Разложение на простые множители

8 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"$66=$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$3\\cdot 22$","$2\\cdot 3\\cdot 11$","$6\\cdot 11$","$2\\cdot 33$"],"answer":1,"placeholder":0}},"hints":["В разложении на простые множители каждый множитель — простое число.","Делим $66$ на простые по порядку: $66=2\\cdot 33$, затем раскладываем составные множители, пока не останутся простые.","Ответ: $66=2\\cdot 3\\cdot 11$."],"step":1},{"id":"1","content":"$78=$[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$3\\cdot 26$","$2\\cdot 3\\cdot 13$","$2\\cdot 39$","$6\\cdot 13$"],"answer":1,"placeholder":0}},"hints":["В разложении на простые множители каждый множитель — простое число.","Делим $78$ на простые по порядку: $78=2\\cdot 39$, затем раскладываем составные множители, пока не останутся простые.","Ответ: $78=2\\cdot 3\\cdot 13$."],"step":1},{"id":"2","content":"$450=$[[fill_choice_big-3]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$2^2\\cdot 3^2\\cdot 5$","$2\\cdot 3\\cdot 5$","$2\\cdot 3\\cdot 5^2$","$2\\cdot 3^2\\cdot 5^2$"],"answer":3,"placeholder":0}},"hints":["Одинаковые множители записывают степенью: показатель показывает, сколько раз множитель повторяется.","$450=2\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 5\\cdot 5$.","Ответ: $450=2\\cdot 3^2\\cdot 5^2$."],"step":1},{"id":"2","content":"$600=$[[fill_choice_big-4]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$2\\cdot 3\\cdot 5$","$2\\cdot 3^2\\cdot 5^3$","$2^2\\cdot 3\\cdot 5^2$","$2^3\\cdot 3\\cdot 5^2$"],"answer":3,"placeholder":0}},"hints":["Одинаковые множители записывают степенью: показатель показывает, сколько раз множитель повторяется.","$600=2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 5\\cdot 5$.","Ответ: $600=2^3\\cdot 3\\cdot 5^2$."],"step":1},{"id":"3","content":"$2^2\\cdot 3^2\\cdot 5=$[[fill_choice_big-5]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$18$","$120$","$180$"],"answer":3,"placeholder":0}},"hints":["Степень — произведение одинаковых множителей: $a^2=a\\cdot a$, а не $a\\cdot 2$.","Вычислим степени: $2^2=4$, $3^2=9$.","$4\\cdot 9\\cdot 5=180$. Ответ: $180$."],"step":1},{"id":"3","content":"$2^2\\cdot 3\\cdot 5^2=$[[fill_choice_big-6]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$32$","$300$","$120$"],"answer":2,"placeholder":0}},"hints":["Степень — произведение одинаковых множителей: $a^2=a\\cdot a$, а не $a\\cdot 2$.","Вычислим степени: $2^2=4$, $5^2=25$.","$4\\cdot 3\\cdot 25=300$. Ответ: $300$."],"step":1},{"id":"4","content":"Расставьте шаги разложения числа $220$ на простые множители столбиком.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Делим $220$ на $2$, получаем $110$","Полученное частное $110$ делим на $2$, получаем $55$","Полученное частное $55$ делим на $5$, получаем $11$","Полученное частное $11$ делим на $11$, получаем $1$"]}},"hints":["Начинаем с наименьшего простого делителя самого числа $220$.","Каждый следующий шаг делит частное, полученное на предыдущем шаге: $110$, затем $55$, затем $11$.","$220:2=110$, $110:2=55$, $55:5=11$, $11:11=1$. Значит, $220=2\\cdot 2\\cdot 5\\cdot 11$."],"step":1},{"id":"4","content":"Расставьте шаги разложения числа $156$ на простые множители столбиком.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Делим $156$ на $2$, получаем $78$","Полученное частное $78$ делим на $2$, получаем $39$","Полученное частное $39$ делим на $3$, получаем $13$","Полученное частное $13$ делим на $13$, получаем $1$"]}},"hints":["Начинаем с наименьшего простого делителя самого числа $156$.","Каждый следующий шаг делит частное, полученное на предыдущем шаге: $78$, затем $39$, затем $13$.","$156:2=78$, $78:2=39$, $39:3=13$, $13:13=1$. Значит, $156=2\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 13$."],"step":1},{"id":"5","content":"Дано число $n=2^3\\cdot 3^2\\cdot 5$. На какое из чисел оно делится без остатка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$7$","$36$","$16$","$27$"],"explanations":["$7=7$, а в $n$ множителя $7$ нет","","$16=2^4$: множитель $2$ нужен 4 раза, а в $n$ он входит только 3 раз(а)","$27=3^3$: множитель $3$ нужен 3 раза, а в $n$ он входит только 2 раз(а)"],"answer":[1]}},"hints":["Число делится на $d$, если все множители разложения $d$ входят в разложение числа в не меньшей степени.","$36=2^2\\cdot 3^2$: все множители есть в $n$.","Остальные числа требуют множитель, которого в $n$ нет, или большую степень. Ответ: $36$."],"step":1},{"id":"5","content":"Дано число $n=2\\cdot 3^3\\cdot 7^2$. На какое из чисел оно делится без остатка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$54$","$28$","$4$","$25$"],"explanations":["","$28=2^2\\cdot 7$: множитель $2$ нужен 2 раза, а в $n$ он входит только 1 раз(а)","$4=2^2$: множитель $2$ нужен 2 раза, а в $n$ он входит только 1 раз(а)","$25=5^2$, а в $n$ множителя $5$ нет"],"answer":[0]}},"hints":["Число делится на $d$, если все множители разложения $d$ входят в разложение числа в не меньшей степени.","$54=2\\cdot 