Подобие треугольников

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В треугольниках $ABC$ и $KLM$ равны углы: $\\angle A = \\angle L$, $\\angle B = \\angle M$. Известно: $AB = 5$, $BC = 8$, $LM = 15$. Решавр: «$\\triangle ABC \\sim \\triangle KLM$ по двум углам; $BC$ и $LM$ стоят в записи на одном месте, значит, они сходственные и $k = \\dfrac{15}{8}$». Найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сходственны $AB$ и $LM$ — они против равных углов $C$ и $K$, поэтому $k = 3$","Ошибки нет: стороны на одинаковых местах в записи всегда сходственны","Подобие не доказано: известны только два угла из трех","Сходственны $AC$ и $LM$, поэтому $k$ найти нельзя"],"explanations":["","Запись $KLM$ не повторяет пары равных углов ($A$ — с $L$, а не с $K$), поэтому места в ней ничего не говорят","По I признаку двух пар равных углов достаточно — третьи углы равны автоматически","$AC$ лежит против угла $B$, ему равен угол $M$, а против $M$ лежит $KL$, а не $LM$"],"answer":[0]}},"hints":["Сходственные стороны лежат против равных углов; порядок букв в записи подобия обязан повторять пары равных углов.","$\\angle A = \\angle L$, $\\angle B = \\angle M$, значит, и $\\angle C = \\angle K$; верная запись — $\\triangle ABC \\sim \\triangle LMK$. Сторона $LM$ лежит против угла $K$, а против равного ему угла $C$ — сторона $AB$.","Ответ: сходственны $AB$ и $LM$, $k = \\dfrac{15}{5} = 3$; например, $MK = 3 \\cdot BC = 24$."],"step":1},{"id":"1","content":"В треугольниках $DEF$ и $PQR$ равны углы: $\\angle D = \\angle Q$, $\\angle E = \\angle R$. Известно: $DE = 4$, $EF = 7$, $QR = 10$. Решавр: «$\\triangle DEF \\sim \\triangle PQR$ по двум углам; $EF$ и $QR$ стоят в записи на одном месте, значит, они сходственные и $k = \\dfrac{10}{7}$». Найдите ошибку.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Сходственны $DE$ и $QR$ — они против равных углов $F$ и $P$, поэтому $k = 2{,}5$","Подобие не доказано: известны только два угла из трех","Ошибки нет: стороны на одинаковых местах в записи всегда сходственны","Сходственны $DF$ и $QR$, поэтому $k$ найти нельзя"],"explanations":["","По I признаку двух пар равных углов достаточно — третьи углы равны автоматически","Запись $PQR$ не повторяет пары равных углов ($D$ — с $Q$, а не с $P$), поэтому места в ней ничего не говорят","$DF$ лежит против угла $E$, ему равен угол $R$, а против $R$ лежит $PQ$, а не $QR$"],"answer":[0]}},"hints":["Сходственные стороны лежат против равных углов; порядок букв в записи подобия обязан повторять пары равных углов.","$\\angle D = \\angle Q$, $\\angle E = \\angle R$, значит, и $\\angle F = \\angle P$; верная запись — $\\triangle DEF \\sim \\triangle QRP$. Сторона $QR$ лежит против угла $P$, а против равного ему угла $F$ — сторона $DE$.","Ответ: сходственны $DE$ и $QR$, $k = \\dfrac{10}{4} = 2{,}5$; например, $RP = 2{,}5 \\cdot EF = 17{,}5$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ отрезок $DE \\parallel AC$, точка $D$ лежит на $AB$, точка $E$ — на $BC$. Известно: $BD = 4$, $DA = 6$, $DE = 6$, $BE = 5$. Сопоставьте величину и ее значение. Два значения лишние.[[matcher-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/mf1wwodzbplc.svg"},"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$k = \\dfrac{BD}{BA}$","$AC$","$BC$","$EC$"],"items":["$0{,}4$","$15$","$12{,}5$","$7{,}5$","$\\dfrac{2}{3}$","$9$"]}},"instruction":"Соотнесите величину и ее значение","hints":["$DE \\parallel AC$: угол $B$ общий, $\\angle BDE = \\angle BAC$ как соответственные, значит, $\\triangle DBE \\sim \\triangle ABC$. Коэффициент — отношение стороны малого треугольника к сходственной стороне большого: $k = \\dfrac{BD}{BA} = \\dfrac{4}{4 + 6} = 0{,}4$ (не $\\dfrac{BD}{DA}$: $DA$ — не сторона треугольника).","Стороны большого треугольника — стороны малого, деленные на $k$: $AC = \\dfrac{DE}{0{,}4}$, $BC = \\dfrac{BE}{0{,}4}$; отрезок $EC = BC-BE$.","Ответ: $k = 0{,}4$; $AC = 15$; $BC = 12{,}5$; $EC = 7{,}5$. Лишние: $\\dfrac{2}{3}$ — это $BD : DA$, а $9$ получится, если найти $AC$ с этим неверным отношением."