6 класс Математика Дроби и проценты Дроби

Обыкновенные и десятичные дроби. Периодические дроби

Содержание

В уроке «Действия с десятичными дробями» вы делили десятичные дроби уголком. Теперь научимся переводить обыкновенную дробь в десятичную и обратно и разберемся, почему у некоторых дробей десятичная запись не кончается никогда. Калькулятор на $1 : 3$ показывает 0,3333333 — это конец числа или только конец экрана? Ответ — в разделе о периоде.

Знаменатель можно довести до 10 или 100

Отметим на линейке дробь $\dfrac{3}{5}$. Отрезок от 0 до 1 разделим на 5 равных частей — получится знакомая полоска из уроков об обыкновенных дробях. Но на линейке тот же отрезок уже разделен на 10 делений-десятых. Каждая пятая часть занимает ровно два деления, поэтому три пятых — это шесть десятых.

Три из пяти частей полоски заканчиваются в точке 0,6 на линейке — Три пятых полоски и шесть десятых линейки заканчиваются в одной точке: $\dfrac{3}{5} = 0{,}6$

То же самое на языке дробей: умножим числитель и знаменатель на 2. По основному свойству дроби значение не изменится, а знаменатель станет равен 10.

Правило

Если знаменатель — делитель числа 10, 100 или 1000, умножьте числитель и знаменатель на одно и то же число так, чтобы в знаменателе получилось 10, 100 или 1000. Сколько нулей в знаменателе, столько цифр после запятой.

$$\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\cdot 2}{5\cdot 2}=\dfrac{6}{10}=0{,}6$$

Еще два случая: $\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot 25}{4\cdot 25}=\dfrac{75}{100}=0{,}75$ и $\dfrac{11}{25}=\dfrac{11\cdot 4}{25\cdot 4}=\dfrac{44}{100}=0{,}44$. Множитель подбирают так: $100 : 4 = 25$, $100 : 25 = 4$.

{"questions":[{"content":"Запишите дробь $\\dfrac{7}{20}$ в виде десятичной. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,35","0.35"]}},"hints":["Доведите знаменатель до 100: умножьте числитель и знаменатель на 5.","$\\dfrac{7}{20} = \\dfrac{35}{100} = 0{,}35$.","Ответ: 0,35."],"step":1}],"mix":1}

Черта дроби означает деление

Для $\dfrac{3}{8}$ множитель угадать труднее: 10 и 100 на 8 не делятся, из 10, 100 и 1000 подходит только 1000, и множитель 125 сразу не виден. А для $\dfrac{1}{3}$ подходящего числа нет вовсе. Но подбирать множитель не обязательно. Черта дроби означает деление: $\dfrac{3}{8} = 3 : 8$. Делим уголком, а каждый остаток рассматриваем «под лупой»: дописываем к нему нуль и переходим к делениям линейки в 10 раз мельче.

$3 : 8$ — целых 0, остаток 3 целых;
3 целых = 30 десятых, $30 : 8 = 3$ десятых, остаток 6 десятых;
6 десятых = 60 сотых, $60 : 8 = 7$ сотых, остаток 4 сотых;
4 сотых = 40 тысячных, $40 : 8 = 5$ тысячных, остаток 0.

Деление: 30 минус 24 равно 6; 60 минус 56 равно 4; 40 минус 40 равно 0 — Каждый остаток с дописанным нулем — следующий разряд; остаток 0 — запись закончена: $\dfrac{3}{8} = 0{,}375$

Алгоритм

Выполните деление числителя на знаменатель с остатком. Неполное частное запишите как целую часть. Если остаток 0, закончите.
Поставьте в частном запятую один раз.
Умножьте остаток на 10, разделите на знаменатель с остатком и допишите одну цифру частного.
Повторяйте шаг 3. При остатке 0 запись закончена. Если ненулевой остаток встретился повторно, следующие цифры будут повторять уже полученную группу. Этот случай разберем в разделе о периоде.

Пример

Запишем $\dfrac{9}{16}$ в виде десятичной дроби.

