8 класс Геометрия Подобные треугольники Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

Подобие в задачах: высота по тени и измерения на местности

Содержание

В уроке «Подобные треугольники» подобие сравнивалось с копиром: копия получается умножением всех длин на одно число $k$, а углы не меняются. В уроке «Признаки подобия треугольников» выяснилось, что для подобия треугольников достаточно двух пар равных углов. Теперь применим копир к измерениям: найдем высоту дерева по тени, ширину реки, высоту по отражению в зеркале, отрезки диагоналей трапеции и соберем общий алгоритм.

Вопрос на конец урока: как Фалес Милетский измерил высоту египетской пирамиды, не поднимаясь на нее?

Солнце копирует треугольник шеста

Солнечный день. Вертикальный шест высотой $h = 2$ м отбрасывает тень $l = 2{,}5$ м. В тот же момент тень дерева $L = 15$ м. Найдем высоту дерева $H$, не залезая на него.

Соединим верхушку шеста с концом его тени — получится прямоугольный треугольник «шест — тень». Так же построим треугольник «дерево — тень». Солнце очень далеко, поэтому его лучи можно считать параллельными: к земле они наклонены под одним и тем же углом.

Шест высотой 2 с тенью 2,5 и дерево с тенью 15 на ровной земле при параллельных солнечных лучах: высота дерева 12 — Параллельные лучи дают равные углы при концах теней: треугольник дерева — копия треугольника шеста с k = 15 : 2,5 = 6

У двух треугольников прямые углы у основания и равные углы при концах теней. По первому признаку (по двум углам) они подобны. Солнце работает как копир: треугольник дерева — копия треугольника шеста. Коэффициент находим по паре, где известны обе длины, — по теням. Высоты лежат против равных углов при концах теней, значит, они сходственные и связаны тем же $k$.

Правило

Тени измерены в один момент. Высота предмета во столько же раз больше высоты шеста, во сколько раз его тень длиннее тени шеста:

Пример 1

Шест $h = 2$ м, его тень $l = 2{,}5$ м, тень дерева $L = 15$ м. Найдите высоту дерева.

Решение. Треугольники «шест — тень» и «дерево — тень» подобны по двум углам. Копия — дерево, оригинал — шест: $k = \dfrac{L}{l} = \dfrac{15}{2{,}5} = 6$. Высота дерева $H = k \cdot h = 6 \cdot 2 = 12$ м. Проверка: тень дерева длиннее тени шеста, и дерево выше шеста.

Ответ: 12 м.

vysota-po-teni

Ошибка

Решавр решает ту же задачу так: «$H = \dfrac{2 \cdot 2{,}5}{15} = \dfrac{1}{3}$ м».

Проверка. Тень дерева в 6 раз длиннее тени шеста, а дерево получилось в 6 раз ниже шеста. Нарисуем такое дерево: луч к его верхушке почти лежит на земле и совсем не параллелен лучу к верхушке шеста. Копии не вышло.

Где сломалось. Решавр поделил высоту шеста на $k$ вместо умножения, то есть взял $\dfrac{1}{k} = \dfrac{l}{L}$. Отношение «копия к оригиналу» составляют из длин одного рода: тень дерева к тени шеста, высота дерева к высоте шеста. Верно: $\dfrac{H}{2} = \dfrac{15}{2{,}5}$, $H = 12$ м.

Ошибка

Решавр измерил человека ростом $1{,}9$ м на склоне холма: его тень на склоне $1{,}5$ м. Тень башни на ровной площадке в тот же час $30$ м. Решавр считает: «$H = 1{,}9 \cdot \dfrac{30}{1{,}5} = 38$ м».

Проверка. Угол между человеком и его тенью на склоне не прямой, а у башни и ее тени угол прямой. Равны только углы при верхушках: между вертикалью и лучом, потому что и человек, и башня вертикальны, а лучи параллельны. Одной пары равных углов для подобия мало, значит, треугольники не подобны, и пропорция не работает.

Где сломалось. Решавр взял пропорцию без второй пары углов. Поэтому тени меряют на ровной земле и в один момент: Солнце движется, и наклон лучей меняется.

