: подставить сразу (громоздкая арифметика, штриховка ошибки) и сначала упростить до 2; ответ 2 при любом допустимом x — Подставлять число сразу — долгая арифметика; после упрощения ответ 2 виден без вычислений

Правило

Чтобы найти значение выражения:

1) упростите выражение;

2) проверьте, что число допустимо для исходного выражения: ни один знаменатель, в том числе в скобках, и ни один делитель не обращаются в нуль;

3) подставьте число в упрощенное выражение.

Обратите внимание

Упрощенное выражение может быть определено там, где исходное — нет. В примере 3 ответ $\frac{x}{3}$ имеет смысл при $x=2$, но исходное выражение при $x=2$ не определено: знаменатель $x-2$ равен нулю. В примере 2 запрещено и $x=3$: при нем делитель $\frac{x-3}{6x}$ равен нулю. Допустимые значения находят, как в уроке «Рациональные выражения», по исходной записи.

Вернемся к вопросу урока. Черта дроби означает деление, поэтому многоэтажную дробь упрощают по этажам: сначала числитель и знаменатель, потом деление одного на другое.

Пример 4

Задача. Автомобиль ехал из города в поселок со скоростью $30$ км/ч, а обратно — со скоростью $70$ км/ч. Найдите среднюю скорость на всем пути.

Решение. Средняя скорость — весь путь, деленный на все время: $\dfrac{2S}{\frac{S}{v_1}+\frac{S}{v_2}}$. Упростим в буквах. Нижний этаж: $\frac{S}{v_1}+\frac{S}{v_2}=\frac{S(v_1+v_2)}{v_1v_2}$. Деление:

$$2S:\frac{S(v_1+v_2)}{v_1v_2}=\frac{2S\cdot v_1v_2}{S(v_1+v_2)}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$$

Путь $S$ сократился: средняя скорость от него не зависит. Подставляем: $\frac{2\cdot30\cdot70}{30+70}=\frac{4200}{100}=42$.

Проверка. Пусть $S=210$ км: туда $7$ ч, обратно $3$ ч, всего $420$ км за $10$ ч, $420:10=42$. Совпало.

Ответ: $42$ км/ч, а не $50$.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $\\left(\\dfrac{x}{x-2}-\\dfrac{x}{x+2}\\right)\\cdot\\dfrac{x-2}{x}$ при $x=3$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,8","0.8","4/5"]}},"hints":["Сначала упростите. В скобках: $\\dfrac{x(x+2)-x(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\\dfrac{4x}{x^2-4}$.","Умножьте на $\\dfrac{x-2}{x}$ и сократите: $\\dfrac{4}{x+2}$.","При $x=3$: $\\dfrac{4}{5}=0{,}8$. Ответ: $0{,}8$."],"step":1},{"content":"Упростите: $\\dfrac{\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}}{\\frac{1}{a}-\\frac{1}{b}}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{a+b}{ab}$","$\\dfrac{b-a}{a+b}$","$\\dfrac{a+b}{a-b}$","$\\dfrac{a+b}{b-a}$"],"explanations":["Найден только числитель, деление на знаменатель не выполнено","Перевернут результат: числитель с знаменателем поменялись","Разность дробей посчитана в обратном порядке: $\\dfrac{1}{a}-\\dfrac{1}{b}=\\dfrac{b-a}{ab}$",""],"answer":[3]}},"hints":["Числитель: $\\dfrac{1}{a}+\\dfrac{1}{b}=\\dfrac{a+b}{ab}$, знаменатель: $\\dfrac{1}{a}-\\dfrac{1}{b}=\\dfrac{b-a}{ab}$.","Черта дроби — деление: $\\dfrac{a+b}{ab}\\cdot\\dfrac{ab}{b-a}$.","Ответ: $\\dfrac{a+b}{b-a}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Путь в одну сторону равен $S$ км. Туда ехали со скоростью $v_1$ км/ч, обратно — со скоростью $v_2$ км/ч. Какая формула дает среднюю скорость на всем пути?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{v_1v_2}{v_1+v_2}$","$\\dfrac{v_1+v_2}{2}$","$\\dfrac{2(v_1+v_2)}{v_1v_2}$","$\\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$"],"explanations":["Потерян множитель $2$: путь туда и обратно равен $2S$","Среднее арифметическое скоростей: время в обе стороны разное, поэтому так считать нельзя","Перевернуто: это время на единицу пути, а не скорость",""],"answer":[3]}},"hints":["Средняя скорость — весь путь $2S$, деленный на все время.","Время: $\\dfrac{S}{v_1}+\\dfrac{S}{v_2}=\\dfrac{S(v_1+v_2)}{v_1v_2}$.","Ответ: $\\dfrac{2S}{\\frac{S(v_1+v_2)}{v_1v_2}}=\\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Определите, при каких $x$ определено выражение $\\dfrac{x}{x-1}:\\left(\\dfrac{1}{x}-\\dfrac{1}{x+2}\\right)$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$x\\ne1$ и $x\\ne-2$","$x\\ne1$ и $x\\ne0$","Только $x\\ne1$","$x\\ne1$, $x\\ne0$ и $x\\ne-2$"],"explanations":["Не учтен знаменатель $x$ внутри скобки","Не учтен знаменатель $x+2$ внутри скобки","Запреты от знаменателей внутри скобки потеряны: нельзя $x=0$ и $x=-2$",""],"answer":[3]}},"hints":["Знаменатели: $x-1\\ne0$, $x\\ne0$, $x+2\\ne0$. Делитель не должен быть нулем.","$\\dfrac{1}{x}-\\dfrac{1}{x+2}=\\dfrac{2}{x(x+2)}$ — нулю не равно ни при каких $x$.","Ответ: $x\\ne1$, $x\\ne0$, $x\\ne-2$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Самопроверка: два числа вместо одного

