Задачи на НОД и НОК

8 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Из $28$ яблок и $42$ груш составляют одинаковые подарки, используя все фрукты. Наибольшее число подарков — [[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$84$","$70$","$14$","$7$"],"answer":2,"placeholder":0}},"hints":["Число подарков должно делить и число яблок, и число груш: это общий делитель, а нужен наибольший — НОД.","$28=2\\cdot 2\\cdot 7$, $42=2\\cdot 3\\cdot 7$.","$\\text{НОД}(28;\\,42)=14$. Проверка: $28:14=2$, $42:14=3$ — фрукты делятся поровну. Ответ: $14$."],"step":1},{"id":"1","content":"Из $32$ яблок и $48$ груш составляют одинаковые подарки, используя все фрукты. Наибольшее число подарков — [[fill_choice_big-2]].","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$96$","$8$","$80$","$16$"],"answer":3,"placeholder":0}},"hints":["Число подарков должно делить и число яблок, и число груш: это общий делитель, а нужен наибольший — НОД.","$32=2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 2$, $48=2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 3$.","$\\text{НОД}(32;\\,48)=16$. Проверка: $32:16=2$, $48:16=3$ — фрукты делятся поровну. Ответ: $16$."],"step":1},{"id":"2","content":"Две ленты длиной $48$ см и $80$ см разрезали без остатка на одинаковые куски наибольшей длины. Длина куска — [[fill_choice_big-3]] см.","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$128$","$8$","$240$","$16$"],"answer":3,"placeholder":0}},"hints":["Длина куска должна укладываться целое число раз в каждую ленту: это общий делитель длин, наибольший — НОД.","$48=2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 3$, $80=2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 5$.","$\\text{НОД}(48;\\,80)=16$. Проверка: $48:16=3$, $80:16=5$. Ответ: $16$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"Две ленты длиной $56$ см и $84$ см разрезали без остатка на одинаковые куски наибольшей длины. Длина куска — [[fill_choice_big-4]] см.","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$14$","$140$","$168$","$28$"],"answer":3,"placeholder":0}},"hints":["Длина куска должна укладываться целое число раз в каждую ленту: это общий делитель длин, наибольший — НОД.","$56=2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 7$, $84=2\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 7$.","$\\text{НОД}(56;\\,84)=28$. Проверка: $56:28=2$, $84:28=3$. Ответ: $28$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"Один колокол звонит каждые $10$ мин, другой — каждые $25$ мин. Сейчас они ударили вместе. Снова вместе они ударят через [[fill_choice_big-5]] мин.","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$35$","$50$","$5$","$250$"],"answer":1,"placeholder":0}},"hints":["Время до общего удара должно делиться и на интервал первого, и на интервал второго колокола: это общее кратное, наименьшее — НОК.","Кратные $25$: 25, 50, …","$\\text{НОК}(10;\\,25)=50$. Ответ: $50$ мин."],"step":1},{"id":"3","content":"Один колокол звонит каждые $8$ мин, другой — каждые $12$ мин. Сейчас они ударили вместе. Снова вместе они ударят через [[fill_choice_big-6]] мин.","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$96$","$4$","$24$","$20$"],"answer":2,"placeholder":0}},"hints":["Время до общего удара должно делиться и на интервал первого, и на интервал второго колокола: это общее кратное, наименьшее — НОК.","Кратные $12$: 12, 24, …","$\\text{НОК}(8;\\,12)=24$. Ответ: $24$ мин."],"step":1},{"id":"4","content":"Распределите задачи по группам: где нужен НОД, а где НОК.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Нужен НОД","Нужен НОК"],"items":[["Из 30 синих и 42 красных шаров собирают одинаковые связки из всех шаров. Какое наибольшее число связок получится?","Две доски длиной 64 см и 96 см распилили без остатка на одинаковые бруски наибольшей длины. Какова длина бруска?"],["Два поезда отходят от станции каждые 20 и 30 мин. Сейчас они отошли вместе. Через сколько минут они снова отойдут вместе?","Какое наименьшее число тетрадей можно раздать поровну и 10, и 15 ученикам?"]]}},"instruction":"Распределите задачи по группам","hints":["Если ищем то, что укладывается в каждое из данных чисел (кусок, число наборов), — это НОД.","Если ищем то, во что укладывается каждое из данных чисел (момент встречи, общее количество), — это НОК. Слово «поровну» еще не значит НОД.","Ответ: задачи про шары и доски — НОД; про поезда и тетради — НОК."],"step":1},{"id":"4","content":"Распределите задачи по группам: где нужен НОД, а где НОК.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Нужен НОД","Нужен НОК"],"items":[["Из 45 ромашек и 60 васильков составляют одинаковые букеты из всех цветов. Какое наибольшее число букетов получится?","Два бруска длиной 72 см и 120 см распилили без остатка на равные части наибольшей длины. Какова длина части?"],["Петя ходит в бассейн каждые 4 дня, Маша — каждые 6 дней. Сегодня они встретились в бассейне. Через сколько дней они снова встретятся?","Какое наименьшее число карандашей можно разложить поровну и в коробки по 9, и в коробки по 12 штук?"]]}},"instruction":"Распределите задачи по группам","hints":["Если ищем то, что укладывается в каждое из данных чисел (кусок, число наборов), — это НОД.","Если ищем то, во что укладывается каждое из данных чисел (момент встречи, общее количество), — это НОК. Слово «поровну» еще не значит НОД.","Ответ: задачи про букеты и бруски — НОД; про бассейн и карандаши — НОК."