6 класс Математика Дроби и проценты Дроби

Задачи на проценты: скидки, налоги, вклады

Содержание

В уроке «Три основные задачи на проценты» вы находили процент от числа и число по его проценту. Теперь применим это к ценам и деньгам: скидка, наценка, налог, вклад в банке. Задачи о ценах решаются на одной модели — полоске из 100 клеток, а вклад растет по ней ступеньками год за годом.

Вопрос, к которому мы вернемся в третьем разделе: куртка подорожала на 20%, а потом подешевела на 20%. Вернулась ли цена к прежней?

Скидка стирает часть полоски

Куртка стоит 1 200 рублей, на нее скидка 25%. Нарисуем цену полоской из 100 клеток: вся полоска — это 1 200 рублей, то есть 100%. Одна клетка — 1% цены: $1200 : 100 = 12$ рублей.

Скидка 25% стирает 25 клеток: $12 \cdot 25 = 300$ рублей. Остаются 75 клеток — это и есть новая цена: $12 \cdot 75 = 900$ рублей.

Скидка 25% с цены 1 200 рублей: стерты 25 клеток из 100, остаются 75% = 900 рублей, множитель 0,75 — Скидка 25% стирает 25 клеток из 100: остается 75% цены, 900 рублей

Заметьте: новую цену можно найти сразу, не вычисляя скидку. После скидки остается $100\%-25\% = 75\%$ цены, а 75% — это $0{,}75$. Значит, достаточно умножить: $1200 \cdot 0{,}75 = 900$. Число $0{,}75 = 1-0{,}25$ назовем множителем: на него умножают старую цену, чтобы получить новую.

Правило

Скидка — уменьшение цены на несколько процентов от первоначальной цены. Чтобы найти цену после скидки на $p\%$, умножьте старую цену на множитель $1-\dfrac{p}{100}$.

$$\text{новая цена} = \text{старая цена} \cdot \left(1-\dfrac{p}{100}\right)$$

Пример 1

Цена снизилась с 1 200 до 900 рублей. На сколько процентов снизили цену?

Решение. Цена уменьшилась на $1200-900 = 300$ рублей. Узнаем, какую часть это составляет от прежней цены: $300 : 1200 \cdot 100\% = 25\%$. Делим именно на 1 200: проценты скидки всегда считают от цены до скидки.

Ответ: на 25%.

{"questions":[{"content":"Цена товара — 800 рублей. На него действует скидка 15%. Сколько рублей стоит товар со скидкой? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"680"}},"hints":["Скидка — 15% от цены: найдите ее в рублях.","$800\\cdot 15 : 100 = 120$ — скидка в рублях.","$800-120 = 680$. Ответ: 680."],"step":1},{"content":"Книга стоила 600 рублей, а теперь стоит 480 рублей. На сколько процентов снизили цену? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Сначала найдите, на сколько рублей снизили цену.","$600-480 = 120$ рублей. Теперь найдите, сколько процентов это составляет от прежней цены 600.","$120 : 600\\cdot 100 = 20$. Ответ: 20."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Наценка и налог дорисовывают клетки справа

Магазин купил рюкзак за 1 500 рублей и продает его с наценкой 20%. Наценка — увеличение цены на несколько процентов от первоначальной цены. Снова рисуем 100 клеток, одна клетка — $1500 : 100 = 15$ рублей. Наценка 20% дорисовывает справа еще 20 клеток: $15 \cdot 20 = 300$ рублей.

Теперь в полоске 120 клеток, то есть 120% старой цены: $15 \cdot 120 = 1800$ рублей. Множитель равен $1{,}2 = 1+0{,}2$.

Наценка 20% на 1 500 рублей: к 100 клеткам добавлены 20, получилось 120% = 1 800 рублей, множитель 1,2 — Наценка 20% дорисовывает 20 клеток: стало 120% старой цены, 1 800 рублей

Правило

Чтобы найти цену после наценки или налога в $p\%$, умножьте старую цену на множитель $1+\dfrac{p}{100}$.

$$\text{новая цена} = \text{старая цена} \cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)$$

Так же считают налог, который добавляют к цене. В России к цене многих товаров добавляется налог на добавленную стоимость (НДС) — процент от цены без налога. Основная ставка НДС — 22%.

Пример 2

Цена планшета без НДС — 3 000 рублей. Сколько он стоит с НДС 22%?

Решение. Одна клетка — $3000 : 100 = 30$ рублей. Налог — 22 клетки: $30 \cdot 22 = 660$ рублей. Цена с налогом: $3000+660 = 3660$ рублей. Тот же ответ через множитель: $3000 \cdot 1{,}22 = 3660$.

Ответ: 3 660 рублей.

