Отношение площадей подобных треугольников. Свойство биссектрисы треугольника

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Сходственные стороны двух подобных треугольников относятся как $2 : 5$. Тогда площади этих треугольников относятся как [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$8 : 125$","$4 : 10$","$4 : 25$","$2 : 5$"],"answer":2}},"hints":["Отношение сходственных сторон — это коэффициент подобия: $k = \\dfrac{2}{5}$.","Площади относятся как $k^2 = \\dfrac{4}{25}$. Ответ: $4 : 25$."],"step":1},{"id":"1","content":"Сходственные стороны двух подобных треугольников относятся как $3 : 4$. Тогда площади этих треугольников относятся как [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$27 : 64$","$6 : 8$","$3 : 4$","$9 : 16$"],"answer":3}},"hints":["Отношение сходственных сторон — это коэффициент подобия: $k = \\dfrac{3}{4}$.","Площади относятся как $k^2 = \\dfrac{9}{16}$. Ответ: $9 : 16$."],"step":1},{"id":"2","content":"Площадь треугольника равна 36. Подобный треугольник имеет коэффициент $k = \\dfrac{2}{3}$. Найдите его площадь. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["$k^2 = \\dfrac{4}{9}$.","$S_1 = 36 \\cdot \\dfrac{4}{9} = 16$."],"step":1},{"id":"2","content":"Площадь треугольника равна 45. Подобный треугольник имеет коэффициент $k = \\dfrac{2}{3}$. Найдите его площадь. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["$k^2 = \\dfrac{4}{9}$.","$S_1 = 45 \\cdot \\dfrac{4}{9} = 20$."],"step":1},{"id":"3","content":"Площади подобных треугольников равны 2 и 18. Найдите $k$ большего к меньшему. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["$k^2 = \\dfrac{18}{2} = 9$.","$k = 3$."],"step":1},{"id":"3","content":"Площади подобных треугольников равны 3 и 48. Найдите $k$ большего к меньшему. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$k^2 = \\dfrac{48}{3} = 16$.","$k = 4$."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 15$, $BD$ — биссектриса. Соотнесите длины сторон $AB$ и $BC$ с длиной отрезка $AD$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AB = 8$, $BC = 12$","$AB = 12$, $BC = 8$","$AB = 10$, $BC = 10$"],"items":["$AD = 6$","$AD = 9$","$AD = 7{,}5$","$AD = 5$"]}},"instruction":"Соотнесите стороны и отрезок","hints":["$AD : DC = AB : BC$, поэтому $AD = AC \\cdot \\dfrac{AB}{AB + BC}$.","$15 \\cdot \\dfrac{8}{20} = 6$; $15 \\cdot \\dfrac{12}{20} = 9$; $15 \\cdot \\dfrac{10}{20} = 7{,}5$.","Ответ: $AB = 8$, $BC = 12$ — $AD = 6$; $AB = 12$, $BC = 8$ — $AD = 9$; $AB = BC = 10$ — $AD = 7{,}5$; $AD = 5$ лишнее."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 24$, $BD$ — биссектриса. Соотнесите длины сторон $AB$ и $BC$ с длиной отрезка $AD$.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$AB = 12$, $BC = 20$","$AB = 20$, $BC = 12$","$AB = 15$, $BC = 15$"],"items":["$AD = 9$","$AD = 15$","$AD = 12$","$AD = 8$"]}},"instruction":"Соотнесите стороны и отрезок","hints":["$AD : DC = AB : BC$, поэтому $AD = AC \\cdot \\dfrac{AB}{AB + BC}$.","$24 \\cdot \\dfrac{12}{32} = 9$; $24 \\cdot \\dfrac{20}{32} = 15$; $24 \\cdot \\dfrac{15}{30} = 12$.","Ответ: $AB = 12$, $BC = 20$ — $AD = 9$; $AB = 20$, $BC = 12$ — $AD = 15$; $AB = BC = 15$ — $AD = 12$; $AD = 8$ лишнее."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$, $AB = 10$, $BC = 15$, $AD = 6$. Найдите $AC$. [[input-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/aifx9uhv1n3t.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["$DC = AD \\cdot \\dfrac{BC}{AB} = 6 \\cdot 1{,}5 = 9$.","$AC = 6 + 9 = 15$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-2]]В треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$, $AB = 14$, $BC = 21$, $AD = 4$. Найдите $AC$. [[input-6]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/aifx9uhv1n3t.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$DC = AD \\cdot \\dfrac{BC}{AB} = 4 \\cdot 1{,}5 = 6$.","$AC = 4 + 6 = 10$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-3]]В треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$, $AB = 6$, $BC = 9$, $AC = 10$. Решавр записал $\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{BC}{AB}$ и получил $AD = 6$. Как правильно?[[choice-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/aifx9uhv1n3t.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$AD = 9$","$AD = 6$ верно: Решавр прав","$\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{AB}{BC}$, $AD = 4$","$AD = 5$, так как биссектриса делит пополам"],"explanations":["Это сторона $BC$, а не отрезок $AD$: длину $AD$ нужно найти из отношения","$AD = 6$ получено при перевернутом отношении; стороны поставлены наоборот","","Пополам делит медиана; биссектриса делит в отношении сторон"],"answer":[2]}},"hints":["$AD$ прилежит к $AB$, значит, $\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{AB}{BC} = \\dfrac{6}{9}$.","$AD = 10 \\cdot \\dfrac{6}{15} = 4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-4]]В треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$, $AB = 4$, $BC = 6$, $AC = 5$. Решавр записал $\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{BC}{AB}$ и получил $AD = 3$. Как правильно?