Подобие в задачах: высота по тени и измерения на местности

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Шест высотой 1,5 м отбрасывает тень 2 м. В тот же час тень от дерева равна 12 м. Найдите высоту дерева в метрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fmc3sxzj8db5.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$\\dfrac{H}{1{,}5} = \\dfrac{12}{2}$.","$H = 1{,}5 \\cdot 6 = 9$ м."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Шест высотой 2 м отбрасывает тень 1,6 м. В тот же час тень от дерева равна 8 м. Найдите высоту дерева в метрах. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fmc3sxzj8db5.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$\\dfrac{H}{2} = \\dfrac{8}{1{,}6}$.","$H = 2 \\cdot 5 = 10$ м."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]Дерево $A$ растет на другом берегу напротив точки $B$. На этом берегу $B$, $C$, $D$ лежат на одной прямой, $BC = 24$ м, $CD = 8$ м, $DE \\perp BD$, $DE = 5$ м, $A$, $C$, $E$ на одной прямой. Найдите $AB$ в метрах. [[input-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5e7a1enls0do.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["$\\triangle ABC \\sim \\triangle EDC$, $\\dfrac{AB}{DE} = \\dfrac{BC}{CD}$.","$AB = 5 \\cdot \\dfrac{24}{8} = 15$ м."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]Дерево $A$ растет на другом берегу напротив точки $B$. На этом берегу $B$, $C$, $D$ лежат на одной прямой, $BC = 45$ м, $CD = 9$ м, $DE \\perp BD$, $DE = 4$ м, $A$, $C$, $E$ на одной прямой. Найдите $AB$ в метрах. [[input-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5e7a1enls0do.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["$\\triangle ABC \\sim \\triangle EDC$, $\\dfrac{AB}{DE} = \\dfrac{BC}{CD}$.","$AB = 4 \\cdot \\dfrac{45}{9} = 20$ м."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-5]]Человек ростом 1,6 м стоит в 2 м от зеркала, лежащего на земле, и видит в нем верхушку дерева. От зеркала до дерева 15 м. Найдите высоту дерева в метрах. [[input-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1ewt5rh5i5z8.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["$\\dfrac{H}{1{,}6} = \\dfrac{15}{2}$.","$H = 1{,}6 \\cdot 7{,}5 = 12$ м."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-6]]Человек ростом 1,5 м стоит в 3 м от зеркала, лежащего на земле, и видит в нем верхушку столба. От зеркала до столба 12 м. Найдите высоту столба в метрах. [[input-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1ewt5rh5i5z8.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["$\\dfrac{H}{1{,}5} = \\dfrac{12}{3}$.","$H = 1{,}5 \\cdot 4 = 6$ м."],"step":1},{"id":"4","content":"Масштаб карты 1 : 50 000. Расстояние между селами на карте 6 см. Сколько километров между селами на местности? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["1 см карты — 50 000 см, то есть 0,5 км.","$6 \\cdot 0{,}5 = 3$ км."],"step":1},{"id":"4","content":"Масштаб карты 1 : 25 000. Расстояние между селами на карте 8 см. Сколько километров между селами на местности? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["1 см карты — 25 000 см, то есть 0,25 км.","$8 \\cdot 0{,}25 = 2$ км."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-7]]В трапеции $ABCD$ основания $AD = 14$ и $BC = 6$, диагональ $AC = 30$, диагонали пересекаются в точке $O$. Найдите $AO$. [[input-9]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/locoj9sko3ta.svg"},"input-9":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["$\\triangle BOC \\sim \\triangle DOA$, $\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC} = \\dfrac{14}{6}$.","$AO = AC \\cdot \\dfrac{14}{14 + 6} = 30 \\cdot \\dfrac{14}{20} = 21$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-8]]В трапеции $ABCD$ основания $AD = 20$ и $BC = 8$, диагональ $BD = 21$, диагонали пересекаются в точке $O$. Найдите $DO$. [[input-10]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/locoj9sko3ta.svg"},"input-10":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["$\\triangle BOC \\sim \\triangle DOA$, $\\dfrac{DO}{OB} = \\dfrac{AD}{BC} = \\dfrac{20}{8}$.","$DO = BD \\cdot \\dfrac{20}{20 + 8} = 21 \\cdot \\dfrac{20}{28} = 15$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-9]]Шест 1,5 м, его тень 2,4 м, тень дерева 9,6 м. Решавр: «$H = \\dfrac{1{,}5 \\cdot 2{,}4}{9{,}6} = 0{,}375$ м». Чему равна высота дерева?