{"questions":[{"content":"Товар без налога стоит 500 рублей. К цене добавляют налог 20%. Сколько рублей стоит товар с налогом? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"600"}},"hints":["Налог — 20% от цены без налога.","$500\\cdot 20 : 100 = 100$ — налог в рублях.","$500+100 = 600$. Ответ: 600."],"step":1},{"content":"Цена товара выросла на 15%. На какое число нужно умножить старую цену, чтобы получить новую?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0{,}85$","$0{,}15$","$1{,}15$","$15$"],"explanations":["Знак изменения перепутан: рост и снижение — разные действия","Это сама доля, но не вся новая цена: нужно учесть и остаток от старой","","Процент не переведен в долю: делить на 100 нужно"],"answer":[2]}},"hints":["Старая цена — это 100% или единица.","Цена выросла, значит к 1 прибавляем 0,15.","Множитель равен $1{,}15$."],"step":1}],"mix":1}

Второй процент берут от новой полоски

Вернемся к куртке. Удобно взять цену 100 рублей: тогда одна клетка — 1 рубль. После повышения на 20% полоска стала длиной 120 клеток, цена — 120 рублей.

Теперь снижаем на 20%. Но 20% чего? Цену 120 рублей магазин снова делит на 100 равных частей — каждая по $1{,}2$ рубля. Стираем 20 таких частей: $1{,}2 \cdot 20 = 24$ рубля. Остается $120-24 = 96$ рублей.

Наценка 20% и скидка 20%: цена 100 рублей стала 120, а после скидки 20% от 120 стала 96 рублей, не хватает 4 рублей — Прибавили 20 рублей, а убрали 24: цена стала 96 рублей, а не 100

Ошибка

Как ошибаются. «Цену повысили на 20%, потом снизили на 20% — сколько прибавили, столько и убрали. Цена прежняя».

Проверка на числах. $100 \to 120 \to 96$. Прибавили 20 рублей, убрали 24 рубля. Цена не вернулась.

Где ломается рассуждение. Два раза сказано «20%», но это 20% от разных целых: сначала от 100 рублей, потом от 120. Проценты — не рубли: одинаковый процент от большей суммы дает больше рублей.

Через множители это видно сразу: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$. После двух изменений цена составляет 96% первоначальной, то есть снизилась на 4%. Если сначала снизить, а потом повысить, результат тот же: $0{,}8 \cdot 1{,}2 = 0{,}96$.

Пример 3

Куртка стоила 5 000 рублей. Цену повысили на 20%, а через месяц снизили на 20%. Сколько стоит куртка теперь?

Решение. После повышения: $5000 \cdot 1{,}2 = 6000$ рублей. Снижение на 20% считаем от 6 000: $6000 \cdot 0{,}8 = 4800$ рублей.

Ответ: 4 800 рублей — на 200 рублей дешевле, чем было. Так мы ответили на вопрос из начала урока: цена не вернулась.

{"questions":[{"content":"Цену товара повысили на 10%, а потом снизили на 10%. Товар стоил 100 рублей. Сколько он стал стоить теперь?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$100$","$90$","$99$","$110$"],"explanations":["Считают, что цена вернулась: но проценты берутся от разных цен","Учли только снижение, повышение пропущено","","Учли только повышение, снижение не выполнено"],"answer":[2]}},"hints":["Найдите цену после повышения.","После повышения: $110$ рублей.","Снижение: $110\\cdot 0{,}1 = 11$. Новая цена в рублях: $110-11 = 99$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите ошибку. Иксератопс сказал: «Цену 400 рублей повысили на 25%, потом снизили на 25%. Цена осталась прежней». Что на самом деле?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Цена стала равна 600: изменения сложились","Цена стала равна 375: проценты считались от разных сумм","Цена осталась равна 400: сколько прибавили, столько и убрали","Цена стала равна 500: снижение ничего не меняет"],"explanations":["Снижение не прибавляется, а вычитается","","Прибавили и убрали разные суммы в рублях: проценты считаются от разных цен","Снижение тоже меняет цену"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте, от какой суммы считается каждые 25%.","После повышения цена $500$ рублей, и 25% берется уже от нее.","Итоговая цена $375$ рублей — это не 400."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Простые проценты: каждый год одинаковая прибавка

Банк платит вкладчику доход за то, что деньги лежат на вкладе. Пишут: «5% годовых» — значит, за год доход составит 5% от суммы. Положим в банк 20 000 рублей под 5% годовых на 3 года. В задачах этого урока проценты начисляют один раз в год.

Пусть проценты каждый год считают от тех 20 000 рублей, которые положили сначала. Тогда доход за год один и тот же: $20000 \cdot 0{,}05 = 1000$ рублей. Полоска вклада каждый год прирастает на одинаковую ступеньку.