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-1]]Пол размером $160\\times 280$ дм выложили квадратными плитками наибольшего возможного размера без обрезков. Сколько понадобилось плиток?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1al8blphss1i.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["11 плиток","1120 плиток","40 плиток","28 плиток"],"explanations":["Это сумма частных $4+7$: плитки лежат рядами, их число — произведение $4\\cdot 7$","$1120$ — НОК сторон пола, он не отвечает на вопрос о числе плиток","$40$ дм — это сторона плитки (НОД), а не их число",""],"answer":[3]}},"hints":["Сторона плитки — $\\text{НОД}(160;\\,280)=40$ дм.","Вдоль одной стороны: $160:40=4$ плиток, вдоль другой: $280:40=7$.","$4\\cdot 7=28$. Ответ: 28."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-2]]Пол размером $210\\times 330$ дм выложили квадратными плитками наибольшего возможного размера без обрезков. Сколько понадобилось плиток?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/mmqd8w6dq6ir.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["2310 плиток","30 плиток","18 плиток","77 плиток"],"explanations":["$2310$ — НОК сторон пола, он не отвечает на вопрос о числе плиток","$30$ дм — это сторона плитки (НОД), а не их число","Это сумма частных $7+11$: плитки лежат рядами, их число — произведение $7\\cdot 11$",""],"answer":[3]}},"hints":["Сторона плитки — $\\text{НОД}(210;\\,330)=30$ дм.","Вдоль одной стороны: $210:30=7$ плиток, вдоль другой: $330:30=11$.","$7\\cdot 11=77$. Ответ: 77."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Два бегуна стартовали одновременно с одного места круговой дорожки. Первый пробегает круг за $45$ с, второй — за $60$ с. Сколько кругов пробежит первый бегун к моменту, когда оба снова окажутся на старте одновременно? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Вместе на старте они окажутся через $\\text{НОК}(45;\\,60)$ секунд.","$\\text{НОК}=180$ с.","Число кругов первого бегуна: $180:45=4$. Ответ: 4."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Два бегуна стартовали одновременно с одного места круговой дорожки. Первый пробегает круг за $36$ с, второй — за $60$ с. Сколько кругов пробежит первый бегун к моменту, когда оба снова окажутся на старте одновременно? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Вместе на старте они окажутся через $\\text{НОК}(36;\\,60)$ секунд.","$\\text{НОК}=180$ с.","Число кругов первого бегуна: $180:36=5$. Ответ: 5."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Два куска провода длиной $90$ см и $150$ см разрезали на куски одинаковой наибольшей длины, без остатка. Сколько всего получилось кусков? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Длина куска — НОД длин.","$\\text{НОД}(90;\\,150)=30$ см. Из первой части: $90:30=3$, из второй: $150:30=5$.","$3+5=8$. Ответ: 8."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Две доски длиной $45$ дм и $105$ дм разрезали на куски одинаковой наибольшей длины, без остатка. Сколько всего получилось кусков? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Длина куска — НОД длин.","$\\text{НОД}(45;\\,105)=15$ дм. Из первой части: $45:15=3$, из второй: $105:15=7$.","$3+7=10$. Ответ: 10."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Маяки вспыхивают каждые 9 с и каждые 12 с. Сейчас они вспыхнули вместе. Через сколько секунд они снова вспыхнут вместе? Решавр ответил: «3 с, это НОД». Что верно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибка: нужно сложить периоды, ответ 21 с","Ошибка: нужно искать НОК, ответ 36 с","Ошибка: нужно перемножить периоды, ответ 108 с","Ошибки нет: нужно искать НОД, ответ 3 с"],"explanations":["Через 21 с время не делится на оба периода: сумма не даст общего кратного","","Через 108 с маяки вспыхнут вместе, но не впервые: уже через 36 с","Через 3 с вспышки не совпадут: время должно делиться и на 9, и на 12"],"answer":[1]}},"hints":["Момент общей вспышки делится на оба периода: это общее кратное, первое такое — НОК.","НОД — размер, который укладывается в оба числа; он не отвечает на вопрос «когда».","$\\text{НОК}(9;\\,12)=36$. Решавр ошибся."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Маяки вспыхивают каждые 8 с и каждые 20 с. Сейчас они вспыхнули вместе. Через сколько секунд они снова вспыхнут вместе? Решавр ответил: «4 с, это НОД». Что верно?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибка: нужно сложить периоды, ответ 28 с","Ошибка: нужно искать НОК, ответ 40 с","Ошибка: нужно перемножить периоды, ответ 160 с","Ошибки нет: нужно искать НОД, ответ 4 с"],"explanations":["Через 28 с время не делится на оба периода: сумма не даст общего кратного","","Через 160 с маяки вспыхнут вместе, но не впервые: уже через 40 с","Через 4 с вспышки не совпадут: время должно делиться и на 8, и на 20"],"answer":[1]}},"hints":["Момент общей вспышки делится на оба периода: это общее кратное, первое такое — НОК.","НОД — размер, который укладывается в оба числа; он не отвечает на вопрос «когда».","$\\text{НОК}(8;\\,20)=40$. Решавр ошибся."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>