Средняя линия треугольника и пропорциональные отрезки прямоугольного треугольника

В этом тесте собраны вопросы по двум темам: средняя линия треугольника и пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Вам предстоит вспомнить основные свойства и определения, а также применить формулы на практике.

Задания включают как теоретические вопросы, так и вычислительные задачи.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Что такое средняя линия треугольника?[[choice-1]][[image-3366]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.","Прямая, проходящая через вершину и середину противоположной стороны.","Луч, делящий угол пополам.","Прямая, перпендикулярная стороне и проходящая через противоположную вершину."],"answer":[0]},"image-3366":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/cover-01.svg","width":"300"}},"hints":["Средняя линия не проходит через вершины углов.","Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон."],"id":"0"},{"content":"Какое свойство имеет средняя линия треугольника?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Она параллельна одной из сторон треугольника.","Она всегда равна высоте.","Она делит угол пополам.","Она равна сумме катетов."],"answer":[0]}},"hints":["Средняя линия соединяет середины двух сторон.","Она проходит параллельно третьей стороне."],"id":"0"},{"content":"Чему равна средняя линия треугольника?[[choice-32]]","widgets":{"choice-32":{"type":"choice","options":["Половине противоположной стороны.","Половине периметра.","Половине биссектрисы.","Половине высоты."],"answer":[0]}},"hints":["Средняя линия параллельна стороне, напротив которой она находится.","Длина средней линии равна половине этой стороны."],"id":"1"},{"content":"Дайте определение средней линии треугольника.[[choice-63]]","widgets":{"choice-63":{"type":"choice","options":["Отрезок, соединяющий вершины треугольника.","Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.","Прямая, которая равна полусумме оснований.","Луч, делящий угол на два равных."],"answer":[1]}},"hints":["Подумайте, какой отрезок соединяет именно середины сторон, а не вершины.","Средняя линия — это отрезок, который соединят середины двух любых сторон треугольника."],"id":"1"},{"content":"Дан треугольник $ABC$, $MN$ — средняя линия. Площадь $ABC$ равна $20$. Чему равна площадь $AMN$?[[image-105]][[choice-126]]","widgets":{"image-105":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/1-01-26.svg","width":"299"},"choice-126":{"type":"choice","options":["$10$","$5$","$40$","$80$"],"answer":[1]}},"hints":["Средняя линия дает коэффициент подобия маленького треугольника к большому:<br />$k= \\dfrac{AM}{AB}= \\dfrac{AN}{AC}= \\dfrac{1}{2}$.","Площади подобных фигур относятся как $k^2$, значит,<br /> <br />$S_{AMN} = \\left( \\dfrac{1}{2} \\right)^2 \\cdot 20 = \\dfrac{1}{4} \\cdot 20 = 5$.<br /><br />Ответ: $S_{AMN} = 5$."],"id":"2"},{"content":"В треугольнике $ABC$ проведены все три средние линии. Найдите площадь треугольника $MNP$, если площадь $ABC$ равна $48 \\ см^2$.[[image-195]][[choice-224]]","widgets":{"image-195":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/3-01-22.svg","width":"300"},"choice-224":{"type":"choice","options":["$24 \\ см^2$","$16 \\ см^2$","$12 \\ см^2$","$8 \\ см^2$"],"answer":[2]}},"hints":["Средние линии делят треугольник на $4$ равновеликих треугольника.","Площадь каждого из них равна $\\dfrac{1}{4}$ площади исходного:<br />$S_{MNP} = \\dfrac{1}{4} \\cdot 48 = 12 \\ см^2$.<br /><br />Ответ: $S_{MNP} = 12 \\ см^2$."],"id":"2"},{"content":"В треугольнике $ABC$ проведены все три средние линии. Площадь треугольника $MNP$ равна $3 \\ см^2$. Чему равна площадь $ABC$?