Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Мы уже познакомились с разными видами треугольников, но особое внимание всегда уделяем прямоугольному. Почему именно ему? Потому что именно в нем открывается множество интересных зависимостей между сторонами и углами, которые связаны с пропорциональными отрезками.

Достаточно вспомнить теорему Пифагора — она сразу показывает, какое важное место занимает прямоугольный треугольник в математике.

На сегодняшнем уроке мы увидим новые соотношения, которые возникают в прямоугольном треугольнике благодаря высоте, проведенной из прямого угла к гипотенузе.

Подобные треугольники в прямоугольном треугольнике

Оказывается, если провести в прямоугольном треугольнике высоту к гипотенузе, то на ее основе можно выделить несколько пропорциональных отрезков. Эти связи не менее полезны, чем сама теорема Пифагора, и они помогают нам решать самые разные задачи.

Нам известно, что пропорциональные отрезки можно найти в подобных фигурах. Поэтому, чтобы лучше понимать различную взаимосвязь отрезков прямоугольного треугольника, мы докажем некоторые подобия.

Если в прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла провести высоту к гипотенузе, то она разделит его на два треугольника.
Эти два треугольника подобны между собой, а также подобны исходному прямоугольному треугольнику.

Доказательство

Скрыть

Пусть $\triangle ABC$ прямоугольный, $\angle C = 90^\circ$, $AB$ — гипотенуза. Проведем высоту $CH \perp AB$, $H \in AB$.

Обозначим $\angle A = x$, $\angle B = y$. Сумма острых углов прямоугольника равна $90^\circ$, значит, $x + y = 90^\circ$, $y = 90^\circ -x$, а $x = 90^\circ -y$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ACH$ и $BCH$. У них:

$\angle A = x$ $\Rightarrow$ $\angle ACH = 90^\circ -x = y$, $\angle B = y$ $\Rightarrow$ $\angle BCH = 90^\circ -y = x$.

Теперь сравним попарно углы всех треугольников:

В $\triangle ABC$ углы $x$, $y$ и $90^\circ$;
В $\triangle ACH$ углы $x$, $y$ и $90^\circ$.
Значит, $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ (по двум углам).

В $\triangle BCH$ углы также $x$, $y$ и $90^\circ$.
Следовательно, $\triangle BCH \sim \triangle ABC$ (по двум углам).

Кроме того, $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$ имеют одинаковые острые углы $x$ и $y$, поэтому они тоже подобны между собой.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Выберите пару равных углов в треугольниках $ACH$ и $CBH$.[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\angle AСH = \\angle CBH$","$\\angle HCA = \\angle BCH$","$\\angle BCH = \\angle AHC$","$\\angle BHC = \\angle HCA$"],"answer":[0]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/1-01-27.svg","width":"300"}},"hints":["В каждом из этих треугольников есть прямой угол, и он не может быть равен острому.","Острый угол при вершине $A$ в $\\triangle ACH$ равен острому углу при вершине $C$ в $\\triangle CBH$."]}]}

Проекции катетов и среднее геометрическое

Чтобы нам удобно было двигаться дальше, необходимо ввести некоторые новые определения. Они нужны для понимания условия задач и дальнейшего изучения геометрии.

Данные понятия требуется запомнить, так как в дальнейшем мы столкнемся с ними ни раз.

Если из прямого угла $C$ треугольника $ABC$ опустить высоту $CH$ на гипотенузу $AB$, то точка $H$ будет называться основанием высоты.

Отрезки $AH$ и $BH$ — это проекции катетов на гипотенузу. $AH$ — проекция катета $AC$, а $BH$ — катета $BC$.

Другими словами: точка $C$ проецируется в точку $H$, катет $AC$ — на отрезок $AH$, а катет $BC$ — на отрезок $BH$.

Попробуйте провести такой эксперимент дома и вы увидите такую картину:

Следующее понятие, которое нам будет необходимо — среднее геометрическое.

Из курса алгебры мы знаем, что такое среднее арифметическое двух чисел. Пришло время узнать об их среднем геометрическом. Дадим оба определения.