[[choice-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/aifx9uhv1n3t.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{AB}{BC}$, $AD = 2$","$AD = 2{,}5$, так как биссектриса делит пополам","$AD = 3$ верно: Решавр прав","$AD = 4$"],"explanations":["","Пополам делит медиана; биссектриса делит в отношении сторон","$AD = 3$ получено при перевернутом отношении; стороны поставлены наоборот","Это длина $AB$, а не отрезка $AD$"],"answer":[0]}},"hints":["$AD$ прилежит к $AB$, значит, $\\dfrac{AD}{DC} = \\dfrac{AB}{BC} = \\dfrac{4}{6}$.","$AD = 5 \\cdot \\dfrac{4}{10} = 2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Подобный треугольник имеет $k = 2$, площадь данного равна 10. Решавр: «$S_1 = 10 \\cdot 2 = 20$». Чему равна площадь на самом деле?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["14: $10 + 4$","20: Решавр прав","80: $10 \\cdot 2^3$","40: площадь меняется в $k^2$ раз"],"explanations":["Площадь меняется умножением, а не прибавлением","Так меняются длины; площадь растет в $k^2 = 4$ раза","Это $k^3$, так меняется объем",""],"answer":[3]}},"hints":["Площади относятся как $k^2 = 4$.","$S_1 = 10 \\cdot 4 = 40$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Подобный треугольник имеет $k = 3$, площадь данного равна 4. Решавр: «$S_1 = 4 \\cdot 3 = 12$». Чему равна площадь на самом деле?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["7: $4 + 3$","12: Решавр прав","36: площадь меняется в $k^2$ раз","108: $4 \\cdot 3^3$"],"explanations":["Площадь меняется умножением, а не прибавлением","Так меняются длины; площадь растет в $k^2 = 9$ раз","","Это $k^3$, так меняется объем"],"answer":[2]}},"hints":["Площади относятся как $k^2 = 9$.","$S_1 = 4 \\cdot 9 = 36$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Периметры подобных треугольников равны 15 и 20, площадь меньшего равна 18. Найдите площадь большего. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"32"}},"hints":["$k = \\dfrac{20}{15} = \\dfrac{4}{3}$.","$S_1 = 18 \\cdot \\dfrac{16}{9} = 32$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Периметры подобных треугольников равны 12 и 18, площадь меньшего равна 20. Найдите площадь большего. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"45"}},"hints":["$k = \\dfrac{18}{12} = \\dfrac{3}{2}$.","$S_1 = 20 \\cdot \\dfrac{9}{4} = 45$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-5]]Прямая, параллельная $AC$, пересекает $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$, $\\dfrac{BD}{BA} = \\dfrac{1}{2}$, площадь $ABC$ равна 48. Найдите площадь четырехугольника $ADEC$. [[input-9]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/7jgoagwoojpt.svg"},"input-9":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["$S_{DBE} = 48 \\cdot \\dfrac{1}{4} = 12$.","$S_{ADEC} = 48-12 = 36$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-6]]Прямая, параллельная $AC$, пересекает $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$, $\\dfrac{BD}{BA} = \\dfrac{2}{3}$, площадь $ABC$ равна 63. Найдите площадь четырехугольника $ADEC$. [[input-10]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/7jgoagwoojpt.svg"},"input-10":{"type":"input","answer":"35"}},"hints":["$S_{DBE} = 63 \\cdot \\dfrac{4}{9} = 28$.","$S_{ADEC} = 63-28 = 35$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Треугольник $MNK$ уменьшили копиром с коэффициентом $k = \\dfrac{1}{2}$, $MP$ — его медиана. Распределите величины по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Не изменится","Уменьшится в 2 раза","Уменьшится в 4 раза"],"items":[["Угол $N$","Отношение $MN : NK$"],["Сторона $NK$","Медиана $MP$","Периметр $MNK$"],["Площадь $MNK$","Площадь $MNP$"]]}},"instruction":"Распределите величины по группам","hints":["Копия сохраняет углы, поэтому сохраняются и отношения длин.","Каждая длина — сторона, медиана, периметр — уменьшается в 2 раза.","Площадь любого треугольника на чертеже меняется в $k^2 = \\dfrac{1}{4}$ раза, то есть уменьшается в 4 раза.","Ответ: не изменятся угол $N$ и отношение $MN : NK$; в 2 раза — $NK$, $MP$, периметр; в 4 раза — площади $MNK$ и $MNP$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Треугольник $KLM$ увеличили копиром с коэффициентом $k = 4$, $LH$ — его высота. Распределите величины по группам.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Не изменится","Увеличится в 4 раза","Увеличится в 16 раз"],"items":[["Угол $L$","Отношение $KL : LM$"],["Сторона $KM$","Высота $LH$","Периметр $KLM$"],["Площадь $KLM$","Площадь $KLH$"]]}},"instruction":"Распределите величины по группам","hints":["Копия сохраняет углы, поэтому сохраняются и отношения длин.","Каждая длина — сторона, высота, периметр — растет в $k = 4$ раза.","Площадь любого треугольника на чертеже растет в $k^2 = 16$ раз.","Ответ: не изменятся угол $L$ и отношение $KL : LM$; в 4 раза — $KM$, $LH$, периметр; в 16 раз — площади $KLM$ и $KLH$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>