[[image-317]][[choice-354]]","widgets":{"image-317":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/3-01-22.svg","width":"298"},"choice-354":{"type":"choice","options":["$6 \\ см^2$","$9 \\ см^2$","$12 \\ см^2$","$15 \\ см^2$"],"answer":[2]}},"hints":["Если провести все три средние линии, исходный треугольник разделится на $4$ равновеликих.","$S_{ABC} = 4 \\cdot S_{MNP} = 4 \\cdot 3 = 12 \\ см^2$.<br /><br />Ответ: $S_{ABC} = 12 \\ см^2$."],"id":"3"},{"content":"В треугольнике $ABC$ точки $M \\in AB$ и $N \\in AC$ — середины сторон. Площадь $S_{AMN} = 7 \\ см^2$. Найдите $S_{ABC}$.[[image-461]][[choice-506]]","widgets":{"image-461":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/1-01-26.svg","width":"300"},"choice-506":{"type":"choice","options":["$14 \\ см^2$","$28 \\ см^2$","$21 \\ см^2$","$35 \\ см^2$"],"answer":[1]}},"hints":["Так как $M$ и $N$ - середины сторон, то $MN$ — средняя линия треугольника.<br />Следовательно, коэффициент подобия $k = \\dfrac{1}{2}$.","Площади подобных фигур относятся друг к другу как $k^2$.<br />Значит, $S_{ABC} = 4 \\cdot S_{AMN} = 4 \\cdot 7 = 28 \\ см^2$.<br /><br />Ответ: $S_{ABC} = 28 \\ см^2$.<br />"],"id":"3"},{"content":"В каком отношении точка пересечения медиан делит каждую медиану треугольника, считая от вершины?[[choice-705]]","widgets":{"choice-705":{"type":"choice","options":["$1:1$","$2:1$","$1:2$","$3:1$"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните: точка пересечения медиан ближе к середине стороны, чем к вершине.","Эта точка делит каждую медиану на отрезки в отношении $2:1$, считая от вершины."],"id":"4"},{"content":"В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$ и $BB_1$, которые пересекаются в точке $O$. Известно, что $AO = 4 \\ см$. Чему равна длина медианы $AA_1$?[[image-858]][[choice-915]]","widgets":{"image-858":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/10-01-10.svg","width":"300"},"choice-915":{"type":"choice","options":["$6 \\ см$","$8 \\ см$","$12 \\ см$","$16 \\ см$"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните свойство медианы: они делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины.","Точка $O$ делит медиану на две части: $AO$ — это $\\dfrac{2}{3}$ всей медианы, а $OA_1$ — $\\dfrac{1}{3}$.","Если $AO = 4 \\ см$, значит, вся медиана $AA_1 = 4 \\ см + 2 \\ см = 6 \\ см$.<br /><br />Ответ: $AA_1 = 6 \\ см$."],"id":"4"},{"content":"В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ к гипотенузе $AB$. Как называется отрезок $AH$?[[image-1207]][[choice-1272]]","widgets":{"image-1207":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/1-01-27.svg","width":"300"},"choice-1272":{"type":"choice","options":["Проекция катета $AC$.","Проекция катета $BC$.","Проекция гипотенузы $AB$.","Проекция обоих катетов."],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните: из вершины прямого угла опустили высоту. Она делит гипотенузу на два отрезка — это проекции катетов.","Каждая проекция прилежит к своему катету."],"id":"5"},{"content":"В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ к гипотенузе $AB$. Известно, что проекция катета $AC$ на гипотенузу равна $9 \\ см$, а гипотенуза $AB = 25 \\ см$. Найдите катет $AC$.[[image-1457]][[choice-1530]]","widgets":{"image-1457":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/11-01-8.svg","width":"299"},"choice-1530":{"type":"choice","options":["$12 \\ см$","$15 \\ см$","$17 \\ см$","$34 \\ см$"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните: катет равен среднему геометрическому между своей проекцией на гипотенузу и самой гипотенузой.","$AC = \\sqrt{AB \\cdot AH} = \\sqrt{25 \\cdot 9} = \\sqrt{225} = 15 \\ см$.