Если даны два числа $a$ и $b$, то их среднее арифметическое $c = \dfrac{a + b}{2}$, а их среднее геометрическое $d = \sqrt{a \cdot b}$.

{"questions":[{"content":"Как называются отрезки, на которые разбивает гипотенузу основание проведенной к ней высоты?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Проекции катетов на гипотенузу.","Проекции гипотенузы на катеты.","Проекции высоты на гипотенузу.","Проекции высоты на катеты."],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, что получится если посмотреть на прямоугольный треугольник, «стоящий» на гипотенузе, сверху.","Катеты «лягут» на гипотенузу и станут проекцией."]}]}

Выявление сходственных сторон

Итак, мы доказали подобие треугольников. Теперь, чтобы нам составить нужные отношения, которые будут использоваться в решении задач, требуется выявить сходственные стороны.

Для этого отделим $\triangle ACH$ от $\triangle CBH$ и получим такой чертеж:

Развернем $\triangle CBH$ так, чтобы лучше просматривалось подобие:

Теперь хорошо видно сходственные стороны, и мы можем составить нужные нам отношения:

$$ \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{CH}{BH} = \dfrac{AH}{CH}.$$

Выпишем последние два отношения: $ \dfrac{CH}{BH} = \dfrac{AH}{CH}$.

Воспользуемся основным свойством пропорции и получим:

$CH^2 = AH \cdot BH$, то есть $CH = \sqrt{AH \cdot BH}$.

Если вернуться к исходному чертежу, то можно сделать вывод:

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций его катетов:
$CH = \sqrt{AH \cdot BH}$.

Это одно из важных равенств в геометрии, которое используется при решении задач. Потому что довольно часто нужно найти высоту прямоугольного треугольника, зная только его проекции.

Решение

Скрыть

Пусть меньший из отрезков $AH = x \ см$, тогда больший $BH = (x + 5) \ см$.

Так как высота прямоугольного треугольника равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу, то: $CH = \sqrt{AH \cdot BH}$.

Составим уравнение:

$ \sqrt{(x + 5) \cdot x} = 6$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня, и раскроем скобки:

$x^2 + 5x = 36$.

Корни данного уравнения $x_1 = -9$, $x_2 = 4$. За икс мы брали длину отрезка $AH$. Отрицательной длина отрезка быть не может, значит, $AH = 4 \ см$ $\Rightarrow$ $BH = (4 + 5) = 9 \ см$ $\Rightarrow$ $AB = 4 + 9 = 13 \ см$.

Ответ: $AB = 13 \ см$.

{"questions":[{"content":"Какая формула справедлива для высоты прямоугольного треугольника?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$CH = \\sqrt{AH \\cdot BH}$","$CH = \\sqrt{AB \\cdot BH}$","$CH = AH \\cdot BH$","$CH = AB \\cdot BH$"],"answer":[0]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/1-01-27.svg","width":"300"}},"hints":["Вспомните определение среднего геометрического.","Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций его катетов."]}]}

Дополнительная пропорциональность сторон

Благодаря трем парам подобных треугольников, которые мы выявили в первой главе нашего урока, нам даются три различные пропорциональности.

Одну из них, которая касается высоты, выделена отдельной главой, потому что является наиболее важной.

Теперь рассмотрим две оставшиеся.

Вспомним, что $\triangle ACH \sim \triangle ABC$, поэтому получаем такую закономерность:

$AC = \sqrt{AB \cdot AH}$.

А из подобия треугольников $\triangle BCH$ и $triangle ABC$ видна такая закономерность:

$BC = \sqrt{AB \cdot BH}$.

Из чего можно сделать заключение.

Каждый катет равен среднему геометрическому между гипотенузой и своей проекцией на нее.

Данные пропорциональности не очень часто используются в задачах, потому что можно обойтись и без них, тем самым выбрав более долгий путь решения, используя теорему Пифагора.

