Карточки
Тесты
Зави
Высота прямоугольного треугольника и среднее пропорциональное
Высота прямоугольного треугольника и среднее пропорциональное
В уроке «Подобные треугольники» подобие сравнивалось с копиром: копия получается умножением всех длин на одно число $k$, а углы не меняются. В уроке «Признаки подобия треугольников» выяснилось, что для подобия достаточно двух пар равных углов. В этом уроке высота к гипотенузе разрежет прямоугольный треугольник на две его копии; из этого получим формулы для высоты, катетов и отрезков гипотенузы и выведем теорему Пифагора.
Высота разрезает треугольник на две его копии
Рассмотрим треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ и проведем высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. Треугольник распался на два: $ACH$ и $CBH$. Оба прямоугольные: прямой угол у каждого при $H$.
Вопрос на конец урока: катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Насколько высота, проведенная к гипотенузе, короче меньшего катета?
Начнем с углов. Пусть $\angle A = 35^\circ$, тогда $\angle B = 55^\circ$. В треугольнике $ACH$ углы при $H$ и $A$ равны $90^\circ$ и $35^\circ$, поэтому $\angle ACH = 55^\circ = \angle B$; в треугольнике $CBH$ получаем $\angle BCH = 35^\circ = \angle A$. Во всех трех треугольниках один и тот же набор углов: $35^\circ$, $55^\circ$, $90^\circ$.
В общем виде: при $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ имеем $\angle ACH = \beta$ и $\angle BCH = \alpha$.
У треугольников $ACH$ и $ABC$ по два равных угла: общий угол $A$ и прямые углы $H$ и $C$. По первому признаку подобия (по двум углам) они подобны. Так же подобны $CBH$ и $ABC$: у них общий угол $B$ и прямые углы. На языке копира $ACH$ — копия $ABC$ с коэффициентом $k_1 = \dfrac{AC}{AB}$, а $CBH$ — копия с коэффициентом $k_2 = \dfrac{BC}{AB}$. Две копии одного оригинала подобны и между собой.
Теорема
Высота из вершины прямого угла делит прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных исходному и друг другу:
Обратите внимание
В записи $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ вершина $C$ малого треугольника соответствует вершине $B$ большого, потому что $\angle ACH = \angle B$. Сходственные стороны не одноименные: $AB \to AC$, $AC \to AH$, $BC \to CH$. Их ищут против равных углов.
Высота стоит посередине между двумя отрезками гипотенузы
В подобии $\triangle ACH \sim \triangle CBH$ вершине $A$ соответствует $C$, вершине $C$ — $B$. Копир, переводящий $ACH$ в $CBH$, переводит катет $AH$ в $CH$, а $CH$ — в $BH$. Получается цепочка из трех отрезков, где каждый следующий получается из предыдущего умножением на одно и то же число $k$.
Пусть $AH = 4$ и $CH = 8$. Копир увеличивает в $k = \dfrac{CH}{AH} = 2$ раза, поэтому $BH = 2 \cdot 8 = 16$. Цепочка: $4 \to 8 \to 16$, и $CH^2 = 64 = 4 \cdot 16 = AH \cdot BH$.
Это не совпадение. Из $\triangle ACH \sim \triangle CBH$ следует $\dfrac{AH}{CH} = \dfrac{CH}{BH}$, а по основному свойству пропорции $CH \cdot CH = AH \cdot BH$.
Определение
Проекция катета на гипотенузу — отрезок гипотенузы между вершиной этого катета и основанием высоты: $AH$ — проекция катета $AC$, $BH$ — проекция катета $BC$.
Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) положительных чисел $a$ и $b$ — положительное число $x$, для которого $\dfrac{a}{x} = \dfrac{x}{b}$, то есть $x^2 = ab$ и $x = \sqrt{ab}$. Например, для чисел 4 и 16 это 8.
Теорема
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу:
Пример 1
Высота $CH$ прямоугольного треугольника $ABC$ делит гипотенузу на отрезки $AH = 8$ и $BH = 18$. Найдите $CH$ и $AB$.
Решение. $CH^2 = AH \cdot BH = 8 \cdot 18 = 144$, значит, $CH = \sqrt{144} = 12$. Гипотенуза $AB = AH + BH = 8 + 18 = 26$.
Ответ: $CH = 12$, $AB = 26$.
