8 класс Геометрия Подобные треугольники Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

Отношение площадей подобных треугольников. Свойство биссектрисы треугольника

Содержание

В уроке «Подобные треугольники» вы узнали, что подобный треугольник — это копия с масштабом: углы те же, а все длины в $k$ раз больше или меньше. В уроке «Признаки подобия треугольников» научились доказывать подобие. Сегодня выведем из подобия два следствия: во сколько раз меняется площадь копии и в каком отношении биссектриса треугольника делит противолежащую сторону.

Площадь копии растет быстрее, чем ее стороны

Знак «Уступите дорогу» имеет форму равностороннего треугольника. Его выпускают нескольких размеров, например со стороной 900 мм и со стороной 1200 мм. Сторона большого знака длиннее в $\frac{1200}{900} = \frac{4}{3}$ раза, то есть примерно в 1,33 раза. Во сколько раз больше светоотражающей пленки уйдет на большой знак? Хочется ответить: «Тоже в 1,33 раза». Проверим это на клетках, а точный ответ получим в следующем разделе.

Площадь измеряют мерками: квадрат со стороной 1 — одна единица площади. Включим копир с $k = 2$. Мерка $1 \times 1$ превращается в квадрат $2 \times 2$: он вытянулся в 2 раза вправо и в 2 раза вверх, поэтому вмещает $2 \cdot 2 = 4$ мерки. При $k = 3$ мерка становится квадратом $3 \times 3$ — это 9 мерок.

Мерка 1 на 1 и квадраты со стороной 2 и 3: сторона растёт в k раз, число мерок в k·k раз — Копир с k = 2 превращает одну мерку в 4 мерки, с k = 3 — в 9: площадь растет в k · k раз

С треугольником происходит то же самое. Копию треугольника с $k = 2$ средние линии (урок «Средняя линия») режут на 4 треугольника, равных исходному. Копию с $k = 3$ так же режут на 9 равных треугольников (рисунок).

Копия треугольника с k = 2 разрезается на 4 исходных треугольника, с k = 3 на 9: любая копия складывается из k в квадрате оригиналов — Копия с k = 2 складывается из 4 исходных треугольников, копия с k = 3 — из 9

Копир растягивает каждый кусочек фигуры сразу в двух направлениях. Поэтому площадь растет не в $k$, а в $k \cdot k = k^2$ раз. Для целых $k$ это видно по клеткам. Для $k = \frac{4}{3}$, как у знаков, клетками не обойтись — нужно доказательство.

{"questions":[{"content":"Площадь треугольника $ABC$ равна 5. Подобный ему треугольник имеет коэффициент подобия $k = 3$. Найдите площадь подобного треугольника. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"45"}},"hints":["Площади относятся как $k^2$: $\\dfrac{S_1}{S} = 3^2 = 9$.","$S_1 = 5 \\cdot 9 = 45$."],"step":1}],"mix":1}

Высота копии тоже растет, поэтому площадь растет и по стороне, и по высоте

Для доказательства возьмем формулу площади треугольника, которую вы уже встречали: площадь равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне, $S = \frac{1}{2}ah$. У копии в $k$ раз больше сторона. Покажем, что и высота у нее в $k$ раз больше.

Теорема

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$$\dfrac{S_1}{S}=k^2$$

Здесь $S$ — площадь оригинала, $S_1$ — площадь копии, $k$ — коэффициент подобия копии к оригиналу.

У копии с k = 2 основание и высота вдвое больше, поэтому площадь в k в квадрате раз больше: S1 = ½·ka·kh = k²S — У копии сторона и высота обе в k раз больше, поэтому площадь больше в k² раз

Доказательство

Пусть $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $k$. Проведем высоты $BH$ и $B_1H_1$ к сторонам $AC$ и $A_1C_1$.

Шаг 1. В треугольниках $ABH$ и $A_1B_1H_1$ углы $H$ и $H_1$ прямые, а $\angle A = \angle A_1$, так как углы подобных треугольников равны. По двум углам $\triangle A_1B_1H_1 \sim \triangle ABH$, и коэффициент равен $\frac{A_1B_1}{AB} = k$. Значит, $B_1H_1 = k \cdot BH$.