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-2]]В треугольнике $ABC$ отрезок $DE \\parallel AC$, точка $D$ лежит на $AB$, точка $E$ — на $BC$. Известно: $BD = 3$, $DA = 9$, $DE = 5$, $BE = 4$. Сопоставьте величину и ее значение. Два значения лишние.[[matcher-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/sdmn9nc4u8ql.svg"},"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$k = \\dfrac{BD}{BA}$","$AC$","$BC$","$EC$"],"items":["$0{,}25$","$20$","$16$","$12$","$\\dfrac{1}{3}$","$15$"]}},"instruction":"Соотнесите величину и ее значение","hints":["$DE \\parallel AC$: угол $B$ общий, $\\angle BDE = \\angle BAC$ как соответственные, значит, $\\triangle DBE \\sim \\triangle ABC$. Коэффициент — отношение стороны малого треугольника к сходственной стороне большого: $k = \\dfrac{BD}{BA} = \\dfrac{3}{3 + 9} = 0{,}25$ (не $\\dfrac{BD}{DA}$: $DA$ — не сторона треугольника).","Стороны большого треугольника — стороны малого, деленные на $k$: $AC = \\dfrac{DE}{0{,}25}$, $BC = \\dfrac{BE}{0{,}25}$; отрезок $EC = BC-BE$.","Ответ: $k = 0{,}25$; $AC = 20$; $BC = 16$; $EC = 12$. Лишние: $\\dfrac{1}{3}$ — это $BD : DA$, а $15$ получится, если найти $AC$ с этим неверным отношением."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $ABC$: $AB = 4$, $BC = 6$, $\\angle B = 50^\\circ$. В треугольнике $MNK$: $MN = 6$, $MK = 9$, $\\angle N = 50^\\circ$. Решавр: «$\\dfrac{MN}{AB} = \\dfrac{MK}{BC} = 1{,}5$ и углы по $50^\\circ$ равны, значит, треугольники подобны по второму признаку». Найдите ошибку.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Отношения сторон не равны","Подобны по I признаку: углы по $50^\\circ$ равны, а стороны пропорциональны","Признак требует все три стороны, двух мало","Угол $N$ не лежит между сторонами $MN$ и $MK$ — II признак неприменим"],"explanations":["$\\dfrac{6}{4} = \\dfrac{9}{6} = 1{,}5$ — отношения равны; ошибка в положении угла","Для I признака нужны две пары равных углов, здесь известна одна; пропорциональность сторон в I признак не входит","Это III признак; II признак обходится двумя сторонами, но с углом между ними",""],"answer":[3]}},"hints":["II признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и **углы между этими сторонами** равны, то треугольники подобны.","В $\\triangle ABC$ угол $B$ лежит между сторонами $AB$ и $BC$. В $\\triangle MNK$ между сторонами $MN$ и $MK$ лежит угол $M$, а угол $N$ — нет.","Ответ: II признак здесь неприменим, из этих данных подобие не следует."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $DEF$: $DE = 5$, $EF = 8$, $\\angle E = 40^\\circ$. В треугольнике $PQR$: $PQ = 10$, $PR = 16$, $\\angle Q = 40^\\circ$. Решавр: «$\\dfrac{PQ}{DE} = \\dfrac{PR}{EF} = 2$ и углы по $40^\\circ$ равны, значит, треугольники подобны по второму признаку». Найдите ошибку.