В модели ниже тяните вершину $C$ по полуокружности: основание высоты $H$ движется вдоль гипотенузы, длины меняются, а равенство $CH^2 = AH \cdot BH$ держится. Вершина $C$ движется по окружности с диаметром $AB$, и угол $C$ остается прямым; почему, разобрано в последнем разделе. Сделайте $AH = BH$ и посмотрите на высоту.
Ошибка
Высота делит гипотенузу на $AH = 2$ и $BH = 18$. Решавр пишет: «$CH = AH \cdot BH = 2 \cdot 18 = 36$».
Проверим. Гипотенуза $AB = 2 + 18 = 20$, а высота короче гипотенузы: 36 быть не может. Средний член цепочки $2 \to CH \to 18$ лежит между 2 и 18, а 36 — нет.
Где сломалось. Произведение двух длин — это площадь: 36 равно площади квадрата со стороной $CH$, а не длине $CH$. Нужно извлечь корень: $CH = 6$. Проверка копиром: $k = 3$, $2 \cdot 3 = 6$, $6 \cdot 3 = 18$.
Катет стоит посередине между гипотенузой и своей проекцией
Тот же прием работает для катетов. Возьмем треугольник с катетами $AC = 12$, $BC = 16$ и гипотенузой $AB = 20$. Треугольник $ACH$ — копия $ABC$ с коэффициентом $k_1 = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{20} = 0{,}6$. Копир переводит гипотенузу $AB$ в $AC$, а катет $AC$ — в катет копии $AH$. Поэтому $AH = 0{,}6 \cdot 12 = 7{,}2$.
Снова цепочка с одним множителем: $20 \to 12 \to 7{,}2$. Катет $AC$ стоит посередине: $AC^2 = 144$ и $AB \cdot AH = 20 \cdot 7{,}2 = 144$.
В общем виде: из подобия $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ следует $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AH}{AC}$, откуда $AC^2 = AB \cdot AH$. Для второго катета берем копию $CBH$: из $\triangle CBH \sim \triangle ABC$ следует $\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BH}{BC}$, откуда $BC^2 = AB \cdot BH$.
Теорема
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:
Пример 2
В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) катет $AC = 12$, его проекция на гипотенузу $AH = 9$. Найдите гипотенузу $AB$ и проекцию $BH$.
Решение. $AC^2 = AB \cdot AH$, значит, $AB = \dfrac{AC^2}{AH} = \dfrac{144}{9} = 16$. Тогда $BH = AB-AH = 16-9 = 7$.
Ответ: $AB = 16$, $BH = 7$.
Ошибка
В прямоугольном треугольнике $AB = 5$, $AH = 1{,}8$, $BH = 3{,}2$. Решавр находит катет $AC$ так: «$AC^2 = AB \cdot BH = 5 \cdot 3{,}2 = 16$, $AC = 4$».
Проверим копиром. Копир переводит $AB$ в $AC$, а $AC$ в $AH$. У Решавра цепочка $5 \to 4 \to 1{,}8$: множители $0{,}8$ и $0{,}45$ разные, значит, катет найден неверно.
Где сломалось. Отрезок $BH$ не сторона треугольника $ACH$, копир его к катету $AC$ не приводит. Верно: $AC^2 = AB \cdot AH = 5 \cdot 1{,}8 = 9$, $AC = 3$; цепочка $5 \to 3 \to 1{,}8$ — оба раза умножение на $0{,}6$.
Два равенства для катетов складываются в теорему Пифагора
В треугольнике $AC = 12$, $BC = 16$, $AB = 20$ имеем $AH = 7{,}2$, $BH = 12{,}8$. Тогда $AC^2 = 20 \cdot 7{,}2 = 144$ и $BC^2 = 20 \cdot 12{,}8 = 256$. Сложим: $144 + 256 = 400 = 20^2$ — сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Доказательство
Шаг 1. По теореме о катетах $AC^2 = AB \cdot AH$ и $BC^2 = AB \cdot BH$.
Шаг 2. Сложим эти равенства и вынесем общий множитель: $AC^2 + BC^2 = AB \cdot AH + AB \cdot BH = AB \cdot (AH + BH)$.
Шаг 3. Углы $A$ и $B$ острые, поэтому основание высоты $H$ лежит между $A$ и $B$ и $AH + BH = AB$. Значит, $AC^2 + BC^2 = AB \cdot AB = AB^2$.
Следствие (теорема Пифагора)
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Теорему Пифагора и задачи на нее вы подробно разберете в уроке «Теорема Пифагора». Здесь важно: она следует из подобия.