Шаг 2. По определению коэффициента подобия $A_1C_1 = k \cdot AC$.

Шаг 3. $S_1 = \frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \cdot B_1H_1 = \frac{1}{2} \cdot k \cdot AC \cdot k \cdot BH = k^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = k^2 S$. Что и требовалось доказать.

Если угол $A$ тупой и высота падает на продолжение стороны, в шаге 1 вместо угла $A$ берем смежный с ним угол — он тоже одинаков у оригинала и копии.

Вернемся к знакам. Для них $k = \frac{4}{3}$, поэтому $\frac{S_1}{S} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \approx 1{,}78$. Пленки на большой знак нужно почти в 1,8 раза больше, а не в 1,33. Это видно и без формулы: разделим стороны знаков на части по 300 мм. Малый знак сложится из 9 одинаковых треугольников, большой — из 16 (скругленные углы знаков не учитываем).

Равносторонние знаки со сторонами 900 и 1200 мм: в малом 9 треугольников со стороной 300 мм, в большом 16, плёнки нужно в 16/9 раза больше — Знак со стороной 900 мм — это 9 треугольников со стороной 300 мм, знак со стороной 1200 мм — 16: площадь больше в 16/9 раза

Ошибка

Решавр решает задачу: «Площадь треугольника равна 9. Найдите площадь подобного ему треугольника с $k = 2$». Он пишет: «Стороны в 2 раза больше, значит, $S_1 = 9 \cdot 2 = 18$».

Проверим на мерке. Квадрат $1 \times 1$ при $k = 2$ стал квадратом $2 \times 2$ — в нем 4 мерки, а не 2. Рассуждение сломалось там, где Решавр учел рост только в одном направлении. Копир растягивает фигуру сразу в двух: растут и сторона, и высота. Верно: $S_1 = 9 \cdot 2^2 = 36$.

Ошибка площадь в k раз: при k = 2 в квадрат 2 на 2 помещается 4 мерки, а не 2 — При k = 2 копия мерки вмещает 4 мерки, а «2 мерки» Решавра закрывают только половину копии

Пример

Площадь треугольника равна 8. Найдите площадь подобного ему треугольника с коэффициентом $k = 2{,}5$.

Решение. $\frac{S_1}{S} = k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25$, поэтому $S_1 = 8 \cdot 6{,}25 = 50$. Проверка смысла: $k > 1$, копия больше оригинала — и площадь выросла.

Ответ: 50.

{"questions":[{"content":"Подобный треугольник получен из данного с коэффициентом $k = \\dfrac{1}{2}$. Как изменилась площадь?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Увеличилась в 4 раза","Уменьшилась в 4 раза","Не изменилась","Уменьшилась в 2 раза"],"explanations":["Это было бы при $k = 2$: при $k = \\dfrac{1}{2}$ площадь уменьшается","","Площадь меняется всегда, если $k \\ne 1$","Так меняются длины, а площадь меняется в $k^2$ раз"],"answer":[1]}},"hints":["$\\dfrac{S_1}{S} = k^2 = \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2 = \\dfrac{1}{4}$.","Площадь уменьшилась в 4 раза."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Треугольник подобен данному с $k = 3$, площадь данного равна 7. Решавр: «$S_1 = 7 \\cdot 3 = 21$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/btupvtqqisjv.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Площадь не зависит от $k$","Нужно было разделить: $7 : 3$","Нужно прибавить $k$: $7 + 3 = 10$","Площадь меняется в $k^2$ раз: $S_1 = 7 \\cdot 9 = 63$"],"explanations":["Копия больше, значит, и площадь больше","При $k > 1$ копия больше, площадь растет, а не уменьшается","Площадь меняется умножением, а не прибавлением",""],"answer":[3]}},"hints":["Мерка-квадрат $1 \\times 1$ при $k = 3$ становится $3 \\times 3$ и закрывает 9 клеток, а не 3.","$S_1 = 7 \\cdot 3^2 = 63$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Биссектриса делит сторону в отношении двух других сторон

