Карточки
Тесты
Зави
Простые и составные числа
Простые и составные числа
Вы уже знаете, что такое делители и кратные, и умеете пользоваться признаками делимости — в том числе признаки делимости на 9 и 3. Сегодня разделим все натуральные числа на три группы: простые, составные и особое число $1$. Делители будем изображать сторонами прямоугольников из клеток, а в конце найдем все простые числа до $50$.
Вопрос, к которому мы вернемся: сколькими способами можно выложить прямоугольник из $12$ одинаковых клеток и сколькими — из $13$ (прямоугольник и он же, повернутый, считаем одним)?
Делитель числа — это сторона прямоугольника из клеток
Возьмем $6$ квадратных клеток и попробуем сложить из них прямоугольник без дырок и без лишних клеток. Можно выложить полоску в один ряд: $1\times 6$. Можно уложить два ряда по три клетки: $2\times 3$. Если взять четыре клетки в ряд, получится один полный ряд и неполный ряд из двух клеток — прямоугольник не складывается.
Теперь $8$ клеток: полоска $1\times 8$ и прямоугольник $2\times 4$. А $7$ клеток складываются только в полоску $1\times 7$: при двух рядах остается одна лишняя клетка, при трех — тоже одна.
Что общего у сторон, которые подошли? Сторона $a$ подходит, когда клетки раскладываются в ряды по $a$ клеток без остатка. Это и значит, что число делится на $a$. Поэтому каждая сторона прямоугольника — делитель числа, а каждый делитель — сторона какого-то прямоугольника.
У числа $6$ прямоугольники $1\times 6$ и $2\times 3$ дают четыре делителя: $1$, $2$, $3$, $6$. У числа $8$ — делители $1$, $2$, $4$, $8$. У числа $7$ — только $1$ и $7$.
Пример
Задача. Сколько прямоугольников можно выложить из $16$ клеток и сколько делителей у числа $16$? Прямоугольники $a\times b$ и $b\times a$ считаем одинаковыми.
Решение. Перебираем ширину по порядку: $1\times 16$ — подходит; $2\times 8$ — подходит; $3$ — нет, $16$ не делится на $3$; $4\times 4$ — подходит, это квадрат. Ширину больше $4$ брать не нужно: дальше пойдут те же прямоугольники, только повернутые ($8\times 2$, $16\times 1$).
Прямоугольников три. Делители — все их стороны: $1$, $16$, $2$, $8$, $4$. Сторона квадрата $4\times 4$ — один делитель, а не два.
Ответ: $3$ прямоугольника, $5$ делителей: $1$, $2$, $4$, $8$, $16$.
Простое число складывается только в полоску
Посмотрим на $7$, $11$ и $13$ клеток. Как ни раскладывайте их в два, три или четыре ряда, всякий раз остаются лишние клетки. Прямоугольник получается только один — полоска в один ряд. Значит, у каждого из этих чисел всего два делителя: $1$ (ширина полоски) и само число (ее длина).
Определение
Простое число — натуральное число, у которого ровно два делителя: $1$ и само это число.
На клетках: из простого числа $p$ клеток складывается только полоска $1\times p$.
Простые числа до $20$: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$. Вот и ответ на первую половину вопроса из начала урока: $13$ — простое число, из $13$ клеток выкладывается единственный прямоугольник — полоска $1\times 13$.
Составное число можно сложить не только в полоску
Из $12$ клеток складываются три прямоугольника: $1\times 12$, $2\times 6$ и $3\times 4$. Делителей у $12$ шесть: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$. Это вторая половина ответа на вопрос из начала: у $12$ прямоугольников три, у $13$ — один.
Полоска $1\times 12$ есть у числа $12$ так же, как полоска $1\times 13$ — у числа $13$. Различает их другое: у $12$ есть прямоугольник, у которого обе стороны больше $1$.
Определение
Составное число — натуральное число, у которого больше двух делителей.
