6 класс Математика Делимость натуральных чисел Разложение на множители

Разложение на простые множители

Содержание

В уроке про простые и составные числа число было прямоугольником из клеток: составное число складывается в прямоугольник со сторонами больше 1, а простое — только в полоску. Теперь научимся раскладывать составное число на простые множители: делить его столбиком, строить дерево множителей, записывать ответ степенями и проверять умножением.

Вопрос, к которому мы вернемся в третьем разделе: если строить дерево множителей по-разному, получится ли один и тот же ответ?

Разложить — дробить стороны, пока не останутся полоски

Возьмем $12$ клеток и сложим их в прямоугольник $3\times 4$. Получилась запись $12=3\cdot 4$. Сторона $3$ — простое число: ее нельзя сложить в прямоугольник со сторонами больше 1, это полоска. А сторона $4$ — составное число: четыре клетки складываются в квадрат $2\times 2$.

Раздробим сторону $4$ на $2\cdot 2$. Получим $12=3\cdot 2\cdot 2$. Теперь каждый множитель — простое число, и дробить больше нечего. Переставим множители по возрастанию: $12=2\cdot 2\cdot 3$.

12 клеток: прямоугольник 3 × 4, сторона 4 дробится в 2 × 2, запись 12 = 2 · 2 · 3 — 12 = 3 · 4: сторона 4 еще дробится на 2 · 2, сторона 3 — уже полоска; итог 12 = 2 · 2 · 3

Определение

Разложить число на простые множители — записать его в виде произведения простых чисел. Например, $12=2\cdot 2\cdot 3$.

Множитель $1$ в разложение не пишут: $1$ — не простое число, и умножение на него ничего не меняет. Простые множители принято записывать по возрастанию. Само простое число раскладывать не нужно: его разложение — оно само, например $7=7$.

Правило

Разложение закончено, когда каждый множитель — простое число. Проверка разложения — перемножить множители: должно получиться исходное число.

{"questions":[{"content":"При построении дерева множителей получены числа $2$, $5$, $7$, $9$. Какое из них нужно разложить дальше?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2$","$7$","$5$","$9$"],"explanations":["$2$ — простое число, дерево на нем заканчивается","$7$ — простое число, дерево на нем заканчивается","$5$ — простое число, дерево на нем заканчивается",""],"answer":[3]}},"hints":["Лист дерева — простое число: его дальше не раскладывают.","Проверим составное: $9=3\\cdot 3$ — есть делитель, кроме 1 и самого числа.","Раскладывать нужно $9$. Ответ: $9$."],"step":1}],"mix":1}

Делим на простые числа по порядку

Для больших чисел прямоугольник рисовать неудобно. Удобнее отрезать от числа по одному простому множителю. Пробуем делить на простые числа по порядку: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, … На каждое пробуем столько раз, сколько получается без остатка, и только потом переходим к следующему. Помогают признаки делимости на $2$, $3$ и $5$.

Записывают это столбиком. Слева от черты — число и частные, справа — простые делители. Каждое следующее число слева — частное от деления предыдущего на делитель справа. Столбик заканчивается, когда слева получается $1$.

Деление столбиком: 126 = 2 · 3 · 3 · 7, справа простые множители — Справа от черты — простые множители: 126 = 2 · 3 · 3 · 7

Алгоритм

Найдите наименьшее простое число, на которое делится число, и запишите его справа от черты.
Разделите число на него и запишите частное под числом слева.
Повторяйте шаги 1 и 2 с новым частным, пока слева не получится $1$.
Запишите разложение: произведение всех чисел справа от черты. Проверьте умножением.

Пример 1

Разложите на простые множители число $126$.

Шаг 1. $126$ четное: $126:2=63$.

Шаг 2. $63$ на $2$ не делится. Сумма цифр $6+3=9$ делится на $3$: $63:3=21$.

Шаг 3. $21$ снова делится на $3$: $21:3=7$.

Шаг 4. $7$ — простое: $7:7=1$. Слева получилась $1$, столбик закончен.

Проверка. $2\cdot 3\cdot 3\cdot 7=6\cdot 21=126$.

Ответ: $126=2\cdot 3\cdot 3\cdot 7$.

Пример 2

Разложите на простые множители число $150$.

Шаг 1. $150:2=75$. Число $75$ нечетное, на $2$ больше не делим.

Шаг 2. Сумма цифр $7+5=12$ делится на $3$: $75:3=25$.

Шаг 3. $25$ на $3$ не делится, оканчивается на $5$: $25:5=5$, затем $5:5=1$.

Проверка. $2\cdot 3\cdot 5\cdot 5=6\cdot 25=150$.

Ответ: $150=2\cdot 3\cdot 5\cdot 5$.

{"questions":[{"content":"Расставьте шаги разложения числа $198$ на простые множители столбиком.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Делим $198$ на $2$, получаем $99$","Полученное частное $99$ делим на $3$, получаем $33$","Полученное частное $33$ делим на $3$, получаем $11$","Полученное частное $11$ делим на $11$, получаем $1$"]}},"hints":["Начинаем с наименьшего простого делителя самого числа $198$ — оно четное.","Каждый следующий шаг делит частное, полученное на предыдущем шаге: $99$, затем $33$, затем $11$.","$198:2=99$, $99:3=33$, $33:3=11$, $11:11=1$. Значит, $198=2\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 11$."],"step":1},{"content":"$132=$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$2\\cdot 2\\cdot 33$","$2\\cdot 6\\cdot 11$","$2\\cdot 3\\cdot 22$","$2\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 11$"],"answer":3,"placeholder":0}},"hints":["В разложении на простые множители каждый множитель — простое число.","Делим $132$ на простые по порядку: $132=2\\cdot 66$, затем раскладываем составные множители, пока не останутся простые.","Ответ: $132=2\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 11$."],"step":1}],"mix":1}

Деревья разные, а листья одни и те же

Делить по порядку не обязательно. Можно сразу заметить любое удобное произведение и дробить каждый множитель отдельно. Такую запись рисуют деревом множителей: от числа вниз идут две ветки к множителям, от каждого составного множителя — снова две ветки. Ветка заканчивается на простом числе — его называют листом. Это то же дробление сторон прямоугольника, только записанное ветками.

Разложим $120$ двумя способами. Первое дерево: $120=10\cdot 12$, затем $10=2\cdot 5$ и $12=2\cdot 6$, $6=2\cdot 3$. Второе дерево: $120=8\cdot 15$, затем $8=2\cdot 4$, $4=2\cdot 2$ и $15=3\cdot 5$.

Два разных дерева числа 120 дают одни и те же листья 2, 2, 2, 3, 5 — Два разных дерева числа 120 — одни и те же листья: 2, 2, 2, 3, 5

Пример 3

Сравните листья двух деревьев числа $120$.

Первое дерево: листья $2$, $5$, $2$, $2$, $3$. По возрастанию: $2$, $2$, $2$, $3$, $5$.

Второе дерево: листья $2$, $2$, $2$, $3$, $5$.

Проверка. $2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=8\cdot 15=120$.

Ответ: деревья разные, а разложение одно: $120=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$.

Вот ответ на вопрос из начала урока. Как бы вы ни строили дерево, листья получатся одни и те же — меняется только их порядок. Принято считать, что у каждого составного числа есть единственное разложение на простые множители, если не обращать внимания на порядок множителей. Это верно для любого числа. Мы проверили это на примерах, а строгое доказательство сложнее, и здесь мы его не приводим.

Правило

Лист дерева множителей — всегда простое число. Составной множитель — это еще не лист: от него идут две новые ветки.

Разложение числа на простые множители единственно: разные деревья дают одни и те же листья.

Ошибка

Как ошибаются. Строят дерево $12=3\cdot 4$ и останавливаются: «два множителя есть — разложение готово».

Проверка на числах. Произведение верное: $3\cdot 4=12$. Но $4=2\cdot 2$ — у числа $4$ есть делитель $2$, кроме $1$ и самого числа, значит, $4$ — составное. А другой ученик начнет с $12=2\cdot 6$ и получит листья $2$, $2$, $3$. Если бы $3\cdot 4$ было разложением, у числа $12$ оказалось бы два разных разложения.

Где ломается рассуждение. Ветку оборвали на составном множителе. В прямоугольнике это сторона $4$, которая еще складывается в квадрат $2\times 2$. Проверяйте каждый лист: простое ли это число.

Дерево 12 нельзя обрывать на 4: 4 составное и дробится дальше в 2 · 2 — Лист 4 составной — дерево не закончено; верно: 12 = 2 · 2 · 3

Интересный факт

Скрыть

Утверждение о том, что разложение на простые множители единственно, называют основной теоремой арифметики. Близкое утверждение есть уже в «Началах» Евклида (книга IX, предложение 14), а полное доказательство в современном виде опубликовал Карл Фридрих Гаусс в 1801 году в книге «Арифметические исследования».

Теперь потренируйтесь делить столбиком. На каждом шаге выберите наименьшее простое число, на которое делится текущее частное. Возьмем новое число — $180$: сначала угадайте шаг, потом сверьтесь со столбиком. В конце ответьте на вопрос: «$12=3\cdot 4$ — разложение закончено?» Дерево строить не нужно: выбор делителя подсказывает столбик.

m6-razlozhenie-derevo

{"questions":[{"content":"Двое учеников раскладывают число $60$: первый начал с $6\\cdot 10$, второй — с $4\\cdot 15$. Оба довели разложение до простых множителей. Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Разложение одно: листья 6 и 10","Разложение одно: в обоих деревьях листья 2, 2, 3, 5","Разложений два: $5\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 2$ и $2\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 5$","Разложений два: у каждого дерева свои листья"],"explanations":["Числа 6 и 10 составные, дерево на них не заканчивается","","Порядок множителей не создает нового разложения: это одно и то же","Листья одни и те же, меняется только порядок множителей"],"answer":[1]}},"hints":["Первое дерево: $6=2\\cdot 3$, $10=2\\cdot 5$.","Второе: $4=2\\cdot 2$, $15=3\\cdot 5$. Перемножим листья: в обоих случаях получаем $2\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 5$.","Простые множители одни и те же: разложение единственно с точностью до порядка."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Иксератопс записал: $28=4\\cdot 7$ — «разложение на простые множители готово». Что верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибка: $4$ — составной множитель, верно $28=2\\cdot 2\\cdot 7$","Ошибка: $4$ — составной множитель, верно $28=2\\cdot 2$","Ошибки нет: $4$ и $7$ — простые, верно $28=4\\cdot 7$","Ошибка: $7$ тоже раскладывают, верно $28=1\\cdot 7\\cdot 4$"],"explanations":["","Потерян множитель $7$: $2\\cdot 2=4$, а не $28$","Множитель $4=2\\cdot 2$ составной: разложение не закончено","Число $7$ простое, а 1 простым не считается; $4$ так и остался составным"],"answer":[0]}},"hints":["В разложении на простые множители каждый множитель простой.","Проверим: $4=2\\cdot 2$ — составное, его можно разложить дальше.","Полное разложение: $28=2\\cdot 2\\cdot 7$. Иксератопс остановился на составном множителе."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Одинаковые листья собираем в степень

В разложении часто повторяется один и тот же множитель. Например, $252=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 7$: два раза $2$ и два раза $3$. Произведение одинаковых множителей короче записать степенью: $2\cdot 2=2^2$, $3\cdot 3=3^2$. Основание степени — сам множитель, показатель — сколько раз он повторяется.

Листья 2, 2, 3, 3, 7 собираются в степени: 252 = 2² · 3² · 7 — Листья числа 252 по группам: два листа 2, два листа 3 и один лист 7 — 252 = 2² · 3² · 7

Правило

Одинаковые простые множители записывают степенью: основание — множитель, показатель — число его повторов. Множитель, который встречается один раз, пишут без показателя.

Пример 4

Запишите степенями разложение числа $120$ из раздела 3 и восстановите число по записи.

Шаг 1. Листья: $2$, $2$, $2$, $3$, $5$. Множитель $2$ повторяется три раза: $2\cdot 2\cdot 2=2^3$.

Шаг 2. $120=2^3\cdot 3\cdot 5$.

Проверка. $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$, не $2\cdot 3=6$. $8\cdot 3\cdot 5=8\cdot 15=120$.

Ответ: $120=2^3\cdot 3\cdot 5$.

{"questions":[{"content":"$360=$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$2\\cdot 3\\cdot 5$","$2^2\\cdot 3\\cdot 5^3$","$2^2\\cdot 3^2\\cdot 5$","$2^3\\cdot 3^2\\cdot 5$"],"answer":3,"placeholder":0}},"hints":["Одинаковые множители записывают степенью: показатель показывает, сколько раз множитель повторяется.","$360=2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 5$.","Ответ: $360=2^3\\cdot 3^2\\cdot 5$."],"step":1}],"mix":1}

По разложению видно, на что число делится

Разложение — список «полосок», из которых собрано число. Число $210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$. Делится ли оно на $6$? Разложим делитель: $6=2\cdot 3$. Оба множителя $2$ и $3$ есть среди множителей $210$. Значит, $210=6\cdot (5\cdot 7)=6\cdot 35$ — делится.

Делится ли $210$ на $12$? Разложим: $12=2\cdot 2\cdot 3$. Нужно два множителя $2$, а в разложении $210$ двойка одна. Значит, на $12$ число $210$ не делится. Проверка: $210:12=17$ (остаток $6$).

Делимость по разложению: 210 делится на 6, но не делится на 12 — 6 = 2 · 3 целиком находится среди множителей 210, а для 12 = 2 · 2 · 3 не хватает второй двойки

Правило

Число делится на $d$, если каждый простой множитель числа $d$ входит в разложение числа не меньшее число раз.

Пример 5

Делится ли число $120=2^3\cdot 3\cdot 5$ на $12$ и на $9$?

На $12$. $12=2^2\cdot 3$. В $120$ двойка входит три раза ($3\ge 2$), тройка — один раз. Делится: $120:12=10$.

На $9$. $9=3^2$. В $120$ тройка входит один раз, а нужно два. Не делится: $120:9=13$ (остаток $3$).

Ответ: на $12$ делится, на $9$ — нет.

Тот же прием понадобится дальше: в следующих уроках по разложениям двух чисел будем находить их общие делители и общие кратные.

{"questions":[{"content":"Дано число $n=2^2\\cdot 3\\cdot 5\\cdot 7$. На какое из чисел оно делится без остатка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$11$","$9$","$8$","$28$"],"explanations":["$11=11$, а в $n$ множителя $11$ нет","$9=3^2$: множитель $3$ нужен 2 раза, а в $n$ он входит только 1 раз(а)","$8=2^3$: множитель $2$ нужен 3 раза, а в $n$ он входит только 2 раз(а)",""],"answer":[3]}},"hints":["Число делится на $d$, если все множители разложения $d$ входят в разложение числа в не меньшей степени.","$28=2^2\\cdot 7$: все множители есть в $n$.","Остальные числа требуют множитель, которого в $n$ нет, или большую степень. Ответ: $28$."],"step":1},{"content":"Найдите наименьшее число, в разложении которого на простые множители ровно $3$ множителей (повторы считаются) и которое делится на $3$ и на $5$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Число делится на $3$ и $5$, значит, в разложении есть простые множители $3$ и $5$ (оба простые).","Один или несколько множителей еще нужны: по условию их $3$. Самый маленький простой множитель — 2.","$30=2\\cdot 3\\cdot 5$. Ответ: 30."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Разложение на простые множители — основа следующих тем: наибольшего общего делителя, наименьшего общего кратного, сокращения дробей. Чтобы вспомнить главное, представьте число прямоугольником из клеток и дробите стороны, пока все они не станут полосками.

Ответ на вопрос урока: как бы ни строилось дерево, листья у числа одни и те же.

Часто задаваемые вопросы

Как разложить простое число?

Дробить его не нужно: простое число уже является своим разложением, например $13=13$. Дерево такого числа состоит из одного листа.

Почему в разложение не пишут 1?

Число $1$ не простое: у него один делитель. К тому же умножение на $1$ ничего не меняет — если писать единицы, разложений стало бы бесконечно много: $12=1\cdot 2\cdot 2\cdot 3=1\cdot 1\cdot 2\cdot 2\cdot 3$.

С какого произведения начинать дерево?

С любого, которое вы заметили: $120=10\cdot 12$, $120=8\cdot 15$ или $120=2\cdot 60$. Листья все равно получатся одни и те же. Важно только довести каждую ветку до простого числа.

До какого простого числа пробовать делить?

Достаточно проверить простые $p$, для которых $p\cdot p$ не больше числа: если у числа есть делитель больше, то парный ему делитель меньше — его бы уже нашли. Например, для $97$ достаточно проверить $2$, $3$, $5$, $7$: уже $11\cdot 11=121>97$, значит, $97$ — простое.

Как проверить свое разложение?

Два вопроса: все ли множители простые и равно ли их произведение исходному числу. Если хотя бы на один ответ «нет», разложение неверное или не закончено.

Следующий урок

Разложения двух чисел помогают находить общие делители: наибольший общий делитель.

Повторите

Простое число делится только на $1$ и на себя, составное — еще хотя бы на одно число: дополнительные задания по теме — Дополнительные задания по теме.
Число делится на $3$ (на $9$), если сумма его цифр делится на $3$ (на $9$): урок про признаки делимости на 9 и 3.

Тренажер темы

Закрепите разложение на множители: тренажер «Разложение на простые множители».

Награды за урок

Проверим знания по теме?

Разложение на простые множители

Пройти тест