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Отношения сторон не равны","Подобны по I признаку: углы по $40^\\circ$ равны, а стороны пропорциональны","Признак требует все три стороны, двух мало","Угол $Q$ не лежит между сторонами $PQ$ и $PR$ — II признак неприменим"],"explanations":["$\\dfrac{10}{5} = \\dfrac{16}{8} = 2$ — отношения равны; ошибка в положении угла","Для I признака нужны две пары равных углов, здесь известна одна; пропорциональность сторон в I признак не входит","Это III признак; II признак обходится двумя сторонами, но с углом между ними",""],"answer":[3]}},"hints":["II признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и **углы между этими сторонами** равны, то треугольники подобны.","В $\\triangle DEF$ угол $E$ лежит между сторонами $DE$ и $EF$. В $\\triangle PQR$ между сторонами $PQ$ и $PR$ лежит угол $P$, а угол $Q$ — нет.","Ответ: II признак здесь неприменим, из этих данных подобие не следует."],"step":1},{"id":"4","content":"Разделите пары фигур на две группы: подобие доказано и подобие из данных не следует.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Подобие доказано","Подобие из данных не следует"],"items":[["Стороны $4,\\ 6,\\ 9$ и $12,\\ 18,\\ 8$","Равнобедренные, углы при вершине по $40^\\circ$","Углы $35^\\circ$ и $85^\\circ$ и углы $60^\\circ$ и $85^\\circ$","<span>$AB = 3$, $AC = 5$, $\\angle A = 70^\\circ$<br>и $MN = 6$, $MK = 10$, $\\angle M = 70^\\circ$</span>"],["Стороны $4,\\ 6,\\ 8$ и $6,\\ 9,\\ 10$","Равнобедренные с боковыми сторонами $5$ и $10$","Квадрат со стороной $5$ и ромб со стороной $10$"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Для каждой пары подберите признак: I — два угла; II — две стороны пропорциональны и угол **между ними** равен; III — три стороны пропорциональны (меньшая к меньшей, большая к большей).","Стороны $12, 18, 8$ упорядочьте: $8, 12, 18$ — это $4, 6, 9$, умноженные на $2$. Третий угол $180^\\circ-35^\\circ-85^\\circ = 60^\\circ$. $\\dfrac{MN}{AB} = \\dfrac{6}{3} = \\dfrac{MK}{AC} = \\dfrac{10}{5} = 2$, и угол $70^\\circ$ лежит **между** этими сторонами — II признак. У равнобедренных с углом при вершине $40^\\circ$ углы при основании по $70^\\circ$ — I признак. А $\\dfrac{6}{4} = \\dfrac{9}{6}$, но $\\dfrac{10}{8}$ другое; у равнобедренных с боковыми $5$ и $10$ угол при вершине может быть любым.","Подобие доказано: $4, 6, 9$ и $12, 18, 8$ (III); равнобедренные с углами при вершине $40^\\circ$ (I); углы $35^\\circ, 85^\\circ$ и $60^\\circ, 85^\\circ$ (I); $AB = 3$, $AC = 5$, $\\angle A = 70^\\circ$ и $MN = 6$, $MK = 10$, $\\angle M = 70^\\circ$ (II). Не следует: $4, 6, 8$ и $6, 9, 10$; равнобедренные с боковыми $5$ и $10$ (углы неизвестны); квадрат и ромб — у ромба углы могут быть не прямыми."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Разделите пары фигур на две группы: подобие доказано и подобие из данных не следует.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Подобие доказано","Подобие из данных не следует"],"items":[["Стороны $6,\\ 7,\\ 10$ и $15,\\ 9,\\ 10{,}5$","Равнобедренные, углы при основании по $70^\\circ$","Углы $48^\\circ$ и $67^\\circ$ и углы $65^\\circ$ и $48^\\circ$","<span>$AB = 4$, $AC = 7$, $\\angle A = 55^\\circ$<br>и $KL = 12$, $KM = 21$, $\\angle K = 55^\\circ$</span>"],["Стороны $5,\\ 6,\\ 9$ и $10,\\ 12,\\ 15$","Равнобедренные с основаниями $4$ и $8$","Квадрат со стороной $7$ и ромб со стороной $14$"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Для каждой пары подберите признак: I — два угла; II — две стороны пропорциональны и угол **между ними** равен; III — три стороны пропорциональны (меньшая к меньшей, большая к большей).","Стороны $15, 9, 10{,}5$ упорядочьте: $9, 10{,}5, 15$ — это $6, 7, 10$, умноженные на $1{,}5$. Третий угол $180^\\circ-48^\\circ-67^\\circ = 65^\\circ$. $\\dfrac{KL}{AB} = \\dfrac{12}{4} = \\dfrac{KM}{AC} = \\dfrac{21}{7} = 3$, и угол $55^\\circ$ лежит **между** этими сторонами — II признак. У равнобедренных с углами при основании $70^\\circ$ угол при вершине $40^\\circ$ — I признак. А $\\dfrac{10}{5} = \\dfrac{12}{6}$, но $\\dfrac{15}{9}$ другое; у равнобедренных с основаниями $4$ и $8$ боковые стороны могут быть любыми.","Подобие доказано: $6, 7, 10$ и $15, 9, 10{,}5$ (III); равнобедренные с углами при основании $70^\\circ$ (I); углы $48^\\circ, 67^\\circ$ и $65^\\circ, 48^\\circ$ (I); $AB = 4$, $AC = 7$, $\\angle A = 55^\\circ$ и $KL = 12$, $KM = 21$, $\\angle K = 55^\\circ$ (II). Не следует: $5, 6, 9$ и $10, 12, 15$; равнобедренные с основаниями $4$ и $8$ (углы неизвестны); квадрат и ромб — у ромба углы могут быть не прямыми."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Площади двух подобных треугольников равны $75$ и $27$. Сторона большего треугольника равна $20$. Найдите сходственную ей сторону меньшего треугольника. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента: $k^2 = \\dfrac{27}{75} = \\dfrac{9}{25}$.","Значит, $k = \\dfrac{3}{5}$ — стороны меньшего треугольника составляют $\\dfrac{3}{5}$ сторон большего.","$20 \\cdot \\dfrac{3}{5} = 12$. Ответ: $12$."],"step":1},{"id":"5","content":"Площади двух подобных треугольников равны $72$ и $50$. Сторона большего треугольника равна $18$. Найдите сходственную ей сторону меньшего треугольника. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента: $k^2 = \\dfrac{50}{72} = \\dfrac{25}{36}$.","Значит, $k = \\dfrac{5}{6}$ — стороны меньшего треугольника составляют $\\dfrac{5}{6}$ сторон большего.","$18 \\cdot \\dfrac{5}{6} = 15$. Ответ: $15$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-3]]В треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$, $AB = 8$, $BC = 14$, $AC = 11$. Решавр: «$\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{14}{8}$, значит, $AD = 11 \\cdot \\dfrac{14}{22} = 7$». Найдите ошибку: на самом деле $AD =$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/rmhqdwweauae.svg"},"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{44}{7}$ — $\\dfrac{AD}{AC} = \\dfrac{AB}{BC}$","$7$ — Решавр решил верно","$4$ — отрезок $AD$ прилежит к стороне $AB$","$5{,}5$ — биссектриса делит $AC$ пополам"],"answer":2}},"hints":["Биссектриса $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{AB}{BC}$ ($AD$ прилежит к $AB$, $DC$ — к $BC$).","У Решавра стороны стоят наоборот: к отрезку $AD$ он поставил дальнюю сторону $BC$. Верно $AD : DC = 8 : 14$, то есть $AD$ — это $8$ частей из $22$.","$AD = 11 \\cdot \\dfrac{8}{22} = 4$. Проверка: $DC = 7$, $\\dfrac{4}{7} = \\dfrac{8}{14}$. Ответ: $4$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-4]]В треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$, $AB = 6$, $BC = 10$, $AC = 12$. Решавр: «$\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{10}{6}$, значит, $AD = 12 \\cdot \\dfrac{10}{16} = 7{,}5$». Найдите ошибку: на самом деле $AD =$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tmblh0hyc5h5.svg"},"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$4{,}5$ — отрезок $AD$ прилежит к стороне $AB$","$6$ — биссектриса делит $AC$ пополам","$7{,}2$ — $\\dfrac{AD}{AC} = \\dfrac{AB}{BC}$","$7{,}5$ — Решавр решил верно"],"answer":0}},"hints":["Биссектриса $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{AB}{BC}$ ($AD$ прилежит к $AB$, $DC$ — к $BC$).","У Решавра стороны стоят наоборот: к отрезку $AD$ он поставил дальнюю сторону $BC$. Верно $AD : DC = 6 : 10$, то есть $AD$ — это $6$ частей из $16$.","$AD = 12 \\cdot \\dfrac{6}{16} = 4{,}5$. Проверка: $DC = 7{,}5$, $\\dfrac{4{,}5}{7{,}5} = \\dfrac{6}{10}$. Ответ: $4{,}5$."],"step":1},{"id":"7","content":"В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\\angle C = 90^\\circ$) высота $CH$ делит гипотенузу на отрезки $AH = 3$ и $BH = 48$. Решавр: «$CH = AH \\cdot BH = 144$». Найдите ошибку.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Надо взять полусумму: $CH = \\dfrac{3 + 48}{2} = 25{,}5$","Надо взять разность: $CH = 48-3 = 45$","Ошибки нет: $CH = 144$","Произведению равен квадрат высоты: $CH = \\sqrt{144} = 12$"],"explanations":["Полусумма — это медиана к гипотенузе (половина $AB$); высота — среднее пропорциональное, а не среднее арифметическое","Разность отрезков с высотой не связана; из подобия следует $CH^2 = AH \\cdot BH$","Высота не может быть длиннее гипотенузы $AB = 51$; произведению отрезков равен квадрат высоты",""],"answer":[3]}},"hints":["Из подобия $\\triangle ACH \\sim \\triangle CBH$: $\\dfrac{CH}{AH} = \\dfrac{BH}{CH}$, то есть $CH^2 = AH \\cdot BH$ — высота есть среднее пропорциональное отрезков.","$CH^2 = 3 \\cdot 48 = 144$ — это квадрат высоты, а не сама высота.","Ответ: $CH = \\sqrt{144} = 12$."],"step":1},{"id":"7","content":"В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\\angle C = 90^\\circ$) высота $CH$ делит гипотенузу на отрезки $AH = 2$ и $BH = 50$. Решавр: «$CH = AH \\cdot BH = 100$». Найдите ошибку.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Произведению равен квадрат высоты: $CH = \\sqrt{100} = 10$","Надо взять полусумму: $CH = \\dfrac{2 + 50}{2} = 26$","Ошибки нет: $CH = 100$","Надо взять разность: $CH = 50-2 = 48$"],"explanations":["","Полусумма — это медиана к гипотенузе (половина $AB$); высота — среднее пропорциональное, а не среднее арифметическое","Высота не может быть длиннее гипотенузы $AB = 52$; произведению отрезков равен квадрат высоты","Разность отрезков с высотой не связана; из подобия следует $CH^2 = AH \\cdot BH$"],"answer":[0]}},"hints":["Из подобия $\\triangle ACH \\sim \\triangle CBH$: $\\dfrac{CH}{AH} = \\dfrac{BH}{CH}$, то есть $CH^2 = AH \\cdot BH$ — высота есть среднее пропорциональное отрезков.","$CH^2 = 2 \\cdot 50 = 100$ — это квадрат высоты, а не сама высота.","Ответ: $CH = \\sqrt{100} = 10$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-5]]В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\\angle C = 90^\\circ$) высота $CH = 48$, отрезок $AH = 36$. Найдите катет $BC$. [[input-3]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/a7jxyecbaudb.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"80"}},"hints":["Сначала вторая проекция: $CH^2 = AH \\cdot BH$, $BH = \\dfrac{48^2}{36} = \\dfrac{2304}{36} = 64$; гипотенуза $AB = 36 + 64 = 100$.","Катет — среднее пропорциональное гипотенузы и **своей** проекции: проекция катета $BC$ на гипотенузу — отрезок $BH$, поэтому $BC^2 = AB \\cdot BH$.","$BC^2 = 100 \\cdot 64 = 6400$, $BC = 80$. Ответ: $80$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-6]]В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\\angle C = 90^\\circ$) высота $CH = 36$, отрезок $AH = 48$. Найдите катет $BC$. [[input-4]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fx0fv8iehvrd.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"45"}},"hints":["Сначала вторая проекция: $CH^2 = AH \\cdot BH$, $BH = \\dfrac{36^2}{48} = \\dfrac{1296}{48} = 27$; гипотенуза $AB = 48 + 27 = 75$.","Катет — среднее пропорциональное гипотенузы и **своей** проекции: проекция катета $BC$ на гипотенузу — отрезок $BH$, поэтому $BC^2 = AB \\cdot BH$.","$BC^2 = 75 \\cdot 27 = 2025$, $BC = 45$. Ответ: $45$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Дерево отбрасывает тень $6$ м. В тот же час вертикальная метровая линейка отбрасывает тень $0{,}8$ м. Решавр: «Каждый метр высоты дает $0{,}8$ м тени, значит, высота дерева $6 \\cdot 0{,}8 = 4{,}8$ м». Найдите ошибку.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Надо прибавить разность: $H = 6 + 0{,}2 = 6{,}2$ м","Высота равна тени: $H = 6$ м","Надо делить $0{,}8$ на $6$: $H \\approx 0{,}13$ м","Тень надо делить на $0{,}8$: $H = 7{,}5$ м"],"explanations":["У подобных треугольников равны отношения, а не разности: $\\dfrac{H}{6} = \\dfrac{1}{0{,}8}$","Высота равна тени только при тени линейки $1$ м; здесь высота в $1 : 0{,}8 = 1{,}25$ раза больше тени","Отношение «высота : тень» у дерева и линейки одно и то же: $\\dfrac{H}{6} = \\dfrac{1}{0{,}8}$, а не $\\dfrac{H}{1} = \\dfrac{0{,}8}{6}$; дерево ниже метровой линейки — абсурд",""],"answer":[3]}},"hints":["Солнечные лучи параллельны, предмет и линейка вертикальны: треугольники «предмет — тень» подобны, высота относится к тени одинаково.","$\\dfrac{H}{6} = \\dfrac{1}{0{,}8}$: тень линейки короче самой линейки, значит, и дерево выше своей тени. Решавр умножил тень на $0{,}8$ — получил высоту меньше тени.","$H = 6 : 0{,}8 = 7{,}5$ м. Ответ: $7{,}5$ м."],"step":1},{"id":"9","content":"Башня отбрасывает тень $10{,}8$ м. В тот же час вертикальная метровая линейка отбрасывает тень $1{,}2$ м. Решавр: «Каждый метр высоты дает $1{,}2$ м тени, значит, высота башни $10{,}8 \\cdot 1{,}2 = 12{,}96$ м». Найдите ошибку.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Тень надо делить на $1{,}2$: $H = 9$ м","Надо делить $1{,}2$ на $10{,}8$: $H \\approx 0{,}11$ м","Надо вычесть разность: $H = 10{,}8-0{,}2 = 10{,}6$ м","Высота равна тени: $H = 10{,}8$ м"],"explanations":["","Отношение «высота : тень» у башни и линейки одно и то же: $\\dfrac{H}{10{,}8} = \\dfrac{1}{1{,}2}$, а не $\\dfrac{H}{1} = \\dfrac{1{,}2}{10{,}8}$; башня ниже метровой линейки — абсурд","У подобных треугольников равны отношения, а не разности: $\\dfrac{H}{10{,}8} = \\dfrac{1}{1{,}2}$","Высота равна тени только при тени линейки $1$ м; здесь тень в $1{,}2$ раза длиннее высоты"],"answer":[0]}},"hints":["Солнечные лучи параллельны, предмет и линейка вертикальны: треугольники «предмет — тень» подобны, высота относится к тени одинаково.","$\\dfrac{H}{10{,}8} = \\dfrac{1}{1{,}2}$: тень линейки длиннее самой линейки, значит, и башня ниже своей тени. Решавр умножил тень на $1{,}2$ — получил высоту больше тени.","$H = 10{,}8 : 1{,}2 = 9$ м. Ответ: $9$ м."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-7]]Фонарь закреплен на столбе на высоте $5{,}1$ м. Человек ростом $1{,}7$ м стоит в $9$ м от столба. Найдите длину тени человека в метрах. [[input-5]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/cqla7uq2rwlf.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":["4,5","4.5"]}},"hints":["Луч от фонаря через макушку человека заканчивается в конце тени. Треугольник «человек — его тень» подобен треугольнику «столб — расстояние от столба до конца тени» (общий угол при конце тени, оба прямоугольные).","Катет большого треугольника — не $9$ м, а $9 + x$, где $x$ — тень: $\\dfrac{x}{9 + x} = \\dfrac{1{,}7}{5{,}1} = \\dfrac{1}{3}$.","$3x = 9 + x$, $x = 4{,}5$ м. Ответ: $4{,}5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-8]]Фонарь закреплен на столбе на высоте $6{,}3$ м. Человек ростом $1{,}8$ м стоит в $10$ м от столба. Найдите длину тени человека в метрах. [[input-6]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/2ohkgtm03qed.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Луч от фонаря через макушку человека заканчивается в конце тени. Треугольник «человек — его тень» подобен треугольнику «столб — расстояние от столба до конца тени» (общий угол при конце тени, оба прямоугольные).","Катет большого треугольника — не $10$ м, а $10 + x$, где $x$ — тень: $\\dfrac{x}{10 + x} = \\dfrac{1{,}8}{6{,}3} = \\dfrac{2}{7}$.","$7x = 20 + 2x$, $x = 4$ м. Ответ: $4$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>