$9 : 16 = 0$, остаток 9. Дальше: $90 : 16 = 5$, остаток 10; $100 : 16 = 6$, остаток 4; $40 : 16 = 2$, остаток 8; $80 : 16 = 5$, остаток 0.

Проверка: $0{,}5625 \cdot 16 = 9$.

Ответ: $\dfrac{9}{16} = 0{,}5625$.

Обратите внимание

Делят числитель на знаменатель, а не наоборот. Дробь $\dfrac{9}{16}$ меньше единицы, а $16 : 9$ больше единицы — такой ответ сразу виден как неверный.

{"questions":[{"content":"Запишите дробь $\\dfrac{5}{8}$ в виде десятичной. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,625","0.625"]}},"hints":["Черта дроби означает деление: $5 : 8$.","Делим уголком, дописывая нули в делимом, пока остаток не станет 0.","Ответ: 0,625."],"step":1},{"content":"Поставьте знак: $\\dfrac{3}{20}$ [[fill_choice-1]] $0{,}2$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$>$","$=$","$<$"],"answer":2}},"instruction":"Выберите знак","hints":["Переведите дробь в десятичную: $\\dfrac{3}{20} = 0{,}15$.","Сравните разряды слева направо: $0{,}15$ и $0{,}2$.","Ответ: знак $<$."],"step":1}],"mix":1}

Обратный путь: прочитать дробь и сократить

Десятичная дробь уже содержит обыкновенную — ее нужно только прочитать. $0{,}36$ читается «36 сотых», то есть $\dfrac{36}{100}$. Числитель и знаменатель делятся на 4, поэтому дробь можно сократить:

В обеих сетках закрашен квадрат 6 на 6: 36 клеток образуют девять блоков 2 на 2 — 36 закрашенных клеток из 100 — это 9 больших квадратов из 25: $0{,}36 = \dfrac{9}{25}$

Правило

Чтобы записать десятичную дробь в виде обыкновенной, запишите в числителе число, стоящее после запятой, а в знаменателе — единицу и столько нулей, сколько цифр после запятой. Затем сократите дробь. Целая часть остается целой частью смешанного числа.

Пример

Запишем $2{,}125$ в виде смешанного числа.

После запятой три цифры, значит, знаменатель 1000: $2{,}125 = 2\dfrac{125}{1000}$. Числитель и знаменатель делятся на 125: $2\dfrac{125}{1000} = 2\dfrac{1}{8}$.

Проверка по предыдущему разделу: $1 : 8 = 0{,}125$.

Ответ: $2{,}125 = 2\dfrac{1}{8}$.

Нули сразу после запятой тоже считаются: $0{,}04$ — это 4 сотых, $\dfrac{4}{100}=\dfrac{1}{25}$, а не $\dfrac{4}{10}$.

{"questions":[{"content":"Запишите десятичную дробь $0{,}45$ в виде несократимой обыкновенной дроби (через косую черту, например 3/4). [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9/20"}},"hints":["Запишите дробь со знаменателем из единицы и нулей: $\\dfrac{45}{100}$.","Сократите на общий делитель: $\\dfrac{9}{20}$.","Ответ: 9/20."],"step":1}],"mix":1}

Когда деление не кончается

Разделим 1 на 3. Целых 0, остаток 1. Одна целая — это 10 десятых: $10 : 3 = 3$, остаток 1. Одна десятая — это 10 сотых: $10 : 3 = 3$, остаток снова 1. Мы оказались в том же положении, что и шагом раньше. Лупа увеличила деления в 10 раз, а под ней та же картина, поэтому следующий шаг будет таким же, и следующий тоже: $0{,}3333\ldots$

Так бывает и не с первого знака. Для $\dfrac{5}{6}$: $50 : 6 = 8$, остаток 2; $20 : 6 = 3$, остаток 2; остаток 2 повторился — значит, цифра 3 будет повторяться: $0{,}8333\ldots$

Определение

Бесконечная десятичная дробь, в которой с какого-то места повторяется одна и та же группа цифр, называется периодической дробью. Наименьшая повторяющаяся группа цифр — период, ее записывают один раз в круглых скобках. Например, в $0{,}363636\ldots$ период — 36, его длина 2. Для дробей выше получаем:

Почему повтор обязательно наступит? Остаток всегда меньше делителя. При делении на 7 остаток может быть только 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Если появился 0 — деление закончилось. Если нет, то разных ненулевых остатков всего шесть, и не позже седьмого шага какой-то из них встретится второй раз. Для $\dfrac{1}{7}$ остатки идут так: 1, 3, 2, 6, 4, 5 — и снова 1.