Признак: достаточно найти один делитель, кроме $1$ и самого числа. Тогда число составное, и из его клеток складывается прямоугольник с обеими сторонами больше $1$.
Ошибка
Как ошибаются. «Число $8$ составное, поэтому его нельзя записать как $1\cdot 8$: так записывают только простые числа».
Проверка на числах. $1\cdot 8=8$ — верное равенство. Полоска $1\times 8$ на рисунке выше складывается так же легко, как прямоугольник $2\times 4$. Запись $1\cdot n$ есть у любого натурального числа: $1\cdot 12=12$, $1\cdot 13=13$.
Где ломается рассуждение. Получился круг: составность объясняют запретом записи, а запрет — составностью. На самом деле число делают составным его делители: у $8$ их четыре ($1$, $2$, $4$, $8$), это больше двух. Полоска $1\times n$ ничего не решает — решает, есть ли еще хотя бы один прямоугольник.
Пример
Задача. Простое или составное число $91$?
Решение. Ищем делитель, кроме $1$ и $91$. На $2$ не делится — число нечетное. На $3$ не делится — сумма цифр $9+1=10$ не делится на $3$. На $5$ не делится — последняя цифра не $0$ и не $5$. Пробуем $7$: $91:7=13$. Значит, $91=7\cdot 13$, и из $91$ клетки складывается прямоугольник $7\times 13$.
Ответ: составное, делители $1$, $7$, $13$, $91$.
Число $91$ нечетное и «выглядит» простым, но признаки делимости на $2$, $3$ и $5$ его не ловят. Поэтому одних признаков мало: делитель $7$ приходится проверять делением.
Одна клетка — особый случай
Из одной клетки складывается единственный прямоугольник $1\times 1$. Его ширина — $1$, длина — тоже $1$. Получается, что делитель «$1$» и делитель «само число» у единицы совпадают: у числа $1$ один делитель.
Сравним с числом $2$. Из двух клеток складывается полоска $1\times 2$: ее стороны разные, делителей два — $1$ и $2$. Поэтому $2$ — простое число, причем самое маленькое.
Важно
Число $1$ не простое и не составное. У простого числа ровно два делителя, у составного — больше двух, а у числа $1$ — ровно один.
Ошибка
Как ошибаются. «У каждого числа есть два делителя: $1$ и само число. Значит, у $1$ тоже два делителя, и $1$ — простое число».
Проверка на числах. Выпишем все делители числа $1$: на что делится $1$ без остатка? Только на $1$. У $2$ делители $1$ и $2$, у $3$ — $1$ и $3$.
Где ломается рассуждение. «$1$» и «само число» — это два названия одного и того же делителя, когда число равно $1$. Определение простого числа требует ровно двух делителей, то есть двух разных чисел. У всех чисел, больших $1$, их действительно не меньше двух, а у единицы — один.
Число $2$ особенное по-другому: оно единственное четное простое число. Любое четное число больше $2$ делится на $2$ — это делитель, кроме $1$ и самого числа, поэтому такое число составное. Например, $4=2\cdot 2$, $10=2\cdot 5$.
| Число | Прямоугольники из клеток | Делители | Вид |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 × 1 | 1 | ни простое, ни составное |
| 2 | 1 × 2 | 1, 2 | простое |
| 7 | 1 × 7 | 1, 7 | простое |
| 9 | 1 × 9, 3 × 3 | 1, 3, 9 | составное |
| 12 | 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | составное |
Как найти все простые числа до 50
Проверять каждое число отдельно долго. Есть способ быстрее — вычеркивать составные числа целыми сериями. Выпишем числа от $1$ до $50$ в таблицу.
- Число $1$ сразу отмечаем серым: оно ни простое, ни составное.
- Число $2$ оставляем, а все числа, кратные $2$, после него вычеркиваем: $4$, $6$, $8$, … — у каждого есть делитель $2$.
- Первое невычеркнутое число после $2$ — это $3$. Оставляем его и вычеркиваем кратные $3$: $9$, $15$, $21$, … (часть из них уже вычеркнута).
