Наименьшее общее кратное

В прошлом уроке вы искали наибольший общий делитель — наибольшее число, на которое делятся оба данных числа. Теперь посмотрим с другой стороны: найдем числа, которые сами делятся на оба данных числа, и среди них — наименьшее. Научимся находить его двумя способами: перебором кратных и через разложение на простые множители.

Вопрос, с которого начнем: две линейки положили рядом так, что их нули совпали. На первой отметки нанесены через каждые $4$ см, на второй — через каждые $6$ см. На каком расстоянии от нуля отметки двух линеек впервые снова окажутся друг напротив друга?

Общее кратное делится на оба числа

Выпишем кратные числа $4$ — числа, которые делятся на $4$ без остатка: $4$, $8$, $12$, $16$, $20$, $24$, $28$, $32$, $36$. Теперь кратные числа $6$: $6$, $12$, $18$, $24$, $30$, $36$.

Некоторые числа попали в оба списка: $12$, $24$, $36$. Каждое из них делится и на $4$, и на $6$. Такие числа называют общими кратными.

Списки кратных бесконечны, поэтому общих кратных тоже бесконечно много: после $36$ идут $48$, $60$, $72$ и так далее. Произведение чисел всегда среди них: $4\cdot 6=24$ делится и на $4$, и на $6$. А сумма — не обязательно: $4+6=10$ не делится ни на $4$, ни на $6$.

{"questions":[{"content":"Распределите числа по группам: какие из них кратны $6$, а какие — $9$.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Кратны и 6, и 9","Кратны только 6","Кратны только 9"],"items":[["$18$","$36$","$54$"],["$12$","$24$","$30$"],["$27$","$45$"]]}},"instruction":"Распределите числа по группам","hints":["Число кратно $6$, если делится на $6$ без остатка; кратно $9$ — если делится на $9$.","Кратные $6$ из списка: 12, 18, 24, 30, 36, 54. Кратные $9$: 18, 27, 36, 45, 54.","Ответ: кратны и 6, и 9 — 18, 36, 54; только 6 — 12, 24, 30; только 9 — 27, 45."],"step":1}],"mix":1}

Наименьшее общее кратное — первая общая отметка

Вернемся к линейкам из начала урока. Отметки первой линейки стоят на расстояниях $4$, $8$, $12$, … см от нуля — это кратные $4$. Отметки второй — на $6$, $12$, $18$, … см — кратные $6$. Две отметки окажутся друг напротив друга там, где число делится и на $4$, и на $6$, то есть в общем кратном.

Первая такая отметка — $12$ см: первая линейка доходит до нее за $3$ шага, вторая — за $2$. Дальше совпадения повторяются через каждые $12$ см: $24$, $36$, $48$.

Модель с линейками сразу дает два свойства. Первое: общая отметка не может стоять раньше, чем первый шаг длинной линейки. Значит, НОК не меньше большего из чисел. Второе: все общие отметки повторяются через НОК, поэтому любое общее кратное делится на НОК: $24=12\cdot 2$, $36=12\cdot 3$.

Возьмем линейки с шагами $3$ и $15$. Отметка $15$ первой длинной линейки уже есть на короткой: $15=3\cdot 5$. Совпадение наступает на первом же шаге, и $\text{НОК}(3;\,15)=15$. Если большее число делится на меньшее, то НОК равен большему числу.

{"questions":[{"content":"Найдите $\\text{НОК}(7;\\,42)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"42"}},"hints":["Число $42$ делится на $7$: $42=7\\cdot 6$.","Значит, $42$ — общее кратное, и меньше него общего кратного нет: оно не меньше большего числа.","$\\text{НОК}=42$. Ответ: 42."],"step":1}],"mix":1}

Способ 1: шагаем по длинной линейке

Искать общую отметку удобнее по линейке с большим шагом: ее отметок меньше. На каждой отметке проверяем, делится ли число на меньшее из данных. Первое подходящее число и есть НОК.

Для трех чисел НОК находят по очереди: сначала находим НОК двух из них, затем НОК результата и третьего числа. Например, $\text{НОК}(4;\,6)=12$, а $\text{НОК}(12;\,9)=36$. Значит, $36$ — наименьшее число, которое делится на $4$, $6$ и $9$.

НОК помогает складывать дроби: чтобы сложить $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$, нужен общий знаменатель — число, которое делится и на $4$, и на $6$. Наименьший такой знаменатель — $\text{НОК}(4;\,6)=12$. В следующем модуле это пригодится постоянно.