Решавр упростил выражение $\frac{4}{y}-\frac{y-4}{y}\cdot\frac{y}{2}$ и получил $\frac{8-y}{2}$. Проверим подстановкой. При $y=2$: $2-\left(-1\right)\cdot1=3$ и $\frac{8-2}{2}=3$. Совпало. Но возьмем $y=1$: $4-(-3)\cdot\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$, а $\frac{8-1}{2}=\frac{7}{2}$. Не совпало — ошибка есть.

Где она? Решавр сначала вычел, а потом умножил, как будто первые две дроби стоят в скобках. Верно — сначала умножение: $\frac{y-4}{y}\cdot\frac{y}{2}=\frac{y-4}{2}$, затем вычитание: $\frac{4}{y}-\frac{y-4}{2}=\frac{8+4y-y^2}{2y}$. При $y=1$ это $\frac{11}{2}$, при $y=2$ — $3$.

Таблица 2 × 2: при y = 2 исходное выражение и ответ (8 − y)/2 оба равны 3 (совпало случайно); при y = 1 получаются 11/2 и 7/2, не равны, ответ неверен — При y = 2 неверный ответ совпал с выражением случайно; число y = 1 ошибку поймало

Правило

Чтобы проверить преобразование, подставьте в исходное выражение и в ответ два разных допустимых числа.

Не совпало хотя бы при одном — в преобразовании точно есть ошибка.

Совпало при обоих — ответ, скорее всего, верен. Это проверка, а не доказательство: доказывать равенство выражений будем в уроке «Тождества и их доказательство».

{"questions":[{"content":"Решавр преобразовал выражение так: $\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{x}\\cdot\\dfrac{x}{2}=\\dfrac{2}{x}\\cdot\\dfrac{x}{2}=1$. Найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: при $x=2$ получается $1$","Верно $\\dfrac{x+1}{2x}$","Верно $\\dfrac{2}{x}$","Сложение выполнено раньше умножения: верно $\\dfrac{x+2}{2x}$"],"explanations":["Равенство случайно верно при $x=2$; при $x=1$ слева $\\dfrac{3}{2}$, справа $1$","Второе слагаемое $\\dfrac{1}{2}$ приведено к знаменателю $2x$ без умножения числителя на $x$","Умножение нельзя отбрасывать: $\\dfrac{1}{x}\\cdot\\dfrac{x}{2}=\\dfrac{1}{2}$",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте при $x=1$: слева $1+\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{3}{2}$, справа $1$.","Умножение выполняют раньше сложения: $\\dfrac{1}{x}\\cdot\\dfrac{x}{2}=\\dfrac{1}{2}$.","Верно: $\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{x+2}{2x}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Упрощение выражения с дробями — это несколько знакомых действий, выполненных в верном порядке. Дерево действий подсказывает, какую сетку строить первой, разложение знаменателей — из каких полос она собрана. Число подставляют в конце, а ответ проверяют двумя числами. Так решаются задания «упростите и найдите значение» и задачи на среднюю скорость и совместную работу.

Ситуация	Что делаем	Как это выглядит в модели
Несколько действий	Строим дерево, идем снизу вверх	Сначала сетки нижних этажей, потом счет долей
Скобки	Сворачиваем скобку в одну дробь	Скобка — нижний этаж дерева
Знаменатели-многочлены	Раскладываем все сразу	Видно, из каких полос собрана общая сетка
Нужно значение	Упрощаем, проверяем допустимость, подставляем	Число подставляем в готовую дробь
Проверка	Подставляем два числа	Одно число может совпасть случайно

Часто задаваемые вопросы

Обязательно ли рисовать дерево действий?

Нет. Дерево нужно, пока порядок действий не очевиден. Достаточно перед решением пронумеровать действия над знаками, как в числовых выражениях. Когда это станет привычкой, дерево можно держать в голове.

Можно ли раскрыть скобку, не сворачивая ее в дробь?

Можно, если скобку умножают: по распределительному закону каждое слагаемое умножают отдельно, и иногда так короче. Если на скобку делят, ее сначала сворачивают в одну дробь, потом переворачивают.

Зачем раскладывать числители, если складываем только знаменатели?

Разложенный числитель показывает, что сократится при следующем умножении или делении. В примере 3 числитель $x-2$ после вычитания сократился со знаменателем. Без разложения сокращение легко пропустить, и ответ не будет несократимым.

Что делать, если проверка не совпала, а ошибку найти не удается?

Проверяйте по этажам дерева: подставьте то же число в результат каждого действия. Первый этаж, где числа разошлись, и есть место ошибки. Чаще всего это потерянные скобки при вычитании или нарушенный порядок действий.

Почему средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей?

Потому что с меньшей скоростью едут дольше. В примере 4 на путь со скоростью $30$ км/ч ушло $7$ ч, а со скоростью $70$ км/ч — $3$ ч. Медленный участок весит больше, и средняя скорость $42$ км/ч ближе к $30$, чем к $70$.

Награды за урок