Башня 30 м на ровной земле с тенью 30 м и человек 1,9 м на склоне с тенью 1,5 м при параллельных лучах: углы при верхушках равны, у основания башни 90°, у основания человека не 90°, треугольники не подобны — Башня на ровной земле и человек на склоне: углы при верхушках равны, а угол у основания человека не прямой — треугольники не подобны

{"questions":[{"content":"Почему треугольники «шест — его тень» и «дерево — его тень» подобны?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Шест и дерево освещены одним Солнцем, и тени у них одного цвета","Лучи параллельны, и у шеста и дерева угол с землей прямой","Равен угол наклона лучей, и этого достаточно для подобия","Шест и дерево стоят на одной земле, и тени лежат на одной прямой"],"explanations":["Свет и цвет не дают равных углов; нужны две пары равных углов","","Одного угла для подобия недостаточно, нужен еще прямой угол","Одна земля и одна прямая не дают равных углов; нужны две пары равных углов"],"answer":[1]}},"hints":["Солнечные лучи параллельны, поэтому равны углы наклона лучей к земле.","Шест и дерево вертикальны, поэтому угол у основания прямой. Два угла равны — I признак."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-1]]Шест высотой 2 м, его тень 3 м, тень дерева 12 м. Решавр: «$H = \\dfrac{2 \\cdot 3}{12} = 0{,}5$ м». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fmc3sxzj8db5.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Отношение перевернуто: верно $\\dfrac{H}{2} = \\dfrac{12}{3}$, $H = 8$ м","Нужно сложить тени: $H = 3 + 12 = 15$ м","Нужно умножить: $H = 2 \\cdot 12 = 24$ м","Ошибки нет: дерево ниже шеста"],"explanations":["","Тени складывать нельзя: нужны их отношения","Так не учитывается тень шеста, нужно отношение $12 : 3$","Тень дерева в 4 раза длиннее, значит, и само дерево в 4 раза выше"],"answer":[0]}},"hints":["Тень дерева длиннее тени шеста, значит, дерево выше шеста, а получилось ниже.","Верная пропорция $\\dfrac{H}{2} = \\dfrac{12}{3}$, откуда $H = 8$ м."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Ширину реки можно измерить, не переходя ее

На том берегу растет дерево $A$, на нашем берегу точка $B$ — прямо напротив, так что $AB \perp BD$. Нужна ширина $AB$. Сделаем уменьшенную копию треугольника на своем берегу. От $B$ пройдем вдоль берега и поставим колышек $C$, затем дойдем до точки $D$. От $D$ пойдем перпендикулярно берегу, прочь от реки, до точки $E$, из которой колышек $C$ закрывает дерево $A$. Тогда точки $A$, $C$, $E$ лежат на одной прямой.

Ширина реки: колышки B, C, D и точка E; BC = 35, DC = 7, ED = 6, ширина AB = 30 — Прямые углы при B и D, вертикальные углы при C: треугольник EDC — уменьшенная копия треугольника ABC

Пример 2

$BC = 35$ м, $CD = 7$ м, $DE = 6$ м. Найдите ширину реки $AB$.

Решение. В треугольниках $ABC$ и $EDC$ углы $B$ и $D$ прямые, а углы при $C$ равны как вертикальные. По двум углам $\triangle ABC \sim \triangle EDC$. Сходственные стороны лежат против равных углов: $AB$ и $ED$ — против углов при $C$, $BC$ и $DC$ — против углов $A$ и $E$. Копия $EDC$ меньше оригинала: $k = \dfrac{DC}{BC} = \dfrac{7}{35} = \dfrac{1}{5}$. Значит, $AB = DE : k = 6 \cdot 5 = 30$ м. Проверка: $BC$ в 5 раз длиннее $DC$, и $AB$ в 5 раз длиннее $DE$.

Ответ: 30 м.

Карта и план местности — тоже копии. Масштаб $1 : 100\,000$ означает, что 1 см на карте соответствует $100\,000$ см, то есть 1 км, на местности: карта — копия с $k = \dfrac{1}{100\,000}$. Отрезок 4,5 см на такой карте — это 4,5 км на местности. От карты к местности длину делят на $k$, то есть умножают на $100\,000$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Дерево $A$ растет на другом берегу напротив точки $B$. На этом берегу взяли точки $B$, $C$, $D$ на одной прямой, $BC = 40$ м, $CD = 10$ м, $DE \\perp BD$, $DE = 7$ м, точки $A$, $C$, $E$ лежат на одной прямой. Найдите $AB$ в метрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5e7a1enls0do.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"28"}},"hints":["$\\triangle ABC \\sim \\triangle EDC$: прямые углы и вертикальные углы при $C$.","$\\dfrac{AB}{DE} = \\dfrac{BC}{DC}$, $AB = 7 \\cdot \\dfrac{40}{10} = 28$ м."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Масштаб карты 1 : 200 000. Расстояние между двумя городами на карте 3,5 см. Сколько километров между городами на местности? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["В 1 см карты 200 000 см на местности, то есть 2 км.","$3{,}5 \\cdot 2 = 7$ км."],"step":1}],"mix":1}