3^3$: все множители есть в $n$.","Остальные числа требуют множитель, которого в $n$ нет, или большую степень. Ответ: $54$."],"step":1},{"id":"6","content":"Двое учеников раскладывают число $90$: первый начал с $9\\cdot 10$, второй — с $6\\cdot 15$. Оба довели разложение до простых множителей. Что верно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Разложение одно: в обоих деревьях листья 2, 3, 3, 5","Разложение одно: листья 9 и 10","Разложений два: у каждого дерева свои листья","Разложений два: $5\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 2$ и $2\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 5$"],"explanations":["","Числа 9 и 10 составные, дерево на них не заканчивается","Листья одни и те же, меняется только порядок множителей","Порядок множителей не создает нового разложения: это одно и то же"],"answer":[0]}},"hints":["Первое дерево: $9=3\\cdot 3$, $10=2\\cdot 5$.","Второе: $6=2\\cdot 3$, $15=3\\cdot 5$. Перемножим листья: в обоих случаях получаем $2\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 5$.","Простые множители одни и те же: разложение единственно с точностью до порядка."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Двое учеников раскладывают число $72$: первый начал с $8\\cdot 9$, второй — с $6\\cdot 12$. Оба довели разложение до простых множителей. Что верно?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Разложений два: у каждого дерева свои листья","Разложений два: $3\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 2$ и $2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 3$","Разложение одно: листья 8 и 9","Разложение одно: в обоих деревьях листья 2, 2, 2, 3, 3"],"explanations":["Листья одни и те же, меняется только порядок множителей","Порядок множителей не создает нового разложения: это одно и то же","Числа 8 и 9 составные, дерево на них не заканчивается",""],"answer":[3]}},"hints":["Первое дерево: $8=2\\cdot 2\\cdot 2$, $9=3\\cdot 3$.","Второе: $6=2\\cdot 3$, $12=2\\cdot 2\\cdot 3$. Перемножим листья: в обоих случаях получаем $2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 3$.","Простые множители одни и те же: разложение единственно с точностью до порядка."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Найдите наименьшее число, в разложении которого на простые множители ровно $3$ множителей (повторы считаются) и которое делится на $5$ и на $7$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"70"}},"hints":["Число делится на $5$ и $7$, значит, в разложении есть простые множители $5$ и $7$ (оба простые).","Один или несколько множителей еще нужны: по условию их $3$. Самый маленький простой множитель — 2.","$70=2\\cdot 5\\cdot 7$. Ответ: 70."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Найдите наименьшее число, в разложении которого на простые множители ровно $3$ множителей (повторы считаются) и которое делится на $3$ и на $7$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"42"}},"hints":["Число делится на $3$ и $7$, значит, в разложении есть простые множители $3$ и $7$ (оба простые).","Один или несколько множителей еще нужны: по условию их $3$. Самый маленький простой множитель — 2.","$42=2\\cdot 3\\cdot 7$. Ответ: 42."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Иксератопс записал: $45=5\\cdot 9$ — «разложение на простые множители готово». Что верно?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $5$ и $9$ — простые, верно $45=5\\cdot 9$","Ошибка: $5$ тоже раскладывают, верно $45=1\\cdot 5\\cdot 9$","Ошибка: $9$ — составной множитель, верно $45=3\\cdot 3\\cdot 5$","Ошибка: $9$ — составной множитель, верно $45=3\\cdot 3$"],"explanations":["Множитель $9=3\\cdot 3$ составной: разложение не закончено","Число $5$ простое, а 1 простым не считается; $9$ так и остался составным","","Потерян множитель $5$: $3\\cdot 3=9$, а не $45$"],"answer":[2]}},"hints":["В разложении на простые множители каждый множитель простой.","Проверим: $9=3\\cdot 3$ — составное, его можно разложить дальше.","Полное разложение: $45=3\\cdot 3\\cdot 5$. Иксератопс остановился на составном множителе."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Иксератопс записал: $50=5\\cdot 10$ — «разложение на простые множители готово». Что верно?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $5$ и $10$ — простые, верно $50=5\\cdot 10$","Ошибка: $10$ — составной множитель, верно $50=2\\cdot 5$","Ошибка: $10$ — составной множитель, верно $50=2\\cdot 5\\cdot 5$","Ошибка: $5$ тоже раскладывают, верно $50=1\\cdot 5\\cdot 10$"],"explanations":["Множитель $10=2\\cdot 5$ составной: разложение не закончено","Потерян множитель $5$: $2\\cdot 5=10$, а не $50$","","Число $5$ простое, а 1 простым не считается; $10$ так и остался составным"],"answer":[2]}},"hints":["В разложении на простые множители каждый множитель простой.","Проверим: $10=2\\cdot 5$ — составное, его можно разложить дальше.","Полное разложение: $50=2\\cdot 5\\cdot 5$. Иксератопс остановился на составном множителе."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>