{"questions":[{"content":"Найдите $\\text{НОК}(6;\\,10)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["НОК — наименьшее число, которое делится и на $6$, и на $10$. Выписываем кратные большего числа: 10, 20, 30.","Находим первое, которое делится на $6$: $30$.","Ответ: 30."],"step":1},{"content":"Найдите наименьшее число, которое делится на $4$, $6$ и $10$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Найдем $\\text{НОК}(4;\\,6)=12$.","Найдем $\\text{НОК}(12;\\,10)=60$.","Число $60$ делится на все три. Ответ: 60."],"step":1}],"mix":1}

Способ 2: собираем множители с наибольшей степенью

Для чисел вроде $36$ и $60$ перебор длинный, а линейку уже не нарисуешь. Здесь модель с линейками заменяет таблица простых множителей. Разложим числа: $36=2^2\cdot 3^2$, $60=2^2\cdot 3\cdot 5$.

НОК делится на $36$, значит, в его разложении есть $2^2$ и $3^2$. НОК делится на $60$, значит, в нем есть $2^2$, $3$ и $5$. Чтобы выполнить оба требования, каждый простой множитель берем в наибольшей степени, которая встречается в разложениях: $2^2$, $3^2$, $5$. Ничего лишнего не добавляем — иначе число не будет наименьшим.

{"questions":[{"content":"Расставьте шаги нахождения $\\text{НОК}$ двух чисел по разложению в правильном порядке.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Разложить каждое число на простые множители","Выписать из полученных разложений каждый простой множитель с наибольшей из его степеней","Перемножить все выписанные множители — получится НОК"]}},"hints":["Сначала нужны разложения: без них не видно, какие простые множители и в каких степенях входят в числа.","Из разложений выбираем каждый простой множитель с наибольшей степенью, затем перемножаем выбранное."],"step":1},{"content":"Иксератопс решил: $\\text{НОК}(20;\\,30)=30$, потому что взял каждый простой множитель один раз. Какое значение верное и как его получить?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["НОК = 30: ошибки нет, каждый простой множитель берем один раз","НОК = 60: каждый простой множитель берем с наибольшей степенью","НОК = 10: берем общие множители с наименьшей степенью","НОК = 600: перемножаем данные числа"],"explanations":["Число 30 не делится на 20: наибольшие степени потеряны","","Это НОД. НОК не меньше большего из чисел (30), а 10 меньше","600 — общее кратное, но не наименьшее: уже 60 делится на оба числа"],"answer":[1]}},"hints":["Разложим: $20=2^2\\cdot 5$, $30=2\\cdot 3\\cdot 5$.","У каждого простого множителя берем наибольшую степень: число должно делиться на оба.","$\\text{НОК}=60$. Иксератопс ошибся."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

НОД и НОК делят множители между собой

Сравним НОД и НОК тех же чисел $12=2^2\cdot 3$ и $18=2\cdot 3^2$. У двойки степени $2$ и $1$: в НОД идет меньшая, в НОК — большая. У тройки степени $1$ и $2$: снова меньшая в НОД, большая в НОК. Каждый множитель из двух разложений попадает ровно в одно из двух чисел.

Поэтому $\text{НОД}(12;\,18)\cdot\text{НОК}(12;\,18)=6\cdot 36=216$ — столько же, сколько $12\cdot 18$. Проверим на линейках из начала урока: $\text{НОД}(4;\,6)=2$, $\text{НОК}(4;\,6)=12$, и $2\cdot 12=24=4\cdot 6$.

У взаимно простых чисел общих простых множителей нет, и при умножении ничего не повторяется. Например, $8=2^3$ и $9=3^2$: $\text{НОК}(8;\,9)=8\cdot 9=72$. На линейках с шагами $8$ и $9$ первое совпадение наступает только через $9$ шагов первой линейки и $8$ шагов второй.

Показать: проверка правила на числах 36 и 60

Скрыть

{"questions":[{"content":"Найдите $\\text{НОК}(9;\\,10)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"90"}},"hints":["Числа $9$ и $10$ взаимно простые: общих простых множителей нет.","У взаимно простых чисел $\\text{НОК}$ равен произведению.","$9\\cdot 10=90$. Ответ: 90."],"step":1},{"content":"Найдите сумму $\\text{НОД}(8;\\,20)+\\text{НОК}(8;\\,20)$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"44"}},"hints":["Разложим: $8=2^3$, $20=2^2\\cdot 5$. НОД берет наименьшие степени, НОК — наибольшие.","$\\text{НОД}=4$, $\\text{НОК}=40$.","$4+40=44$. Ответ: 44."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Часто задаваемые вопросы