[[choice-1]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fmc3sxzj8db5.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["23,04 м: $2{,}4 \\cdot 9{,}6$","0,375 м: $1{,}5 \\cdot 2{,}4 : 9{,}6$","6 м: $1{,}5 \\cdot 9{,}6 : 2{,}4$","13,5 м: $1{,}5 + 2{,}4 + 9{,}6$"],"explanations":["Это произведение теней, высота так не находится","Решавр перевернул отношение: дерево не может быть ниже шеста, если его тень длиннее","","Складывать высоту и тени нельзя"],"answer":[2]}},"hints":["Тень дерева в 4 раза длиннее, значит, дерево в 4 раза выше шеста.","$H = 1{,}5 \\cdot \\dfrac{9{,}6}{2{,}4} = 6$ м."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-10]]Человек ростом 1,8 м отбрасывает тень 1,2 м, тень башни 24 м. Решавр: «$H = \\dfrac{1{,}8 \\cdot 1{,}2}{24} = 0{,}09$ м». Чему равна высота башни?[[choice-2]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fmc3sxzj8db5.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["0,09 м: $1{,}8 \\cdot 1{,}2 : 24$","2,16 м: $1{,}8 \\cdot 1{,}2$","36 м: $1{,}8 \\cdot 24 : 1{,}2$","27 м: $1{,}8 + 1{,}2 + 24$"],"explanations":["Решавр перевернул отношение: башня не может быть ниже человека, если ее тень длиннее","Это произведение высоты и тени человека, высота башни так не находится","","Складывать высоту и тени нельзя"],"answer":[2]}},"hints":["Тень башни в 20 раз длиннее тени человека.","$H = 1{,}8 \\cdot \\dfrac{24}{1{,}2} = 36$ м."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Шест высотой 2 м отбрасывает тень 2,5 м. Сторона квадратного основания пирамиды 40 м, тень ее вершины лежит перпендикулярно стороне основания и идет от середины этой стороны еще на 40 м. Найдите высоту пирамиды в метрах. [[input-11]]","widgets":{"input-11":{"type":"input","answer":"48"}},"hints":["Тень вершины отсчитывают от центра основания: от центра до середины стороны 20 м, $L = 20 + 40 = 60$ м.","$\\dfrac{H}{2} = \\dfrac{60}{2{,}5}$, $H = 2 \\cdot 24 = 48$ м."],"step":1},{"id":"7","content":"Шест высотой 1,5 м отбрасывает тень 2 м. Сторона квадратного основания пирамиды 24 м, тень ее вершины лежит перпендикулярно стороне основания и идет от середины этой стороны еще на 28 м. Найдите высоту пирамиды в метрах. [[input-12]]","widgets":{"input-12":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Тень вершины отсчитывают от центра основания: от центра до середины стороны 12 м, $L = 12 + 28 = 40$ м.","$\\dfrac{H}{1{,}5} = \\dfrac{40}{2}$, $H = 1{,}5 \\cdot 20 = 30$ м."],"step":1},{"id":"8","content":"Точка $M$ — середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$, отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $P$. Тогда $AP : PC =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$1 : 1$","$2 : 1$","$1 : 3$","$1 : 2$"],"answer":3}},"hints":["$AD \\parallel BC$, поэтому $\\angle PAM = \\angle PCB$ (накрест лежащие при секущей $AC$), а углы при $P$ вертикальные: $\\triangle APM \\sim \\triangle CPB$.","$AP : PC = AM : CB$, а $AM = \\dfrac{1}{2}AD = \\dfrac{1}{2}BC$. Ответ: $1 : 2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Точка $K$ — середина стороны $CD$ параллелограмма $ABCD$, отрезок $AK$ пересекает диагональ $BD$ в точке $P$. Тогда $BP : PD =$ [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$1 : 1$","$1 : 2$","$3 : 1$","$2 : 1$"],"answer":3}},"hints":["$CD \\parallel AB$, поэтому $\\angle PDK = \\angle PBA$ (накрест лежащие при секущей $BD$), а углы при $P$ вертикальные: $\\triangle DPK \\sim \\triangle BPA$.","$BP : PD = BA : DK$, а $DK = \\dfrac{1}{2}CD = \\dfrac{1}{2}AB$. Ответ: $2 : 1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Шест длиной 1,5 м воткнули в ровную землю наклонно, его тень 2 м. Тень вертикального столба в тот же час 8 м. Решавр: «$H = 1{,}5 \\cdot \\dfrac{8}{2} = 6$ м». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Отношение перевернуто: верно $H = 1{,}5 \\cdot \\dfrac{2}{8}$","Нужно учесть разность теней: $H = 1{,}5 + (8-2) = 7{,}5$ м","Ошибки нет: углы наклона лучей равны, этого достаточно","Треугольники не подобны: у наклонного шеста угол с землей не прямой, равны только углы лучей"],"explanations":["Перевернутое отношение сделало бы столб ниже шеста, а главное — треугольники вообще не подобны","Подобие сохраняет отношения, а не разности; к тому же треугольники здесь не подобны","Одной пары равных углов для подобия мало, нужна вторая — прямые углы у основания",""],"answer":[3]}},"hints":["Пропорция верна только для подобных треугольников, а для подобия нужны две пары равных углов.","Углы наклона лучей равны, но наклонный шест образует с землей не прямой угол, а столб — прямой.","Ответ: равен только один угол, треугольники не подобны, пропорцию составлять нельзя."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Человек ростом 1,8 м стоит на склоне холма, его тень на склоне 1,2 м. Тень вертикальной башни на ровной площадке в тот же час 20 м. Решавр: «$H = 1{,}8 \\cdot \\dfrac{20}{1{,}2} = 30$ м». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Отношение перевернуто: верно $H = 1{,}8 \\cdot \\dfrac{1{,}2}{20}$","Треугольники не подобны: на склоне угол между человеком и тенью не прямой, равны только углы при верхушках","Ошибки нет: углы при верхушках равны, этого достаточно","Нужно учесть разность теней: $H = 1{,}8 + (20-1{,}2) = 20{,}6$ м"],"explanations":["Перевернутое отношение сделало бы башню ниже человека, а главное — треугольники вообще не подобны","","Одной пары равных углов для подобия мало; вторая пара не получается, потому что на склоне угол у основания не прямой","Подобие сохраняет отношения, а не разности; к тому же треугольники здесь не подобны"],"answer":[1]}},"hints":["Пропорция верна только для подобных треугольников, а для подобия нужны две пары равных углов.","Равны только углы при верхушках (между вертикалью и лучом): человек и башня вертикальны, лучи параллельны. Угол между человеком и его тенью на склоне не прямой, а у башни прямой.","Ответ: равен только один угол, треугольники не подобны, пропорцию составлять нельзя."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Сопоставьте задачу и верную пропорцию. Одна пропорция лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Шест высотой $h$ дает тень $l$, дерево высотой $H$ — тень $L$","Человек ростом $h$ стоит в $a$ м от зеркала на земле, дерево высотой $H$ — в $b$ м от зеркала","Ширина реки: $AB \\perp BD$, $DE \\perp BD$, точка $C$ лежит на $BD$ и на $AE$"],"items":["$\\dfrac{H}{h} = \\dfrac{L}{l}$","$\\dfrac{H}{h} = \\dfrac{b}{a}$","$\\dfrac{AB}{DE} = \\dfrac{BC}{CD}$","$\\dfrac{H}{h} = \\dfrac{l}{L}$"]}},"instruction":"Соотнесите задачу и пропорцию","hints":["В каждой задаче найдите подобные треугольники и сходственные стороны: искомая высота против того же угла, что и известная.","Проверьте смысл: у более длинной тени и у более далекого от зеркала предмета высота больше.","Ответ: тень — $\\dfrac{H}{h} = \\dfrac{L}{l}$; зеркало — $\\dfrac{H}{h} = \\dfrac{b}{a}$; река — $\\dfrac{AB}{DE} = \\dfrac{BC}{CD}$; $\\dfrac{H}{h} = \\dfrac{l}{L}$ лишняя (отношение перевернуто)."],"step":1},{"id":"10","content":"Сопоставьте задачу и верную пропорцию. Одна пропорция лишняя.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Человек ростом $h$ отбрасывает тень $t$, башня высотой $H$ — тень $T$","Глаза наблюдателя на высоте $h$, он стоит в $a$ м от зеркала на земле, фонарь высотой $H$ — в $b$ м от зеркала","Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, диагонали пересекаются в точке $O$"],"items":["$\\dfrac{H}{h} = \\dfrac{T}{t}$","$\\dfrac{H}{h} = \\dfrac{b}{a}$","$\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC}$","$\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$"]}},"instruction":"Соотнесите задачу и пропорцию","hints":["В каждой задаче найдите подобные треугольники и сходственные стороны: они лежат против равных углов.","В трапеции подобны треугольники при основаниях, поэтому отрезки диагонали относятся как основания, а не как боковые стороны.","Ответ: тень — $\\dfrac{H}{h} = \\dfrac{T}{t}$; зеркало — $\\dfrac{H}{h} = \\dfrac{b}{a}$; трапеция — $\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC}$; $\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$ лишняя."],"step":1}]}</textarea></pre></div>