Теперь второе следствие подобия. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 4$, $BC = 8$ и $AC = 9$. Проведем биссектрису $BD$: она делит угол $B$ пополам, точка $D$ лежит на стороне $AC$. Если начертить такой треугольник и измерить, получится $AD = 3$ и $DC = 6$. Биссектриса не делит сторону пополам: точка $D$ ближе к вершине $A$, у которой прилежащая сторона $AB$ короче. И отношения совпадают: $\frac{AD}{DC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ и $\frac{AB}{BC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Проверьте в модели ниже, что так бывает в любом треугольнике: двигайте вершину $C$ и сравнивайте $AD : DC$ и $AB : BC$.

bissektrisa-otnoshenie

Теорема (свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

$$\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}$$

Отрезок $AD$ прилежит к стороне $AB$ — у них общая вершина $A$, отрезок $DC$ прилежит к стороне $BC$.

Измерения на одном треугольнике — не доказательство. Копира на этом чертеже не видно: треугольники $ABD$ и $CBD$ не подобны, у них разные углы при вершинах $A$ и $C$. Значит, копию нужно достроить. Поможет лемма из урока «Подобные треугольники»: прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

Через C проведена прямая CE, параллельная биссектрисе BD: треугольник AEC подобен ABD, а треугольник BEC равнобедренный — Прямая CE, параллельная биссектрисе BD, достраивает копию: треугольник AEC подобен треугольнику ABD, а BE = BC

Доказательство

Дано: $BD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Доказать: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$.

Шаг 1. Через точку $C$ проведем прямую, параллельную $BD$. Она пересечет продолжение стороны $AB$ за точку $B$ в точке $E$: прямая $CE$ не параллельна $AB$ (она параллельна $BD$, а $BD$ пересекает $AB$ в точке $B$), а точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $BD$.

Шаг 2. Прямая $BD$ параллельна стороне $EC$ треугольника $AEC$, поэтому $\triangle ABD \sim \triangle AEC$. Обозначим коэффициент $k$: $AE = k \cdot AB$ и $AC = k \cdot AD$. Тогда $BE = AE-AB = (k-1) \cdot AB$ и $DC = AC-AD = (k-1) \cdot AD$. Отрезки $BE$ и $DC$ получаются из $AB$ и $AD$ умножением на одно и то же число $k-1$, значит, $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BE}$.

Шаг 3. $\angle BEC = \angle ABD$ как соответственные при $BD \parallel EC$ и секущей $AE$. $\angle BCE = \angle DBC$ как накрест лежащие при секущей $BC$. Но $\angle ABD = \angle DBC$, так как $BD$ — биссектриса. Значит, $\angle BEC = \angle BCE$, треугольник $BEC$ равнобедренный и $BE = BC$.

Шаг 4. Подставим $BE = BC$ в пропорцию шага 2: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$. Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$. Тогда $\\dfrac{AD}{DC} =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{BC}{AB}$","$\\dfrac{AB}{BC}$","$\\dfrac{AB}{AC}$","$1$"],"answer":1}},"hints":["Отрезок $AD$ прилежит к стороне $AB$, отрезок $DC$ — к стороне $BC$.","Каждый отрезок стоит в отношении на том же месте, что и его сторона: $\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{AB}{BC}$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $DC$. Известно, что $AB = 4$, $BC = 10$, $AC = 7$. Найдите $AD$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/aifx9uhv1n3t.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{AB}{BC} = \\dfrac{4}{10}$.","$AD = 7 \\cdot \\dfrac{4}{4 + 10} = 2$."],"step":1}],"mix":1}

Как находить отрезки и стороны по свойству биссектрисы

Свойство биссектрисы удобно читать так: сторона $AC$ делится в том же отношении, что и $AB : BC$. Если $AB : BC = 3 : 2$, то $AC$ состоит из $3 + 2 = 5$ равных частей: $AD$ — три из них, $DC$ — две. Отсюда общая формула $AD = AC \cdot \frac{AB}{AB + BC}$.

Пример 1

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 15$, $BC = 10$, $AC = 20$, $BD$ — биссектриса. Найдите $AD$ и $DC$.