Зеркало на земле тоже дает копию

Если Солнца нет, поможет зеркало. Дерево $FT$ растет вертикально ($F$ — основание, $T$ — верхушка). Положим зеркало на землю в точке $M$ и отойдем назад, пока не увидим в нем верхушку $T$. Наблюдатель стоит в точке $G$, его глаза — в точке $E$. Луч $TM$ отражается от зеркала и попадает в глаз по лучу $ME$. Угол падения равен углу отражения, поэтому лучи $TM$ и $ME$ наклонены к земле под равными углами.

Зеркало на земле в точке M: человек EG ростом 1,4 стоит в 1,2 от зеркала, дерево в 9 от зеркала; высота дерева 10,5 — Прямые углы при G и F, равные углы при зеркале M: треугольник дерева TFM — копия треугольника наблюдателя EGM

Пример 3

Глаза наблюдателя на высоте $EG = 1{,}4$ м, $GM = 1{,}2$ м, от зеркала до дерева $MF = 9$ м. Найдите высоту дерева $FT$.

Решение. В треугольниках $EGM$ и $TFM$ прямые углы при $G$ и $F$ и равные углы при $M$. По двум углам $\triangle EGM \sim \triangle TFM$. Против углов при $M$ лежат $EG$ и $TF$; против углов $E$ и $T$ — $GM$ и $FM$. Копия — треугольник дерева: $k = \dfrac{FM}{GM} = \dfrac{9}{1{,}2} = 7{,}5$. Тогда $FT = k \cdot EG = 7{,}5 \cdot 1{,}4 = 10{,}5$ м. Проверка: дерево дальше от зеркала, чем наблюдатель, значит, и выше его.

Ответ: 10,5 м.

Обратите внимание

В задачах часто пишут «рост человека», хотя в зеркало смотрят глаза. Копир увеличивает в $k$ раз и погрешность: если высоту глаз в примере 3 завысить на 0,1 м, высота дерева выйдет больше на $7{,}5 \cdot 0{,}1 = 0{,}75$ м.

{"questions":[{"content":"Наблюдатель видит в зеркале, лежащем на земле, верхушку фонаря. Глаза наблюдателя на высоте 1,7 м, от его ног до зеркала 1,5 м, от зеркала до фонаря 6 м. Высоту фонаря $H$ в метрах находят из равенства $\\dfrac{H}{1{,}7} =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{6}{1{,}7}$","$\\dfrac{6}{1{,}5}$","$\\dfrac{7{,}5}{1{,}5}$","$\\dfrac{1{,}5}{6}$"],"answer":1}},"hints":["Треугольники «фонарь — зеркало» и «наблюдатель — зеркало» подобны: прямые углы у земли, угол падения равен углу отражения.","Фонарь — копия наблюдателя: высоты относятся как расстояния до зеркала, $\\dfrac{H}{1{,}7} = \\dfrac{6}{1{,}5} = 4$, $H = 6{,}8$ м. Ответ: $\\dfrac{6}{1{,}5}$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Чтобы измерить высоту дерева, на земле положили зеркало. Человек ростом 1,8 м встал так, что увидел в зеркале верхушку дерева. Расстояние от человека до зеркала 2 м, от зеркала до дерева 10 м. Найдите высоту дерева в метрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1ewt5rh5i5z8.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Угол падения равен углу отражения, поэтому прямоугольные треугольники подобны.","$\\dfrac{H}{1{,}8} = \\dfrac{10}{2}$, $H = 9$ м."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

В трапеции диагонали отрезают копию

Подобие работает и внутри фигур. В трапеции $ABCD$ основания $AD \parallel BC$, диагонали пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольники $AOD$ и $COB$. Углы $OAD$ и $OCB$ равны как накрест лежащие при параллельных $AD$, $BC$ и секущей $AC$; углы $ODA$ и $OBC$ — при секущей $BD$. По двум углам $\triangle AOD \sim \triangle COB$: треугольник у меньшего основания — повернутая уменьшенная копия треугольника у большего.

