Высота прямоугольного треугольника и среднее пропорциональное

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $CH$ — высота. Какая запись подобия верна?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\triangle CBH \\sim \\triangle BAC$","$\\triangle CBH \\sim \\triangle ACB$","$\\triangle CBH \\sim \\triangle ABC$","$\\triangle CBH \\sim \\triangle CBA$"],"explanations":["Тогда вершине $C$ соответствует $B$, но угол $BCH$ равен углу $A$, а не углу $B$","Вершине $B$ тогда соответствует $C$, а угол $B$ острый, угол $C$ прямой","","Вершине $C$ тогда соответствует $C$, но угол $BCH$ острый, а угол $C$ прямой"],"answer":[2]}},"hints":["Сходственные вершины стоят при равных углах: угол $B$ у обоих треугольников общий, прямые углы — $H$ и $C$.","$C \\to A$, $B \\to B$, $H \\to C$: $\\triangle CBH \\sim \\triangle ABC$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]В треугольнике $KLM$ угол $M$ прямой, $MN$ — высота. Какая запись подобия верна?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hwpcop3tga1z.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\triangle KNM \\sim \\triangle LNM$","$\\triangle KNM \\sim \\triangle MNL$","$\\triangle KNM \\sim \\triangle KLM$","$\\triangle KNM \\sim \\triangle LMN$"],"explanations":["Тогда $K$ соответствует $L$, но углы $K$ и $L$ не равны","","Вершина $N$ оказывается соответственной $L$, но угол $N$ прямой, а угол $L$ острый","Вершине $K$ тогда соответствует $L$, а углы $K$ и $L$ не равны"],"answer":[1]}},"hints":["Прямые углы при $N$ и $\\angle K = \\angle NML$ (оба дополняют $\\angle KMN$).","$K \\to M$, $N \\to N$, $M \\to L$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\\angle C = 90^\\circ$) высота $CH$ делит гипотенузу на отрезки $AH = 2$ и $BH = 32$. Тогда $CH =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$8$","$64$","$17$","$34$"],"answer":0}},"hints":["Высота — среднее пропорциональное проекций: $CH^2 = AH \\cdot BH = 2 \\cdot 32 = 64$.","$CH = \\sqrt{64} = 8$. Ответ: 8."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\\angle C = 90^\\circ$) высота $CH$ делит гипотенузу на отрезки $AH = 27$ и $BH = 3$. Тогда $CH =$ [[fill_choice-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$15$","$9$","$81$","$30$"],"answer":1}},"hints":["Высота — среднее пропорциональное проекций: $CH^2 = AH \\cdot BH = 27 \\cdot 3 = 81$.","$CH = \\sqrt{81} = 9$. Ответ: 9."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-5]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $CH$ — высота. Сопоставьте каждый квадрат отрезка с равным ему произведением. Одно произведение лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$CH^2$","$AC^2$","$BC^2$"],"items":["$AH \\cdot BH$","$AB \\cdot AH$","$AB \\cdot BH$","$AC \\cdot BC$"]}},"instruction":"Сопоставьте равные величины","hints":["Высота — среднее пропорциональное проекций катетов: $CH^2 = AH \\cdot BH$.","Катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции: $AC^2 = AB \\cdot AH$, $BC^2 = AB \\cdot BH$.","Ответ: $CH^2$ — $AH \\cdot BH$, $AC^2$ — $AB \\cdot AH$, $BC^2$ — $AB \\cdot BH$; $AC \\cdot BC$ лишнее (оно равно $AB \\cdot CH$)."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $KLM$ угол $M$ прямой, $MN$ — высота. Сопоставьте каждый квадрат отрезка с равным ему произведением. Одно произведение лишнее.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$MN^2$","$KM^2$","$LM^2$"],"items":["$KN \\cdot LN$","$KL \\cdot KN$","$KL \\cdot LN$","$KM \\cdot LM$"]}},"instruction":"Сопоставьте равные величины","hints":["Высота — среднее пропорциональное проекций катетов: $MN^2 = KN \\cdot LN$.","Катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции: $KM^2 = KL \\cdot KN$, $LM^2 = KL \\cdot LN$.","Ответ: $MN^2$ — $KN \\cdot LN$, $KM^2$ — $KL \\cdot KN$, $LM^2$ — $KL \\cdot LN$; $KM \\cdot LM$ лишнее (оно равно $KL \\cdot MN$)."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-6]]В прямоугольном треугольнике высота $CH$ ($\\angle C = 90^\\circ$), $AB = 16$, $AH = 4$. Найдите $AC$. [[input-1]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["$AC^2 = AB \\cdot AH = 64$.","$AC = 8$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-7]]В прямоугольном треугольнике высота $CH$ ($\\angle C = 90^\\circ$), $AB = 20$, $AH = 5$. Найдите $AC$. [[input-2]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$AC^2 = AB \\cdot AH = 100$.","$AC = 10$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-8]]В прямоугольном треугольнике высота $CH = 6$ делит гипотенузу, $AH = 3$. Найдите $BH$. [[input-3]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["$CH^2 = AH \\cdot BH$.","$BH = \\dfrac{36}{3} = 12$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-9]]В прямоугольном треугольнике высота $CH = 12$ делит гипотенузу, $AH = 9$. Найдите $BH$. [[input-4]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["$CH^2 = AH \\cdot BH$.","$BH = \\dfrac{144}{9} = 16$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-10]]Катет прямоугольного треугольника равен 14, а его проекция на гипотенузу — 7. Чему равна гипотенуза? [[input-5]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"28"}},"hints":["$AC^2 = AB \\cdot AH$.","$AB = \\dfrac{196}{7} = 28$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-11]]Катет прямоугольного треугольника равен 12, а его проекция на гипотенузу — 8. Чему равна гипотенуза? [[input-6]]","widgets":{"image-11":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["$AC^2 = AB \\cdot AH$.","$AB = \\dfrac{144}{8} = 18$."