Решение. $AD : DC = AB : BC = 15 : 10 = 3 : 2$. Сторона $AC = 20$ делится на $3 + 2 = 5$ частей по $20 : 5 = 4$. $AD = 3 \cdot 4 = 12$, $DC = 2 \cdot 4 = 8$. Проверка: $12 + 8 = 20$, больший отрезок прилежит к большей стороне $AB$.

Ответ: $AD = 12$, $DC = 8$.

Пример 2: периметр по отрезкам биссектрисы

Скрыть

Биссектриса $BD$ треугольника $ABC$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD = 5$ и $DC = 7$, сторона $AB = 10$. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Решение. $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} = \frac{5}{7}$, поэтому $BC = 10 \cdot \frac{7}{5} = 14$. $AC = 5 + 7 = 12$. $P = 10 + 14 + 12 = 36$.

Ответ: 36.

Ошибка

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 3$, $BC = 7$, $AC = 8$, $BD$ — биссектриса. Решавр записал $\frac{AD}{DC} = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{3}$ и получил $AD = 8 \cdot \frac{7}{10} = 5{,}6$.

Проверим. Тогда $AD = 5{,}6$, $DC = 2{,}4$: больший отрезок оказался у короткой стороны $AB$. На чертеже луч $BD$ с такой точкой $D$ проходит ближе к стороне $BC$ и делит угол $B$ на неравные части. Рассуждение сломалось в отношении: отрезок $AD$ прилежит к стороне $AB$, поэтому они стоят на одном месте — оба в числителе. Верно: $AD = 8 \cdot \frac{3}{10} = 2{,}4$.

Ошибка со сторонами наоборот: верная точка D делит AC в отношении 3 к 7 и AD = 2,4, а точка Решавра D' при AD' = 5,6 делит угол B на неравные части — Если поставить стороны наоборот, точка D уходит к длинной стороне, и BD перестает делить угол B пополам

Обратите внимание

Запомнить порядок помогает равносильная запись $\frac{AD}{AB} = \frac{DC}{BC}$: каждый отрезок делим на свою прилежащую сторону.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$ делит сторону $AC$, $AB = 12$, $BC = 18$, $AD = 8$. Найдите $AC$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/aifx9uhv1n3t.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["$\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{AB}{BC} = \\dfrac{12}{18}$, значит, $DC = 8 \\cdot \\dfrac{18}{12} = 12$.","$AC = AD + DC = 8 + 12 = 20$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 12$, $BD$ — биссектриса. Соотнесите длины сторон $AB$ и $BC$ с длиной отрезка $AD$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AB = 5$, $BC = 10$","$AB = 10$, $BC = 5$","$AB = 9$, $BC = 9$"],"items":["$AD = 4$","$AD = 8$","$AD = 6$","$AD = 5$"]}},"instruction":"Соотнесите стороны и отрезок","hints":["$AD$ — часть стороны $AC$, пропорциональная $AB$: $AD = AC \\cdot \\dfrac{AB}{AB + BC}$.","$12 \\cdot \\dfrac{5}{15} = 4$; $12 \\cdot \\dfrac{10}{15} = 8$; $12 \\cdot \\dfrac{9}{18} = 6$.","Ответ: $AB = 5$, $BC = 10$ — $AD = 4$; $AB = 10$, $BC = 5$ — $AD = 8$; $AB = BC = 9$ — $AD = 6$; $AD = 5$ лишнее."],"step":1},{"content":"[[image-2]]В треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$, $AB = 9$, $BC = 15$, $AC = 16$. Решавр записал $\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{BC}{AB}$ и нашел $AD = 10$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/aifx9uhv1n3t.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Биссектриса делит $AC$ в отношении $AB : AC$","Верно $\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{AB}{BC}$: $AD$ прилежит к $AB$, получается $AD = 6$","Биссектриса делит сторону пополам: $AD = 8$","$AD = 16 \\cdot \\dfrac{9}{15} = 9{,}6$"],"explanations":["Сторона $AC$ сама делится, а в отношении участвуют две другие стороны — $AB$ и $BC$","","Пополам делит медиана, биссектриса — в отношении сторон","Делить нужно на сумму $AB + BC = 24$, а не на $BC$: $AC$ состоит из $9 + 15$ частей"],"answer":[1]}},"hints":["Отрезок $AD$ прилежит к стороне $AB$, отрезок $DC$ — к $BC$.","Верно $\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{AB}{BC} = \\dfrac{9}{15}$, значит, $AD = 16 \\cdot \\dfrac{9}{24} = 6$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Что меняет копир, а что оставляет прежним

Соберем вместе все, что известно о копии с коэффициентом $k$. В последнем столбце — пример при $k = 3$.