- Так же поступаем с $5$ и с $7$: оставляем само число, вычеркиваем кратные ему.
Остались невычеркнутыми $15$ чисел — это все простые числа до $50$: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$. Из них до $30$ — ровно $10$ чисел.
Почему хватило кратных $2$, $3$, $5$ и $7$? Вернемся к клеткам. Если составное число не больше $50$ сложено в прямоугольник, короткая сторона не может быть больше $7$: иначе обе стороны не меньше $8$, и клеток не меньше $8\cdot 8=64$. Значит, у такого числа есть делитель от $2$ до $7$, а у них простые делители — $2$, $3$, $5$ или $7$. Такое число уже вычеркнуто.
Пример
Задача. Простое ли число $53$? Оно чуть больше $50$, в таблицу не попало.
Решение. Тем же рассуждением: если $53$ клетки складываются в прямоугольник с обеими сторонами больше $1$, то короткая сторона не больше $7$, ведь $8\cdot 8=64>53$. Проверим стороны $2$, $3$, $5$, $7$. Число $53$ нечетное; сумма цифр $5+3=8$ не делится на $3$; последняя цифра $3$ — не делится на $5$; $7\cdot 7=49$, $7\cdot 8=56$, значит, на $7$ не делится. Подходящей короткой стороны нет.
Ответ: $53$ — простое число.
Интересный факт: решето Эратосфена и бесконечность простых чисел
Скрыть
Способ вычеркивания называют решетом Эратосфена — по имени древнегреческого ученого Эратосфена Киренского (III век до н. э.). Описание решета дошло до нас в книге Никомаха Герасского «Введение в арифметику»: составные числа будто «просеиваются», а простые остаются.
Еще раньше Евклид доказал в «Началах», что простых чисел бесконечно много: какой бы длинный список простых чисел ни составили, найдется простое число, которого в нем нет.
Вывод
Простые и составные числа понадобятся в следующем уроке и при сокращении дробей и поиске общего знаменателя. Чтобы вспомнить главное, представьте число как клетки.
Запись $1\cdot n$ есть у каждого числа, поэтому она ничего не решает: смотрите, найдется ли делитель, кроме $1$ и самого числа. Дополнительные задания по теме есть в уроке «Простые и составные числа».
Часто задаваемые вопросы
Ни то ни другое. Простые и составные числа определяют только для натуральных чисел, а $0$ не натуральное. К тому же $0$ делится на любое натуральное число, так что делителей у него бесконечно много.
У числа $2$ ровно два делителя: $1$ и $2$, а это и есть определение простого числа. Четность здесь ни при чем. Наоборот, $2$ — единственное четное простое число: все остальные четные числа делятся на $2$ и поэтому составные.
Нет. Числа $9=3\cdot 3$, $15=3\cdot 5$, $21=3\cdot 7$, $91=7\cdot 13$ нечетные, но составные. Нечетность лишь говорит, что число не делится на $2$; другие делители нужно проверить отдельно.
Достаточно проверить делимость на $2$, $3$, $5$ и $7$: если составное число меньше $100$, короткая сторона его прямоугольника меньше $10$, ведь $10\cdot 10=100$. Нашелся делитель, отличный от самого числа, — число составное; не нашелся — простое (для чисел больше $1$).
Так требует определение: у $1$ один делитель, а не два. Кроме того, это удобно в следующей теме: каждое составное число раскладывается на простые множители единственным способом, если не считать порядок множителей, а если бы $1$ была простой, к любому разложению можно было бы дописать сколько угодно единиц.
Следующий урок
Простые числа пригодятся как «кирпичики»: любое составное число можно собрать из простых множителей — разложение на простые множители.
Повторите
- Делитель числа — сторона прямоугольника из клеток без остатка: урок про делители и кратные.
- Число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$; на $9$ — если сумма цифр делится на $9$: урок про признаки делимости на 9 и 3.
5
5
1
5