<br /><br />Ответ: $AC = 15 \\ см$."],"id":"5"},{"content":"В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ к гипотенузе $AB$. Известно, что $AH = 9 \\ см$, $HB = 16 \\ см$. Найдите высоту $CH$.[[image-1756]][[choice-1837]]","widgets":{"image-1756":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/11-01-8.svg","width":"300"},"choice-1837":{"type":"choice","options":["$12 \\ см$","$12,5 \\ см$","$11 \\ см$","$17 \\ см$"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните: высота равна среднему геометрическому между двумя отрезками, на которые она делит гипотенузу.","$CH = \\sqrt{AH \\cdot HB} = \\sqrt{9 \\cdot 16} = \\sqrt{144} = 12 \\ см$.<br /><br />Ответ: $CH = 12 \\ см$."],"id":"6"},{"content":"Что называют средним геометрическим $d$ двух положительных чисел $a$ и $b$?[[choice-2087]]","widgets":{"choice-2087":{"type":"choice","options":["$d = \\dfrac{a+b}{2}$","$d = \\sqrt{ab}$","$d = a-b$","$d = \\sqrt{\\dfrac{a}{b}}$"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните: среднее арифметическое выражается через сумму, а среднее геометрическое — через произведение.","Среднее геометрическое двух чисел $a$ и $b$ вычисляют по такой формуле: $d = \\sqrt{ab}$."],"id":"6"},{"content":"Как найти высоту $h$, проведённую к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известны катеты $a$, $b$ и гипотенуза $c$?[[choice-2327]][[image-3475]]","widgets":{"choice-2327":{"type":"choice","options":["$h = \\dfrac{a+b}{2}$","$h = \\dfrac{a \\cdot b}{c}$","$h = \\sqrt{ab}$","$h = \\dfrac{c}{2}$"],"answer":[1]},"image-3475":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/ugol_1-01.svg","width":"300"}},"hints":["Вспомните: площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами: через катеты и через высоту, проведенной к гипотенузе.","Так как $S = \\dfrac{1}{2}ab = \\dfrac{1}{2}ch$, получаем $h = \\dfrac{a \\cdot b}{c}$."],"id":"7"},{"content":"В прямоугольном треугольнике катеты равны $a = 15 \\ см$ и $b = 20 \\ см$. Найдите высоту $h$, проведенную к гипотенузе.[[choice-2578]]","widgets":{"choice-2578":{"type":"choice","options":["$10 \\ см$","$12 \\ см$","$15 \\ см$","$18 \\ см$"],"answer":[1]}},"hints":["Сначала найдите гипотенузу по теореме Пифагора, потом используйте формулу $h = \\dfrac{a \\cdot b}{c}$.","$c = \\sqrt{15^2+20^2} = \\sqrt{225+400} = \\sqrt{625} = 25 \\ см$.<br />$h = \\dfrac{15 \\cdot 20}{25} = 12 \\ см$.<br /><br />Ответ: $h = 12 \\ см$.<br />"],"id":"7"},{"content":"В прямоугольном треугольнике один катет равен $a = 16 \\ см$, гипотенуза $c = 20 \\ см$, а высота $h$, проведенная к гипотенузе, равна $12 \\ см$. Найдите второй катет $b$.[[choice-2839]]","widgets":{"choice-2839":{"type":"choice","options":["$12 \\ см$","$14 \\ см$","$15 \\ см$","$18 \\ см$"],"answer":[2]}},"hints":["Вспомните формулу: $h = \\dfrac{a \\cdot b}{c}$. Подставьте известные значения и решите уравнение.","$12 = \\dfrac{16 \\cdot b}{20}$, отсюда $12 \\cdot 20 = 16b$, $240 = 16b$, $b = 15 \\ см$.<br /><br />Ответ: $b = 15 \\ см$.<br />"],"id":"8"},{"content":"По какой формуле вычисляется высота $h$, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника?[[choice-3134]]","widgets":{"choice-3134":{"type":"choice","options":["$h = \\dfrac{a^2+b^2}{c}$","$h = \\dfrac{a \\cdot b}{c}$","$h = \\sqrt{a^2+b^2}$","$h = \\dfrac{a-b}{c}$"],"answer":[1]}},"hints":["Подумайте: площадь прямоугольного треугольника выражается и через катеты ($\\tfrac{1}{2}ab$), и через гипотенузу с высотой ($\\tfrac{1}{2}ch$).","$h = \\dfrac{a \\cdot b}{c}$."],"id":"8"}],"mix":1}</textarea></pre></div>