Простые проценты: 20 000 рублей под 5% годовых, каждый год добавляется одна и та же ступенька 1 000: 21 000, 22 000, 23 000 — Простые проценты: каждый год прибавляется одна и та же ступенька — 1 000 рублей

Определение

Простые проценты — проценты, которые каждый год начисляют на первоначальную сумму вклада. Доход за $n$ лет в $n$ раз больше дохода за один год.

Год	Доход за год	На вкладе в конце года
1	1 000	21 000
2	1 000	22 000
3	1 000	23 000

{"questions":[{"content":"Вкладчик положил в банк 4000 рублей под 5% годовых. Проценты начисляются каждый год только на первоначальную сумму. Сколько рублей будет на вкладе через 3 года? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4600"}},"hints":["Доход за один год — 5% от 4000.","$4000\\cdot 5 : 100 = 200$ рублей в год; за 3 — $600$ рублей.","$4000+600 = 4600$. Ответ: 4600."],"step":1}],"mix":1}

Сложные проценты: процент начисляют и на прошлый доход

Рассмотрим другой способ: банк ежегодно добавляет доход к вкладу, и на следующий год процент считает уже от всей суммы. Возьмем вклад 20 000 рублей под 5% (в модели ниже вклад — 10 000 рублей).

Первый год: $20000 \cdot 1{,}05 = 21000$ рублей — как у простых процентов. Второй год: теперь целое — 21 000, новая полоска из 100 клеток по 210 рублей. Доход — 5 клеток: $210 \cdot 5 = 1050$ рублей. На вкладе $21000 \cdot 1{,}05 = 22050$ рублей. Лишние 50 рублей — это 5% от дохода первого года: процент «на процент».

Определение

Сложные проценты — проценты, которые в каждом периоде начисляют на всю сумму вклада вместе с доходом прошлых периодов. В задачах этого урока период — один год; каждый год сумму умножают на один и тот же множитель $1+\dfrac{p}{100}$.

Простые проценты за 2 года дают 22 000, сложные — 22 050: вторая ступенька выше на 50, потому что 5% берут от большей суммы — Сложные проценты: каждая следующая ступенька выше прошлой, потому что процент берут от большей суммы

Год	Простые проценты	Сложные проценты	Разница
1	21 000	21 000	0
2	22 000	22 050	50
3	23 000	23 152,5	152,5

Ошибка

Как ошибаются. «Два года по 5% — это 10%. Вклад вырастет на 2 000 рублей, будет 22 000».

Проверка на числах. По годам: $20000 \to 21000 \to 22050$. Вклад вырос на 2 050 рублей, а не на 2 000.

Где ломается рассуждение. Как и со скидкой после наценки, 5% второго года берут от другого целого — от 21 000, а не от 20 000. Складывать проценты разных лет можно только для простых процентов.

Разница между простыми и сложными процентами в первые годы мала, но с каждым годом растет. Проверьте это сами: меняйте процент и срок. Сравните суммы при простых и сложных процентах и наблюдайте, как меняется разница.

m4-skidki-nalogi-vklady-vklad

Как быстро найти сложные проценты за несколько лет

Скрыть

Каждый год сумма умножается на один и тот же множитель. За 3 года под 5%: $20000 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 = 23152{,}5$ рубля. Удобно умножать по шагам, год за годом, как в таблице: так меньше ошибок.

{"questions":[{"content":"Вкладчик положил в банк 2000 рублей под 5% годовых. Каждый год проценты начисляются на всю сумму, которая лежит на вкладе. Сколько рублей будет на вкладе через 2 года? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2205"}},"hints":["За первый год вклад вырастет на 5%.","Через год: $2000\\cdot 105 : 100 = 2100$ рублей. За второй год 5% берется уже от этой суммы.","Через два года: $2100\\cdot 105 : 100 = 2205$. Ответ: 2205."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вклад 5000 рублей лежит 2 года под 20% годовых. На сколько рублей сложные проценты дают больше простых?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2000$","$1000$","$0$","$200$"],"explanations":["Это доход по простым процентам за два года, а не разность","Это доход за один год, а нужна разность за два года","Простые и сложные проценты за 2 года не равны: во второй год проценты начисляются и на уже начисленные проценты",""],"answer":[3]}},"hints":["Простые проценты: 20% каждый год от 5000: 7000 рублей через 2 года.","Сложные: $5000\\cdot 120 : 100\\cdot 120 : 100 = 7200$ рублей.","Разность $7200-7000 = 200$ рублей."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите ошибку. Иксератопс сказал: «Вклад 3000 рублей лежит 2 года под 10% годовых, проценты сложные. За два года по 10% вклад вырастет на 20%, будет 3600 рублей». Что на самом деле?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Будет 3600 рублей: два раза по 10% дают 20%","Будет 3300 рублей: во второй год проценты не начисляют","Будет 3630 рублей: во второй год 10% считают от 3300","Будет 3330 рублей: во второй год 10% считают от 300"],"explanations":["Так считают простые проценты; при сложных во второй год процент берут и с уже начисленных денег","Проценты начисляют каждый год, а не только в первый","","Во второй год процент берут от всей суммы на вкладе, а не только от дохода первого года"],"answer":[2]}},"hints":["Сложные проценты второго года считают от суммы, которая уже лежит на вкладе.","Через год: $3000\\cdot 110 : 100 = 3300$ рублей.","Через два года: $3300\\cdot 110 : 100 = 3630$ рублей, а не 3600."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Где выгоднее и сколько стоило до скидки