Трапеция ABCD с основаниями AD = 15 и BC = 6 и диагоналями, пересекающимися в точке O: AO = 10, OC = 4 — Накрест лежащие углы при параллельных основаниях: треугольник COB — повернутая копия треугольника AOD, AO : OC = AD : BC

Свойство

Точка пересечения делит диагонали трапеции в отношении оснований; больший отрезок прилежит к большему основанию:

Пример 4

В трапеции $ABCD$ основания $AD = 15$ и $BC = 6$, диагональ $AC = 14$. Найдите $AO$ и $OC$.

Решение. $\triangle AOD \sim \triangle COB$, вершине $A$ соответствует $C$, вершине $D$ — $B$. Сходственные: $AD$ и $CB$ (против вертикальных углов при $O$), $AO$ и $CO$ (против равных углов при $D$ и $B$). Копия меньше: $k = \dfrac{CB}{AD} = \dfrac{6}{15} = 0{,}4$, поэтому $OC = 0{,}4 \cdot AO$. Из $AO + OC = 14$ получаем $1{,}4 \cdot AO = 14$, $AO = 10$, $OC = 4$. Проверка: $\dfrac{10}{4} = \dfrac{15}{6} = 2{,}5$, больший отрезок — у большего основания.

Ответ: $AO = 10$, $OC = 4$.

Так же решают задачи о параллелограмме. Если в параллелограмме $ABCD$ точка $M$ лежит на стороне $AD$, а отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $P$, то $AM \parallel BC$. Те же накрест лежащие углы дают $\triangle APM \sim \triangle CPB$ и $\dfrac{AP}{PC} = \dfrac{AM}{BC}$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В трапеции $ABCD$ основания $AD = 12$ и $BC = 4$, диагонали пересекаются в точке $O$. Во сколько раз отрезок $AO$ больше отрезка $OC$? [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/locoj9sko3ta.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["$\\triangle BOC \\sim \\triangle DOA$ по двум углам ($AD \\parallel BC$).","$\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC} = \\dfrac{12}{4} = 3$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-2]]В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$, диагонали пересекаются в точке $O$. Решавр: «$\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/locoj9sko3ta.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Диагонали делятся пополам","Диагонали делятся в отношении оснований: $\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC}$","Ошибки нет: боковые стороны сходственны","Нужно сравнивать с диагоналями: $\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AC}{BD}$"],"explanations":["Пополам делятся диагонали параллелограмма, а не трапеции","","Боковые стороны не лежат против равных углов этих треугольников","Диагонали не сходственные стороны подобных треугольников"],"answer":[1]}},"hints":["$\\triangle AOD \\sim \\triangle COB$ по двум углам ($AD \\parallel BC$).","Сходственные стороны — основания: $\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В параллелограмме $ABCD$ точка $M$ лежит на стороне $AD$, $AM = 3$, $AD = 9$. Отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC = 24$ в точке $P$. Найдите $AP$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["$AD \\parallel BC$, значит, $\\triangle APM \\sim \\triangle CPB$ и $\\dfrac{AP}{PC} = \\dfrac{AM}{BC} = \\dfrac{3}{9}$.","$AP = 24 \\cdot \\dfrac{3}{3 + 9} = 6$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Один алгоритм для всех задач на подобие

Все задачи урока решались одинаково: нашли два треугольника, объяснили, почему у них две пары равных углов, и только потом составили пропорцию. Соберем эти шаги.

Алгоритм

Нарисуйте чертеж и выделите два треугольника: оригинал и копию.
Найдите в них две пары равных углов и назовите причину (параллельные лучи, вертикальные углы, отражение, параллельные прямые).
По равным углам выберите признак подобия — чаще всего первый, по двум углам.
Составьте пропорцию из сходственных сторон — они лежат против равных углов: $k$ = длина у копии : длина у оригинала.
Проверьте ответ: большему отрезку одного треугольника соответствует больший отрезок другого.

Вернемся к Фалесу. По рассказу Плутарха, Фалес поставил палку у конца тени пирамиды и показал, что высота пирамиды так относится к палке, как тень пирамиды к тени палки. Это наше правило из первого раздела. Одна тонкость: вершина пирамиды стоит над центром основания, поэтому и тень вершины надо отсчитывать от центра, а не от края.