Остатки 1, 3, 2, 6, 4, 5 возвращаются к 1; цифры 1, 4, 2, 8, 5, 7 повторяются — Остаток 1 вернулся — цифры 142857 пойдут по кругу снова: $\dfrac{1}{7} = 0{,}(142857)$

Период помогает найти любую цифру записи. В $0{,}(142857)$ цифры повторяются каждые 6 мест, поэтому на 7-м и на 13-м месте после запятой стоит та же цифра, что и на 1-м, — цифра 1.

Ошибка

Как ошибаются. Иксератопс разделил 1 на 3, получил первую цифру и записал $\dfrac{1}{3}=0{,}3$.

Проверка на числах. Если $\dfrac{1}{3}=0{,}3$, то три части по $0{,}3$ дают единицу. Но $0{,}3 \cdot 3 = 0{,}9$ — до единицы не хватает $0{,}1$. Запись $0{,}33$ тоже неверна: $0{,}33 \cdot 3 = 0{,}99$.

Где ломается рассуждение. Деление остановили, когда остаток был 1, а не 0. Пока остаток не нуль, запись не закончена; если остаток повторился, цифры повторяются. Верно: $\dfrac{1}{3}=0{,}(3)$.

Три трети закрывают единицу; три отрезка по 0,3 оставляют незакрытую часть 0,1 — Три отрезка по 0,3 не закрывают единицу: $0{,}3 \cdot 3 = 0{,}9$, поэтому $\dfrac{1}{3} \ne 0{,}3$

Теперь понятно, что показывает калькулятор. В нашем примере экран показывает семь цифр после запятой, а остаток при делении 1 на 3 никогда не становится нулем. Число 0,3333333 — только приближенное значение, обрезанное по ширине экрана. Точная запись — $0{,}(3)$.

Проверьте на разных дробях. Двигайте ползунки числителя и знаменателя: прибор показывает дробь, целую часть, остатки $r_0, r_1, \ldots, r_{19}$ и 19 цифр после запятой. Если появился остаток 0, запись конечная. Если остаток повторился, запись периодическая, и прибор называет длину периода и число цифр между запятой и периодом. Найдите дробь с периодом из двух цифр и дробь, у которой период начинается не сразу после запятой.

w2-m6-3-5-104-cikl-ostatkov

{"questions":[{"content":"Как записывается дробь $\\dfrac{2}{3}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0{,}6$","$0{,}66$","$0{,}(6)$","$0{,}67$"],"explanations":["Период потерян: записан обрыв на первой цифре","Обрыв на двух цифрах: период снова потерян","","Округлили и поставили «=»: $0{,}67 \\cdot 3 = 2{,}01 \\ne 2$, это приближенное значение"],"answer":[2]}},"hints":["Делим 2 на 3: остатки начинают повторяться.","Повторяющаяся группа цифр — период, его пишут в скобках.","Ответ: 0,(6)."],"step":1},{"content":"Запишите дробь $\\dfrac{7}{12}$ в виде десятичной; период напишите в круглых скобках. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,58(3)","0.58(3)"]}},"hints":["Делим 7 на 12, записывая остатки.","Остаток повторился — с этого места повторяются и цифры частного.","Ответ: 0,58(3)."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Иксератопс записал: $\\dfrac{8}{9} = 0{,}88$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Достаточно оставить три цифры вместо двух","Остаток повторяется, поэтому нужна запись с периодом","Нужно поменять числитель и знаменатель местами","Можно отбросить остаток после второго деления"],"explanations":["$0{,}888 \\cdot 9 = 7{,}992$, а не 8: это тоже конечный обрывок.","","$9 : 8 = 1{,}125 > 1$, но $\\dfrac{8}{9} < 1$.","$0{,}88 \\cdot 9 = 7{,}92$, а не 8: ненулевой остаток нельзя отбросить в точном равенстве."],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте запись обратным действием: произведение десятичной дроби и знаменателя должно равняться числителю.","$0{,}88 \\cdot 9 = 7{,}92 \\ne 8$. При делении остаток 8 повторяется.","Ответ: потерян период; $\\dfrac{8}{9} = 0{,}(8)$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Дробь $\\dfrac{2}{7}$ записали в виде десятичной. Какая цифра стоит на 15-м месте после запятой? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Запишите период: 0,(285714), его длина 6.","Найдите остаток от деления 15 на 6: 3.","Цифра на этом месте периода (при остатке 0 — последняя): 5. Ответ: 5."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Знаменатель заранее подсказывает ответ

Почему $\dfrac{3}{8}$ кончается, а $\dfrac{1}{3}$ — нет? Конечная десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. А эти числа раскладываются только на двойки и пятерки: $10 = 2 \cdot 5$, $100 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$.

Знаменатель $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ можно дополнить тремя пятерками: $8 \cdot 125 = 1000$. Знаменатель 3 не дополнить никак: ни 10, ни 100, ни 1000 на 3 не делятся.

На линейке это значит: $\dfrac{3}{8}$ попадает точно на деление-тысячную, а $\dfrac{1}{3}$ не попадает ни на одно деление, сколько ни мельчи шкалу лупой (как и в уроке 3.1).

Знаменатель несократимой дроби: восьмерку можно дополнить до тысячи, множитель три мешает — Из двоек и пятерок можно собрать 1000; лишний множитель 3 не дает получить 10, 100, 1000

Правило

Несократимая дробь записывается конечной десятичной дробью, если в разложении ее знаменателя на простые множители есть только 2 и 5. Если есть другой простой множитель, дробь записывается периодической дробью.

Важно

Сначала сократите дробь. У $\dfrac{21}{28}$ знаменатель $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$, но $\dfrac{21}{28} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$ — запись конечная, потому что множитель 7 сократился.

Пример

Какая из дробей $\dfrac{9}{40}$ и $\dfrac{7}{30}$ записывается конечной десятичной дробью?

Обе дроби несократимы. $40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ — только двойки и пятерки, запись конечная: $\dfrac{9}{40}=\dfrac{225}{1000}=0{,}225$.

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ — есть множитель 3, запись периодическая. Проверим делением: $70 : 30 = 2$, остаток 10; $100 : 30 = 3$, остаток 10 — остаток повторился.

Ответ: конечная — $\dfrac{9}{40}$; $\dfrac{7}{30} = 0{,}2(3)$.

{"questions":[{"content":"Какая из дробей записывается конечной десятичной дробью?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{5}{12}$","$\\dfrac{9}{12}$","$\\dfrac{4}{15}$","$\\dfrac{7}{18}$"],"explanations":["$\\dfrac{5}{12}$ несократима, $12 = 2 \\cdot 2 \\cdot 3$: множитель 3 остается, запись периодическая","","$\\dfrac{4}{15}$ несократима, $15 = 3 \\cdot 5$: множитель 3 остается, запись периодическая","$\\dfrac{7}{18}$ несократима, $18 = 2 \\cdot 3 \\cdot 3$: множитель 3 остается, запись периодическая"],"answer":[1]}},"hints":["Сократите дробь: знаменатель смотрят только после сокращения.","$\\dfrac{9}{12} = \\dfrac{3}{4}$: в знаменателе 4 — только множители 2 и 5.","Остальные дроби несократимы, а в их знаменателях 12, 15, 18 есть множитель 3. Ответ: $\\dfrac{9}{12}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Периодическую дробь можно вернуть в обыкновенную

Линейка помогает увидеть одну точку, а цикл остатков — повтор цифр. Для обратного перевода сравним две записи: исходное число и число со сдвинутой запятой.

Пройдем обратный путь для $0{,}(36) = 0{,}363636\ldots$ В периоде две цифры, поэтому умножим $0{,}(36)$ на 100: запятая сдвинется на два знака вправо, $0{,}(36) \cdot 100 = 36{,}363636\ldots$ Вычтем $0{,}(36) \cdot 1 = 0{,}363636\ldots$ Хвосты после запятой совпадают цифра в цифру и при вычитании исчезают.

Остается: $0{,}(36) \cdot 100-0{,}(36) \cdot 1 = 0{,}(36) \cdot 99$, и это равно 36. Значит, само число равно $\dfrac{36}{99}$.

Одинаковые дробные части 36,363636… и 0,363636… вычитаются; число 0,(36), умноженное на 99, равно 36 — Одинаковые хвосты при вычитании исчезают: $0{,}(36) \cdot 99 = 36$, поэтому $0{,}(36) = \dfrac{36}{99}$

Правило

У чистой периодической дроби период начинается сразу после запятой. Если целая часть равна 0, запишите в числителе число, образованное цифрами периода, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде. Полученную дробь сократите. Ненулевую целую часть сохраните: $2{,}(36)=2+\dfrac{36}{99}=2\dfrac{4}{11}$.

$$0{,}(36)=\dfrac{36}{99}=\dfrac{4}{11}$$

Проверим делением: $40 : 11 = 3$, остаток 7; $70 : 11 = 6$, остаток 4 — остаток 4 вернулся, значит, $\dfrac{4}{11} = 0{,}(36)$. Правило согласуется и с началом урока: $0{,}(3) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.

Показать: почему девятки

Скрыть

Сдвиг запятой на $k$ знаков — это умножение на $10^k$ (единица и $k$ нулей). Если из $10^k$ чисел вычесть одно такое же число, останется $10^k-1$ таких чисел: при $k = 1$ это $10-1 = 9$ чисел, при $k = 2$ — $100-1 = 99$, при $k = 3$ — $1000-1 = 999$. Поэтому дробь равна периоду, который делят на $9$, $99$ или $999$: знаменатель всегда записывается одними девятками.

{"questions":[{"content":"Запишите периодическую дробь $0{,}(15)$ в виде несократимой обыкновенной дроби (через косую черту). [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5/33"}},"hints":["Период состоит из 2 цифр, значит, знаменатель — число из 2 девяток: 99.","Числитель — период: 15, получаем $\\dfrac{15}{99}$.","Сократите: $\\dfrac{5}{33}$. Ответ: 5/33."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Обыкновенная и десятичная запись — два способа назвать одну точку на линейке. Переводить приходится постоянно: сравнивать $\dfrac{3}{8}$ и $0{,}4$, считать с ценами и длинами, проверять ответ калькулятора. Чтобы вспомнить главное, используйте линейку, цикл остатков и сравнение двух записей. Перед проверкой знаменателя сократите обыкновенную дробь:

Часто задаваемые вопросы

Можно ли записать $\dfrac{1}{3}$ как 0,33 и считать дальше?

Можно, если вам нужно приближенное значение, и тогда пишут знак «≈»: $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$. Знак «=» с обрывком ставить нельзя: $0{,}33 \cdot 3 = 0{,}99$, а не 1. Для точного ответа удобнее оставить обыкновенную дробь.

Каким длинным может быть период?

Точную длину находят по остаткам: период кончается там, где остаток повторился. При делении на число $n$ разных ненулевых остатков не больше $n-1$, поэтому период не длиннее $n-1$ цифр. Например, у $\dfrac{1}{7}$ период из 6 цифр.

Почему перед признаком нужно сокращать дробь?

Конечность записи зависит от числа, а не от того, как дробь записана. У $\dfrac{6}{15}$ знаменатель содержит 3, но $\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$. После сокращения лишние множители исчезают, и признак работает честно.

Бывает ли бесконечная десятичная дробь без периода?

Бывает, но обыкновенной дробью такое число не записать. При делении числителя на знаменатель либо получается остаток 0, и запись конечная, либо повторяется ненулевой остаток, и запись периодическая. Числа без периода вы встретите в старших классах.

Награды за урок