В жизни часто сравнивают два предложения. Больший процент скидки еще не значит меньшую цену: процент берется от разных цен.

Пример 4

В магазине А цена наушников до скидки — 2 400 рублей; на нее действует скидка 25%. В магазине Б цена до скидки — 2 000 рублей; скидка 12%. Где покупатель заплатит меньше и на сколько?

Решение. Магазин А: $2400 \cdot 0{,}75 = 1800$ рублей. Магазин Б: $2000 \cdot 0{,}88 = 1760$ рублей. $1800-1760 = 40$.

Ответ: в магазине Б дешевле на 40 рублей, хотя скидка там меньше.

Бывает и обратная задача: известна цена со скидкой, нужна прежняя. Тут полоска особенно помогает. После скидки 25% куртка стоит 4 500 рублей. Это оставшиеся 75 клеток прежней полоски. Одна клетка — $4500 : 75 = 60$ рублей, вся полоска — $60 \cdot 100 = 6000$ рублей. Короче: $4500 : 0{,}75 = 6000$.

Цена после скидки 25% — 4 500 рублей, это 75 клеток; одна клетка 60 рублей, прежняя цена — все 100 клеток, 6 000 рублей — 4 500 рублей — это 75 клеток; прежняя цена — все 100 клеток, 6 000 рублей

Важно

Прежнюю цену нельзя найти, прибавив 25% к 4 500: $4500 \cdot 1{,}25 = 5625$, а не 6 000. Скидку считали от прежней цены, а 25% от 4 500 — это проценты от другого целого.

{"questions":[{"content":"После скидки 20% товар стал стоить 640 рублей. Сколько рублей он стоил до скидки?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$512$","$800$","$660$","$768$"],"explanations":["Вычли скидку еще раз из новой цены","","Прибавили проценты как рубли","Прибавили 20% к новой цене, но 20% считаются от прежней цены"],"answer":[1]}},"hints":["Новая цена — это 80% прежней.","Прежняя цена: $640\\cdot 100 : 80$.","$640\\cdot 100 : 80 = 800$ рублей."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В магазине А товар стоит 2000 рублей, и на него скидка 15%. В магазине Б тот же товар стоит 1650 рублей без скидки. На сколько рублей товар дешевле в более выгодном магазине? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Найдите цену в магазине А со скидкой 15%.","$2000\\cdot 85 : 100 = 1700$ рублей в магазине А.","Сравниваем с 1650 рублями: разность $1700-1650 = 50$. Ответ: 50."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Скидки, наценки, налоги и вклады встречаются в каждом чеке и в каждой рекламе банка. Все такие задачи сводятся к одному вопросу: от какого целого считается процент? Нарисуйте полоску из 100 клеток для этого целого — и действие станет видно.

Часто задаваемые вопросы

Почему скидку 20% и наценку 20% нельзя просто сократить?

Потому что это проценты от разных сумм. Наценку считают от старой цены, а скидку — от уже повышенной, большей цены. Поэтому скидка в рублях больше наценки, и цена становится ниже первоначальной.

Что выгоднее для вкладчика — простые или сложные проценты?

При одинаковой ставке и сроке от двух лет выгоднее сложные: доход каждого года сам начинает приносить доход. За один год разницы нет, потому что процент считают от одной и той же суммы.

Как понять, от какого числа считать процент?

Для скидки берите цену до скидки; для добавляемого налога — цену без налога. При простых процентах база каждый год одна — первоначальный вклад. При сложных процентах с ежегодным начислением база — сумма в начале очередного года вместе с прошлым доходом.

Может ли наценка быть больше 100%?

Может: наценка 150% значит, что к цене прибавили еще полторы таких цены, и множитель равен $2{,}5$. Полоску при этом рисовать неудобно — она становится слишком длинной, поэтому удобнее сразу умножать на множитель.

Награды за урок