Другое доказательство: через площади копий
Скрыть
По уроку «Биссектриса треугольника. Площади подобных треугольников» площадь копии в $k^2$ раз отличается от площади оригинала. Копии $ACH$ и $CBH$ вместе составляют $ABC$, поэтому их площади в сумме дают площадь $S$ треугольника $ABC$:
Разделим на $S$: $k_1^2 + k_2^2 = 1$. Подставим $k_1$ и $k_2$: $\dfrac{AC^2}{AB^2} + \dfrac{BC^2}{AB^2} = 1$, то есть $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
Интересный факт
Скрыть
Теорема о трех подобных треугольниках и ее следствие о среднем пропорциональном есть в «Началах» Евклида (около 300 года до н. э.): книга VI, предложение 8. Построение на полуокружности — предложение 13 той же книги, а в предложении 31 Евклид обобщает теорему Пифагора на подобные фигуры.
По любым двум отрезкам можно найти остальные
В прямоугольном треугольнике с высотой шесть отрезков: $AC$, $BC$, $AB$, $CH$, $AH$, $BH$. По двум из них остальные находятся по формулам урока и равенству $AH + BH = AB$: берите формулу, где неизвестна одна величина.
Пример 3
Катеты $AC = 6$ и $BC = 8$. Найдите высоту $CH$ и ответьте, насколько она короче меньшего катета.
Решение. По теореме Пифагора $AB^2 = 36 + 64 = 100$, $AB = 10$. Проекция катета $AC$: $AH = \dfrac{AC^2}{AB} = \dfrac{36}{10} = 3{,}6$, тогда $BH = 10-3{,}6 = 6{,}4$. Высота: $CH^2 = AH \cdot BH = 3{,}6 \cdot 6{,}4 = 23{,}04$, $CH = 4{,}8$.
Копир дает тот же ответ быстрее: $k_1 = \dfrac{AC}{AB} = 0{,}6$ и $CH = 0{,}6 \cdot 8 = 4{,}8$; в общем виде $CH = \dfrac{AC \cdot BC}{AB}$.
Ответ: $CH = 4{,}8$; высота короче меньшего катета на $6-4{,}8 = 1{,}2$.
Формулу $CH^2 = AH \cdot BH$ можно прочитать наоборот: среднее пропорциональное отрезков $a$ и $b$ — высота прямоугольного треугольника с проекциями $a$ и $b$. Значит, его можно построить циркулем и линейкой.
Построение среднего пропорционального
Шаг 1. На прямой отложите подряд отрезки $AH = a$ и $HB = b$.
Шаг 2. Постройте середину $O$ отрезка $AB$ и проведите окружность с центром $O$ радиусом $OA$.
Шаг 3. Через точку $H$ проведите прямую, перпендикулярную $AB$. Одну из двух точек ее пересечения с окружностью обозначьте $C$.
Шаг 4. Отрезок $HC$ — искомый: $HC^2 = a \cdot b$. При $a = 2$ и $b = 8$ клеток получится $HC = 4$ клетки.
Почему угол ACB прямой
Скрыть
Так как $OA = OB = OC$, треугольники $AOC$ и $BOC$ равнобедренные: $\angle OCA = \angle A$, $\angle OCB = \angle B$, и $\angle ACB = \angle A + \angle B$. Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$, то есть $2 \cdot \angle ACB = 180^\circ$ и $\angle ACB = 90^\circ$. Значит, $CH$ — высота прямоугольного треугольника и $CH^2 = AH \cdot HB$.
Вывод
Высота из вершины прямого угла разрезает треугольник на две его копии. Поэтому по двум отрезкам находятся все остальные, а теорема Пифагора получается сложением двух равенств. Если формула забылась, выпишите цепочку из трех отрезков, которые копир переводит друг в друга: средний член и есть среднее пропорциональное.
Другие чертежи и задачи по этой теме — в уроке «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».
Часто задаваемые вопросы
Катет и его проекция имеют общую вершину на гипотенузе: у $AC$ проекция $AH$, у $BC$ — $BH$. Проверка: больший катет имеет большую проекцию.
Произведение двух длин — это площадь, а высота — длина: $AH \cdot BH$ равно площади квадрата со стороной $CH$, поэтому нужен корень. Проверка: высота лежит между проекциями по длине.
Для чисел 2 и 18 среднее арифметическое равно 10, а среднее пропорциональное — $\sqrt{2 \cdot 18} = 6$. Половина гипотенузы (медиана) равна среднему арифметическому проекций, поэтому высота не длиннее медианы.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий