6 класс Математика Делимость натуральных чисел Разложение на множители

Задачи на НОД и НОК

Содержание

Вы умеете находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел. В этом уроке разберем текстовые задачи, где нужно одно из этих чисел: разрезание на равные части, наборы поровну, плитка на полу, встреча автобусов. Главное умение урока — по вопросу задачи понять, что искать: НОД или НОК.

Одни и те же числа — разные вопросы

Рассмотрим две задачи с одинаковыми числами.

Задача А. Две ленты длиной 12 м и 18 м нужно разрезать без остатка на одинаковые куски наибольшей длины. Какой длины будет кусок?

Задача Б. Автобус первого маршрута отправляется со станции каждые 12 минут, второго — каждые 18 минут. В 8:00 они отправились одновременно. Через сколько минут они снова отправятся одновременно?

Числа одни и те же, а ответы разные: в задаче А — 6 м, в задаче Б — 36 минут. Чтобы понять почему, представим каждое число полоской из клеток, как в прошлых уроках: 12 — полоска из 12 клеток, 18 — из 18 клеток.

В задаче А ищем кусок, который укладывается в каждую ленту целое число раз. Кусок в 6 м укладывается в 12 м два раза, а в 18 м — три раза. Значит, длина куска — общий делитель, а наибольший из них — $\text{НОД}(12;\,18)=6$.

В задаче Б все наоборот: ищем момент, в который укладываются оба интервала. Отметим моменты отправлений шагом 12 и шагом 18 — отметки впервые совпадут на 36: интервал 12 укладывается в 36 три раза, интервал 18 — два раза. Это общее кратное, а первое из них — $\text{НОК}(12;\,18)=36$.

Две задачи на числах 12 и 18: НОД(12; 18) = 6 как кусок, НОК(12; 18) = 36 как общая отметка — Кусок 6 укладывается в каждую ленту — это НОД; в отметку 36 укладываются оба шага — это НОК

Правило

Чтобы выбрать действие, спросите себя, что ищем.

Если искомое укладывается в каждое из данных чисел (кусок, плитка, число наборов), нужен общий делитель, а при словах «наибольший», «как можно больше» — НОД. Ответ не больше меньшего из данных чисел.
Если каждое из данных чисел укладывается в искомое (момент встречи, общее количество), нужно общее кратное, а при словах «наименьший», «впервые», «снова» — НОК. Ответ не меньше большего из данных чисел.

$$\begin{aligned}\text{НОД}(12;\,18)&=6\le 12,\\ \text{НОК}(12;\,18)&=36\ge 18\end{aligned}$$

Слова в условии	Что ищем	Действие	Каким будет ответ
«разрезать на равные части», «разложить поровну без остатка», «наибольшая длина», «наибольшее число наборов»	часть, которая укладывается в каждое число	НОД	не больше меньшего из чисел
«снова вместе», «одновременно», «через сколько встретятся», «наименьшее число, которое делится»	число, в которое укладывается каждое из данных	НОК	не меньше большего из чисел

Важно

Слова в таблице — подсказка, а не правило. Задача: «Какое наименьшее число яблок можно разложить поровну и по 4, и по 10 штук в пакет?» Здесь есть слово «поровну», но ищем число, в которое укладываются и 4, и 10. Это НОК: $\text{НОК}(4;\,10)=20$. Ответ больше обоих данных чисел — значит, действие выбрано верно.

{"questions":[{"content":"Двое охранников ходят по кругу: один обходит территорию за 18 мин, другой за 24 мин. Они вышли вместе. Нужно узнать, когда они снова встретятся у выхода. Какое действие нужно выполнить?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Найти НОД","Найти сумму чисел","Найти НОК","Найти произведение чисел"],"explanations":["Так находят кусок, который укладывается в оба числа, — его здесь не ищут. Ищут момент, в который укладываются оба числа: это НОК","Сумма не отвечает на вопрос задачи: она не связана с делимостью","","Произведение слишком велико и не отвечает на вопрос: нужно найти НОК"],"answer":[2]}},"hints":["Слова «поровну», «без остатка», «наибольший размер» указывают на НОД; «снова вместе», «через сколько», «наименьшее» — на НОК.","Здесь ищут, когда события совпадут.","Ответ: найти НОК."],"step":1}],"mix":1}

Разделить поровну — найти общий делитель

Начнем с задач на НОД. В них что-то делят на одинаковые части так, чтобы ничего не осталось. Число частей (или размер части) должно делить каждое из данных чисел — иначе где-то будет остаток.

Задача 1

Есть 36 яблок и 48 груш. Из всех фруктов составляют одинаковые подарки. Какое наибольшее число подарков можно составить? Сколько яблок и сколько груш будет в каждом подарке?

Решение. Яблоки делятся поровну между подарками, поэтому число подарков делит 36. Так же оно делит 48. Значит, число подарков — общий делитель чисел 36 и 48, а наибольшее — их НОД.

Разложим на простые множители: $36=2^2\cdot 3^2$, $48=2^4\cdot 3$. Общие множители в наименьших степенях: $\text{НОД}(36;\,48)=2^2\cdot 3=12$.

В каждом подарке $36:12=3$ яблока и $48:12=4$ груши.

Проверка. $12\cdot 3=36$, $12\cdot 4=48$ — фрукты разложены без остатка. Ответ 12 не больше меньшего числа 36, как и положено ответу НОД-задачи.

Ответ: 12 подарков, в каждом 3 яблока и 4 груши.

36 яблок и 48 груш в 12 одинаковых подарках: в каждом 3 яблока и 4 груши — 36 яблок и 48 груш делятся на 12 одинаковых подарков: по 3 яблока и по 4 груши

Почему подарков не может быть больше? Возьмем 16 подарков: груши разложатся ($48:16=3$), а яблоки нет — 36 на 16 не делится. Общие делители 36 и 48: 1, 2, 3, 4, 6, 12 — больше 12 среди них нет.

Так же решается задача А о лентах: длина куска делит 12 и 18, наибольшая длина — $\text{НОД}(12;\,18)=6$ м. Первая лента дает $12:6=2$ куска, вторая — $18:6=3$ куска.

{"questions":[{"content":"Два куска ленты длиной $72$ см и $90$ см разрезали на одинаковые куски наибольшей возможной длины. Длина куска — [[fill_choice_big-1]] см.","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$360$","$162$","$18$"],"answer":3,"placeholder":0}},"hints":["Длина куска должна делить обе длины без остатка, а наибольшая — это НОД.","$72=2^3\\cdot 3^2$, $90=2\\cdot 3^2\\cdot 5$.","$\\text{НОД}(72;\\,90)=18$. Ответ: 18."],"step":1},{"content":"Есть карандаши ($42$ шт.) и ручки ($70$ шт.). Из них составляют одинаковые наборы, используя все предметы. Какое наибольшее число наборов можно составить? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["Число наборов должно делить и число карандашей, и число ручек.","Наибольшее — $\\text{НОД}(42;\\,70)$: $42=2\\cdot 3\\cdot 7$, $70=2\\cdot 5\\cdot 7$.","$\\text{НОД}=14$. Ответ: 14."],"step":1}],"mix":1}

Встретятся снова — найти общее кратное

Вернемся к задаче Б об автобусах. Отметим на шкале времени моменты отправлений. Первый автобус уходит через 12, 24, 36, 48 минут после 8:00, второй — через 18, 36, 54 минуты. Каждый ряд отметок — это кратные своего интервала. Нужна первая отметка, общая для обоих рядов.

Шкала времени автобусов: общая отметка 36 минут, первая встреча в 8:36 — Отметки шагом 12 и шагом 18 впервые совпадают на 36 — это НОК

Задача 2

Автобусы отправляются каждые 12 минут и каждые 18 минут, в 8:00 они ушли одновременно. Когда они снова отправятся одновременно?

Решение. Момент общего отправления делится и на 12, и на 18 — это общее кратное. Первый такой момент — НОК.

$12=2^2\cdot 3$, $18=2\cdot 3^2$. Все простые множители в наибольших степенях: $\text{НОК}(12;\,18)=2^2\cdot 3^2=36$.

Проверка. $36:12=3$ — к этому моменту первый автобус сделал 3 рейса; $36:18=2$ — второй сделал 2 рейса. Ответ 36 не меньше большего числа 18.

Ответ: через 36 минут, в 8:36.

Ошибка

Как ошибаются. Иксератопс решил задачу об автобусах так: «Числа 12 и 18, значит, нужен НОД: $\text{НОД}(12;\,18)=6$. Автобусы снова уйдут вместе через 6 минут».

Проверка на числах. В 8:06 первый автобус еще не вернулся — он уходит только раз в 12 минут. Второй тоже не вернулся. На шкале времени отметки 6 нет ни в одном ряду. Ответ 6 меньше обоих интервалов, а момент встречи не может наступить раньше, чем каждый автобус сделает хотя бы один рейс.

Где ломается рассуждение. НОД — это кусок, который укладывается в 12 и в 18. А в задаче спрашивают о моменте, в который укладываются 12 и 18. Иксератопс не прочитал вопрос и выбрал действие по привычке. Ответ НОК-задачи всегда не меньше большего из данных чисел.

Ошибка: 6 минут не встреча, автобусы вернутся вместе только через 36 минут — На отметке 6 нет ни одного отправления: ответ меньше интервалов — значит, вместо НОК взяли НОД

m6-zadachi-nod-nok-nod-ili-nok

{"questions":[{"content":"Автобус на первом маршруте отправляется со станции каждые $15$ мин, на втором — каждые $20$ мин. В 8:00 они отправились одновременно. Через сколько минут они снова отправятся одновременно? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Одновременно автобусы отправятся в момент, который делится на оба интервала: нужен НОК.","$15=3\\cdot 5$, $20=2^2\\cdot 5$.","$\\text{НОК}(15;\\,20)=60$. Ответ: 60."],"step":1},{"content":"Задача: автобусы отправились в 8:00 с интервалами 10 мин и 15 мин. Через сколько минут они снова отправятся одновременно? Иксератопс ответил: «5 мин, это НОД». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: нужно искать НОД, ответ 5 мин","Ошибка: нужно сложить интервалы, ответ 25 мин","Ошибка: нужно искать НОК, ответ 30 мин","Ошибка: нужно перемножить интервалы, ответ 150 мин"],"explanations":["Через 5 мин ни один из автобусов не вернется: время должно делиться и на 10, и на 15","Через 25 мин время не делится на оба интервала: сумма не даст общего кратного","","Через 150 мин автобусы отправятся вместе, но это не первый раз: уже через 30 мин"],"answer":[2]}},"hints":["Время общего отправления делится на оба интервала: это общее кратное, первое такое — НОК.","НОД — размер, который укладывается в оба числа; здесь он не отвечает на вопрос «когда».","$\\text{НОК}(10;\\,15)=30$. Иксератопс ошибся."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Плитка на полу: сначала сторона, потом количество

Задачи о плитке — это модель прямоугольника из клеток в чистом виде. Квадратная плитка должна уложиться вдоль каждой стороны пола целое число раз, иначе у стены придется резать плитку. Значит, сторона плитки делит обе стороны пола.

Задача 3

Пол размером $150\times 210$ см нужно покрыть одинаковыми квадратными плитками без обрезков. Какой наибольшей может быть сторона плитки? Сколько таких плиток понадобится?

Решение. Сторона плитки — общий делитель чисел 150 и 210, наибольшая — их НОД. $150=2\cdot 3\cdot 5^2$, $210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$, $\text{НОД}(150;\,210)=2\cdot 3\cdot 5=30$ см.

Вдоль стороны 150 см укладывается $150:30=5$ плиток, вдоль стороны 210 см — $210:30=7$ плиток. Пол покрыт 5 рядами по 7 плиток: $5\cdot 7=35$.

Проверка площадью. Площадь пола $150\cdot 210=31\,500$ кв. см, площадь плитки $30\cdot 30=900$ кв. см, $31\,500:900=35$.

Ответ: сторона 30 см, 35 плиток.

Пол 210 на 150 см, плитка 30 см: 7 плиток в ряд и 5 рядов, 35 плиток — Плитка 30 см укладывается 5 раз вдоль одной стороны и 7 раз вдоль другой: всего 5 · 7 = 35 плиток

Обратите внимание

Число плиток — произведение $5\cdot 7$, а не сумма $5+7=12$. Плитки лежат рядами: 5 рядов по 7 штук. Сумма $5+7$ — это лишь плитки вдоль двух стен, без середины пола.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Пол размером $135\\times 225$ дм выложили квадратными плитками наибольшего возможного размера без обрезков. Сколько понадобилось плиток?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ygontghveeb5.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["15 плиток","675 плиток","45 плиток","8 плиток"],"explanations":["","$675$ — НОК сторон пола, он не отвечает на вопрос о числе плиток","$45$ дм — это сторона плитки (НОД), а не их число","Это сумма частных $3+5$: плитки лежат рядами, их число — произведение $3\\cdot 5$"],"answer":[0]}},"hints":["Сторона плитки — $\\text{НОД}(135;\\,225)=45$ дм.","Вдоль одной стороны: $135:45=3$ плиток, вдоль другой: $225:45=5$.","$3\\cdot 5=15$. Ответ: 15."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

НОД или НОК — часто только первый шаг

Вопрос задачи не всегда совпадает с НОД или НОК. Часто спрашивают, сколько получилось кусков или сколько кругов сделал бегун. Тогда НОД или НОК — первый шаг, а ответ получаем делением.

Задача 4

Две доски длиной 120 см и 168 см распилили без остатка на куски одинаковой наибольшей длины. Сколько всего получилось кусков?

Решение. Длина куска — $\text{НОД}(120;\,168)$. $120=2^3\cdot 3\cdot 5$, $168=2^3\cdot 3\cdot 7$, $\text{НОД}=2^3\cdot 3=24$ см.

Из первой доски выходит $120:24=5$ кусков, из второй — $168:24=7$ кусков. Всего $5+7=12$ кусков.

Ответ: 12 кусков.

Доски 120 и 168 см режутся на куски по 24 см: 5 и 7 кусков, всего 12 — Сначала НОД дает длину куска 24 см, потом деление дает число кусков: 5 и 7, всего 12

Сравните с плиткой: там количество — произведение (ряды на столбцы), а здесь — сумма (куски из двух разных досок складываются в одну кучу). Решает не правило, а картинка: представьте, как лежат части.

Задача 5

Два велосипедиста одновременно стартовали с одного места круговой трассы. Первый проезжает круг за 30 с, второй — за 45 с. Сколько кругов проедет каждый к моменту, когда они впервые снова окажутся на старте вместе?

Решение. Момент встречи на старте делится и на 30, и на 45: $\text{НОК}(30;\,45)=2\cdot 3^2\cdot 5=90$ с.

Первый проедет $90:30=3$ круга, второй — $90:45=2$ круга.

Ответ: 3 круга и 2 круга.

Иногда в условии есть число, которое к вопросу не относится. Например, в задаче об автобусах могут сообщить, что в каждом автобусе 40 мест. На момент встречи это не влияет: в НОК идут только интервалы. Перед вычислением выпишите, какие числа описывают то, что делят или что повторяется.

Схема решения

Прочитайте вопрос и решите, что ищем: часть, которая укладывается в данные числа, или число, в которое они укладываются.
Выберите нужные числа и найдите НОД или НОК.
Если спрашивают о количестве (кусков, плиток, кругов), разделите данные числа на найденный НОД или найденный НОК на данные числа.
Проверьте: ответ НОД не больше меньшего из чисел, ответ НОК не меньше большего.

{"questions":[{"content":"Два рулона ткани длиной $56$ м и $140$ м разрезали на куски одинаковой наибольшей длины, без остатка. Сколько всего получилось кусков? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Длина куска — НОД длин.","$\\text{НОД}(56;\\,140)=28$ м. Из первой части: $56:28=2$, из второй: $140:28=5$.","$2+5=7$. Ответ: 7."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Распределите задачи по группам: где нужен НОД, а где НОК.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Нужен НОД","Нужен НОК"],"items":[["Из 24 роз и 40 тюльпанов составляют одинаковые букеты из всех цветов. Какое наибольшее число букетов получится?","Лист картона 20 см на 32 см разрезают без остатка на одинаковые квадраты. Какой наибольшей может быть сторона квадрата?","Отряд из 36 мальчиков и 27 девочек делят на одинаковые команды. Какое наибольшее число команд получится?"],["Один маяк вспыхивает каждые 6 с, другой — каждые 8 с. Сейчас они вспыхнули вместе. Через сколько секунд они снова вспыхнут вместе?","Какое наименьшее число конфет можно разложить поровну и по 6, и по 9 штук в пакет?","Из прямоугольных плиток 4 см на 6 см, не разрезая их, складывают квадрат. Какой наименьшей может быть его сторона?"]]}},"hints":["Спросите себя, что ищем: то, что укладывается в каждое из данных чисел (часть, кусок, число наборов), — это НОД; то, во что укладывается каждое из данных чисел (момент встречи, общее количество), — это НОК.","Слово «поровну» еще не значит НОД: в задаче про конфеты ищут число, которое делится и на 6, и на 9, — оно не меньше 9. Квадрат из плиток $4$ на $6$ см тоже больше каждой плитки.","Ответ: розы и тюльпаны, лист картона, отряд — НОД; маяки, конфеты, квадрат из плиток — НОК."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Задачи на НОД и НОК встречаются всюду, где что-то делят без остатка или ждут, когда повторяющиеся события совпадут: раскрой ткани, укладка плитки, расписания. А в следующей теме — обыкновенных дробях — НОД понадобится для сокращения, а НОК — для общего знаменателя.

Чтобы вспомнить главное, спросите себя: что во что укладывается?

Следующий урок

Теперь можно проверить всю тему делимости: итоговый тест модуля — тест модуля «Делимость натуральных чисел».

Повторите

НОД — наибольшее число, на которое делятся оба числа без остатка: урок про наибольший общий делитель.
НОК — наименьшее число, которое делится на оба числа: урок про наименьшее общее кратное.

Тренажер темы

Закрепите тему на задачах: тренажер «Делимость натуральных чисел».

Часто задаваемые вопросы

Как понять, что нужен НОД, если в задаче нет слова «наибольший»?

Спросите, что ищем. Если ищем часть, которая без остатка укладывается в каждое из данных чисел, — это общий делитель. Обычно в задаче просят наибольшую такую часть, и тогда это НОД. Если подходит любой общий делитель, ответов может быть несколько.

Почему нельзя просто перемножить числа, чтобы найти момент встречи?

Произведение тоже делится на оба числа, поэтому в этот момент автобусы действительно встретятся. Но не впервые: для 12 и 18 произведение равно 216, а встреча будет уже через 36 минут. Произведение совпадает с НОК только для взаимно простых чисел.

Можно ли проверить ответ, не решая задачу заново?

Да. Ответ НОД-задачи делит каждое из данных чисел и не больше меньшего из них. Ответ НОК-задачи делится на каждое из данных чисел и не меньше большего из них. Если ответ нарушает это сравнение, действие выбрано неверно.

Что делать, если чисел три?

Рассуждение то же: ищите часть, которая укладывается в каждое из трех чисел, или число, в которое укладывается каждое. НОД и НОК трех чисел находят по разложению на простые множители так же, как для двух. О разложении — в уроке «разложение на простые множители».

Награды за урок

Проверим знания по теме?

Задачи на НОД и НОК

Пройти тест