Пример 5

Палка длиной 1 м отбрасывает тень 1,5 м. Сторона квадратного основания пирамиды 230 м, тень пирамиды направлена перпендикулярно стороне основания, ее видимая часть за краем основания 105 м. Найдите высоту пирамиды.

Решение. Шаги 1–3: треугольники «палка — тень» и «высота пирамиды — тень вершины» прямоугольные, углы наклона лучей равны, подобны по двум углам. Шаг 4: тень вершины $L = 230 : 2 + 105 = 220$ м, $k = \dfrac{220}{1{,}5}$, высота $H = 1 \cdot \dfrac{220}{1{,}5} \approx 146{,}7$ м. Шаг 5: тень пирамиды длиннее тени палки, и пирамида выше палки.

Ответ: около 147 м. Для сравнения: первоначальная высота пирамиды Хеопса — около 146,6 м, сторона основания — около 230 м.

Интересный факт

Скрыть

Диоген Лаэртский со ссылкой на Иеронима Родосского и Плиний Старший пересказывают другой способ: Фалес дождался часа, когда тень человека равна его росту. В этот момент отношение высоты к тени у всех предметов равно 1, поэтому и высота пирамиды равна длине ее тени. Это тот же копир, только с пропорцией $\dfrac{H}{L} = \dfrac{h}{l} = 1$.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте задачу и пары равных углов, на которых держится подобие треугольников. Один вариант лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Высота дерева по тени","Ширина реки по колышкам","Высота дерева по зеркалу на земле","Отрезки диагоналей трапеции"],"items":["Прямые углы у земли и равные углы наклона параллельных солнечных лучей","Прямые углы у берега и вертикальные углы при колышке","Прямые углы у земли и равные углы падения и отражения","Две пары накрест лежащих углов при параллельных основаниях","Только равные углы наклона солнечных лучей"]}},"hints":["В каждой задаче нужны две пары равных углов: тогда треугольники подобны по первому признаку.","Найдите в каждой задаче, откуда берется вторая пара углов: параллельные лучи, вертикальные углы, отражение или параллельные основания.","Ответ: тень — прямые углы и углы наклона параллельных лучей; река — прямые углы и вертикальные углы при колышке; зеркало — прямые углы и углы падения и отражения; трапеция — накрест лежащие углы при основаниях. Вариант «только равные углы наклона солнечных лучей» лишний: одной пары углов для подобия мало."],"step":1},{"content":"Расставьте шаги решения задачи на подобие по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Нарисуйте чертеж и выделите два треугольника","Найдите в них пары равных углов","Выберите признак подобия, поскольку равные углы найдены","Составьте по признаку подобия пропорцию из сходственных сторон","Проверьте ответ после расчета: больший отрезок соответствует большему"]}},"hints":["Сначала нужен чертеж, затем углы, потом признак, потом пропорция, в конце проверка."]}],"mix":1}

Вывод

Подобие позволяет измерить то, до чего нельзя дотянуться: высоту дерева, ширину реки, пирамиду. Для этого рядом с недоступным треугольником строят его копию из доступных отрезков — тень шеста, колышки на берегу, отражение в зеркале. Главное — две пары равных углов и верное направление отношения: у копии и у оригинала берут длины одного рода, а ответ проверяют правилом «больше — к большему».

Еще одна задача про тень — в уроке «Признаки подобия», о масштабе подробно — в уроке «Масштаб».

Часто задаваемые вопросы

Как понять, что делить, а что умножать?

Составьте отношение из длин одного рода: тень к тени, высота к высоте. Тогда $\dfrac{H}{h} = \dfrac{L}{l}$ и неизвестное стоит в числителе. Проверьте ответ: у более длинной тени — более высокий предмет.

Зачем объяснять, почему углы равны, если и так понятно?

Без двух пар равных углов треугольники могут быть не подобны, и пропорция даст неверный ответ, как с тенью на склоне. Причина равенства — параллельные лучи, вертикальные углы, отражение — и есть доказательство подобия.

Почему тени нужно измерять в один момент?

Солнце движется, и угол наклона лучей меняется. Тени, измеренные в разное время, дают треугольники с разными углами, а они не подобны.

Делятся ли диагонали трапеции пополам?

Нет, пополам делятся диагонали параллелограмма. В трапеции отрезки диагонали относятся как основания: при $AD = 15$ и $BC = 6$ отношение равно $2{,}5$. Пополам они делились бы только при равных основаниях, но тогда это уже параллелограмм.

Награды за урок