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-12]]В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 и отсекает на гипотенузе от вершины острого угла $A$ отрезок $AH = 9$. Найдите катет $BC$, лежащий против угла $A$. [[input-7]]","widgets":{"image-12":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["$CH^2 = AH \\cdot BH$, поэтому $BH = \\dfrac{144}{9} = 16$ и $AB = 9 + 16 = 25$.","$BC^2 = AB \\cdot BH = 25 \\cdot 16 = 400$, $BC = 20$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-13]]В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 24 и отсекает на гипотенузе от вершины острого угла $A$ отрезок $AH = 18$. Найдите катет $BC$, лежащий против угла $A$. [[input-8]]","widgets":{"image-13":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["$CH^2 = AH \\cdot BH$, поэтому $BH = \\dfrac{576}{18} = 32$ и $AB = 18 + 32 = 50$.","$BC^2 = AB \\cdot BH = 50 \\cdot 32 = 1600$, $BC = 40$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-14]]В прямоугольном треугольнике $AH = 1$, $BH = 49$. Решавр: «$CH = AH \\cdot BH = 49$» и считает площадь по формуле $\\dfrac{1}{2} AB \\cdot CH$. Чему равна площадь треугольника $ABC$?[[choice-3]]","widgets":{"image-14":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["350: $50 \\cdot 7$","25: $\\dfrac{1}{2} \\cdot 50 \\cdot 1$","1225: Решавр прав, $CH = 49$","175: $CH = 7$, так как $CH^2 = 49$"],"explanations":["Забыта половина в формуле площади","Взята проекция $AH = 1$ вместо высоты","49 — это $CH^2$, а не $CH$; площадь получилась бы в 7 раз больше",""],"answer":[3]}},"hints":["$CH^2 = 1 \\cdot 49 = 49$, поэтому $CH = 7$; $AB = 1 + 49 = 50$.","$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot 50 \\cdot 7 = 175$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-15]]В прямоугольном треугольнике $AH = 6$, $BH = 24$. Решавр: «$CH = AH \\cdot BH = 144$» и считает площадь по формуле $\\dfrac{1}{2} AB \\cdot CH$. Чему равна площадь треугольника $ABC$?[[choice-4]]","widgets":{"image-15":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["180: $CH = 12$, так как $CH^2 = 144$","90: $\\dfrac{1}{2} \\cdot 30 \\cdot 6$","360: $30 \\cdot 12$","2160: Решавр прав, $CH = 144$"],"explanations":["","Взята проекция $AH = 6$ вместо высоты","Забыта половина в формуле площади","144 — это $CH^2$, а не $CH$; площадь получилась бы в 12 раз больше"],"answer":[0]}},"hints":["$CH^2 = 6 \\cdot 24 = 144$, поэтому $CH = 12$; $AB = 6 + 24 = 30$.","$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot 30 \\cdot 12 = 180$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-16]]В прямоугольном треугольнике $AB = 20$, $AH = 5$, $BH = 15$. Решавр: «$AC^2 = AB \\cdot BH = 300$». Чему равен катет $AC$?[[choice-5]]","widgets":{"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["15: это $BH$","10: $AC^2 = AB \\cdot AH$","5: это $AH$","$\\sqrt{300} \\approx 17{,}3$: Решавр прав"],"explanations":["Это $BH$, а не катет $AC$","","Это $AH$, а не катет $AC$","$BH$ — проекция катета $BC$, а для $AC$ нужна $AH$"],"answer":[1]}},"hints":["Катет $AC$ — среднее пропорциональное $AB$ и своей проекции $AH$.","$AC^2 = 20 \\cdot 5 = 100$, $AC = 10$."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-17]]В прямоугольном треугольнике $AB = 18$, $AH = 2$, $BH = 16$. Решавр: «$AC^2 = AB \\cdot BH = 288$». Чему равен катет $AC$?[[choice-6]]","widgets":{"image-17":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["16: это $BH$","6: $AC^2 = AB \\cdot AH$","$\\sqrt{288} \\approx 17$: Решавр прав","2: это $AH$"],"explanations":["Это $BH$, а не катет $AC$","","$BH$ — проекция катета $BC$, а для $AC$ нужна $AH$","Это $AH$, а не катет $AC$"],"answer":[1]}},"hints":["Катет $AC$ — среднее пропорциональное $AB$ и своей проекции $AH$.","$AC^2 = 18 \\cdot 2 = 36$, $AC = 6$."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-18]]Катеты прямоугольного треугольника $ABC$ равны $AC = 9$ и $BC = 12$, $CH$ — высота. Найдите $AH$. [[input-9]]","widgets":{"image-18":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"input-9":{"type":"input","answer":["5,4","5.4"]}},"hints":["$AB = \\sqrt{81 + 144} = 15$.","$AH = \\dfrac{AC^2}{AB} = \\dfrac{81}{15} = 5{,}4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-19]]Катеты прямоугольного треугольника $ABC$ равны $AC = 24$ и $BC = 32$, $CH$ — высота. Найдите $AH$. [[input-10]]","widgets":{"image-19":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vrms7ebilnob.svg"},"input-10":{"type":"input","answer":["14,4","14.4"]}},"hints":["$AB = \\sqrt{576 + 1024} = 40$.","$AH = \\dfrac{AC^2}{AB} = \\dfrac{576}{40} = 14{,}4$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>