{"questions":[{"content":"В прямоугольном $\\triangle ABC$ ($\\angle C = 90^\\circ$) проведена высота $CH$ к гипотенузе $AB$.<br />Известно: $AH = 9 \\ см$, $BH = 16 \\ см$.<br />Найдите катеты $AC$ и $BC$.[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$AC = 12 \\ см$, $BC = 15 \\ см$","$AC = 15 \\ см$, $BC = 20 \\ см$","$AC = 9 \\ см$, $BC = 16 \\ см$","$AC = 20 \\ см$, $BC = 25 \\ см$"],"answer":[1]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/11-01-8.svg","width":"300"}},"hints":["Используйте равенства: $AC^2 = AB \\cdot AH$, $BC^2 = AB \\cdot BH$, $AB = AH + BH$.","$AB = 9 + 16 = 25 \\ см$.<br />$AC^2 = AB \\cdot AH = 25 \\cdot 9 = 225 \\Rightarrow AC = 15 \\ см$.<br />$BC^2 = AB \\cdot BH = 25 \\cdot 16 = 400 \\Rightarrow BC = 20 \\ см$.<br /><br />Ответ: $AC = 15 \\ см$, $BC = 20 \\ см$."]}]}

Взаимосвязь высоты с катетами и гипотенузой

Как уже оговаривалось ранее в уроке, нас интересует высота прямоугольного треугольника и то, как ее можно отыскать.

Ведь высота — это перпендикуляр, а перпендикуляр — это расстояние от точки до прямой. Именно такое понятие будет использоваться в стереометрии — разделе геометрии о телах и их объемах, которую изучают позднее.

Поэтому выведем еще одну формулу для нахождения высоты прямоугольного треугольника. Она является более распространенной и проще для восприятия.

В прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и высотой $h$, опущенной на гипотенузу, верно соотношение:
$h = \dfrac{a \cdot b}{c}$.

Доказательство

Скрыть

Площадь прямоугольного треугольника выражается двумя способами:
$S = \dfrac{1}{2} a \cdot b$ (через катеты) и $S = \dfrac{1}{2} c \cdot h$ (через гипотенузу и высоту).

Приравняем площади:

$$\dfrac{1}{2} a \cdot b = \dfrac{1}{2} c \cdot h.$$

Сократим множитель $\dfrac{1}{2}$ и получим:

$$a \cdot b = c \cdot h.$$

Разделим обе части на $c$: $$h = \dfrac{a \cdot b}{c}.$$

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"В прямоугольном треугольнике катеты равны $6 \\ см$ и $8 \\ см$, а гипотенуза $10 \\ см$.<br />Найдите высоту, опущенную из прямого угла на гипотенузу.[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/12-01-4.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$h = 4,8 \\ см$","$h = 1,4 \\ см$","$h = 5 \\ см$","$h = 7,5 \\ см$"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните формулу: $h = \\dfrac{a \\cdot b}{c}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.","Подставьте числа: $h = \\dfrac{6 \\cdot 8}{10} = \\dfrac{48}{10} = 4,8 \\ см$.<br /><br />Ответ: $h = 4,8 \\ см$."]}]}

Это интересно

Еще древние греки заметили любопытное свойство прямоугольного треугольника: если провести из прямого угла высоту на гипотенузу, то стороны и получившиеся отрезки начинают подчиняться особым пропорциям.

Оказалось, что можно не мерить линейкой, а просто сравнивать новые треугольники — и решение находится само собой.

Позже выяснилось, что все это связано с окружностью: любой прямоугольный треугольник можно вписать в окружность, и гипотенуза станет диаметром.

Тогда пропорции между отрезками можно объяснить через пересекающиеся хорды.

Для античных геометров окружность была чем-то вроде универсального инструмента: она помогала находить закономерности там, где другие только разводили руками.

Высоту прямоугольного треугольника в древности использовали как инструмент для вычислений.

Например, чтобы найти квадратный корень, древние математики строили прямоугольный треугольник и проводили в нем высоту.

Получавшийся отрезок оказывался равен нужному корню. Треугольник работал как древний «калькулятор»!

Знания о таких пропорциях не остановились на Греции. Их подхватили математики исламского мира, среди которых был знаменитый ученый ал-Хорезми. Именно через его труды эти идеи дошли до Европы и постепенно стали частью той самой геометрии, которую мы сейчас изучаем.

Часто задаваемые вопросы