Величина	Как меняется у копии	Пример при $k = 3$
Углы	не меняются	$50^\circ \to 50^\circ$
Стороны, высоты	в $k$ раз	$5 \to 15$
Периметр	в $k$ раз	$12 \to 36$
Площадь	в $k^2$ раз	$6 \to 54$
Отношение двух длин, например $AD : DC$	не меняется	$1 : 2 \to 1 : 2$

По таблице можно идти и в обратную сторону. Если известно отношение площадей, это $k^2$, и коэффициент находят извлечением корня. Если известно отношение периметров, это сразу $k$.

Пример 3

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$, $BD : BA = 3 : 4$, площадь треугольника $ABC$ равна 32. Найдите площадь четырехугольника $ADEC$.

Решение. По лемме $\triangle DBE \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $k = \frac{BD}{BA} = \frac{3}{4}$. Значит, $S_{DBE} = 32 \cdot \frac{9}{16} = 18$. Четырехугольник — это треугольник без отсеченной части: $S_{ADEC} = 32-18 = 14$.

Ответ: 14.

{"questions":[{"content":"Треугольник $ABC$ увеличили копиром с коэффициентом $k = 3$, $BD$ — биссектриса, $BH$ — высота. Распределите величины по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Не изменится","Увеличится в 3 раза","Увеличится в 9 раз"],"items":[["Угол $A$","Отношение $AD : DC$"],["Сторона $AB$","Периметр $ABC$","Высота $BH$"],["Площадь $ABC$","Площадь $ABD$"]]}},"instruction":"Распределите величины по группам","hints":["Копия сохраняет углы, поэтому сохраняются и отношения длин.","Каждая длина — сторона, высота, периметр — растет в $k = 3$ раза.","Площадь любого треугольника на чертеже растет в $k^2 = 9$ раз.","Ответ: не изменятся угол $A$ и отношение $AD : DC$; в 3 раза — $AB$, периметр, $BH$; в 9 раз — площади $ABC$ и $ABD$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Площади подобных треугольников равны 8 и 18. Найдите коэффициент подобия $k$ большего треугольника к меньшему. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["1,5","1.5","3/2"]}},"hints":["$k^2 = \\dfrac{18}{8} = \\dfrac{9}{4}$.","$k = \\dfrac{3}{2} = 1{,}5$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Площади подобных треугольников равны 12 и 48. Периметр меньшего равен 10. Найдите периметр большего. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["$k^2 = \\dfrac{48}{12} = 4$, $k = 2$.","Периметры относятся как $k$: $10 \\cdot 2 = 20$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Обе теоремы урока следуют из подобия. Чтобы быстро вспомнить главное, представьте копир.

Еще разобранные задачи на площади подобных треугольников — в уроке «Отношение площадей подобных треугольников». В следующем уроке «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» высота прямоугольного треугольника разрежет его на две копии.

Часто задаваемые вопросы

Всегда ли биссектриса делит сторону на неравные части?

Нет. Если $AB = BC$, то $\frac{AD}{DC} = 1$ и $AD = DC$. Это равнобедренный треугольник с основанием $AC$: в нем биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой. Во всех остальных случаях части разные.

Как понять, какая часть стороны больше?

Больше та часть, которая прилежит к большей стороне. Если $AB < BC$, то и $AD < DC$. Это удобная проверка ответа: если больший отрезок оказался у меньшей стороны, стороны в отношении перепутаны.

Площади относятся как 1 : 4. Чему равен коэффициент подобия?

Отношение площадей — это $k^2$, поэтому $k^2 = 4$ и $k = 2$ для большего треугольника к меньшему. Для меньшего к большему $k = \frac{1}{2}$. Ответ «4» — главная ошибка урока: так получилось бы отношение площадей, а не длин.

Награды за урок