Средняя линия треугольника

Мы уже знакомы с понятием средней линии. Она встречалась нам, когда мы изучали площадь трапеции.

В треугольнике также можно выделить среднюю линию и даже не одну. Эти отрезки обладают своими особенностями. Они применяется при доказательствах и нахождении связей между сторонами и углами треугольника.

Свойства средней линии

Среди множества отрезков, которые можно построить в треугольнике, особое место занимает средняя линия. Она не просто соединяет две точки середин сторон треугольника, с ней связаны наблюдения, которые облегчают решение задач.

Теорема
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон, он параллелен третьей и равен его половине.

Доказательство

Скрыть

Пусть в треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$. Проведем $MN$

1. $AM = MB$, $AN = NC \Rightarrow \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1}{2}$.
2. $\angle A$ общий $\Rightarrow$ по признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними) получаем: $\triangle AMN \sim \triangle ABC$.
3. Так как треугольники подобны, то $\angle AMN = \angle ABC$.

$\angle AMN$ и $\angle ABC$ являются соответственными при $MN$, $BC$ и секущей $AB$ $\Rightarrow MN \parallel BC$.

В подобных треугольниках отношения сходственных сторон равны. Значит, $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2} \cdot BC$.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ $BC = 10 \\ см$. Чему равна средняя линия $MN$, если $M$ и $N$ — середины $AB$ и $AC$?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2 \\ см$","$5 \\ см$","$10 \\ см$","$20 \\ см$"],"answer":[1]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/1-01-26.svg","width":"300"}},"hints":["Вспомните одно из свойств средней линии треугольника.","Средняя линия равна половине третьей стороны $\\Rightarrow$ если $BC = 10 \\ см$, то $MN = \\dfrac{1}{2} \\cdot BC = 5 \\ см$.<br /><br />Ответ: $MN = 5 \\ см$."]}]}

Следствие из теоремы

Мы доказали, что средняя линия треугольника равна половине стороны, напротив которой она лежит, следовательно коэффициент подобия $k = \dfrac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников ровно квадрату коэффициента подобия, значит,

$$ \dfrac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}.$$

То есть, если провести среднюю линию в треугольнике, она отсечет треугольник, площадь которого составляет $\dfrac{1}{4}$ площади всего треугольника.

Теперь отметим на стороне $BC$ середину — точку $P$ и соединим ее с точками $M$ и $N$.

Так как точка $P$ — середина $BC$, а $M$ и $N$ — середины $AB$ и $AC$ соответственно, то $PN$ и $PM$ также будут являться средними линиями.

Следовательно, $S_{ \triangle PNC}$ и $S_ { \triangle PMB}$ также будут составлять $ \dfrac{1}{4}$ площади треугольника $ \triangle ABC$.

Значит, $S_{\triangle AMN}$ + $S_{ \triangle PNC}$ + $S_ { \triangle PMB}$ = $ \dfrac{1}{4}$ + $ \dfrac{1}{4}$ + $ \dfrac{1}{4}$ = $ \dfrac{3}{4}$.

Если из площади всего треугольника вычесть площади отсеченных, то останется $S_{\triangle MNP}$, которая тоже будет равна $ \dfrac{1}{4}$.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$, $AC$ и $BC$ отмечены середины сторон $M$, $N$ и $P$ соответственно. Площадь треугольника $MNP$ равна $12 \\ см^2$. Чему равна площадь треугольника $ABC$?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$24 \\ см^2$","$36 \\ см^2$","$48 \\ см^2$","$64 \\ см^2$"],"answer":[2]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/3-01-22.svg","width":"300"}},"hints":["Подумайте, на сколько равных частей делят треугольник три его средние линии.","Все четыре треугольника являются равновеликими.<br />Если площадь одного из них равна $12 \\ см^2$, то площадь всего треугольника: $ 4 \\cdot 12 = 48 \\ см^2$.<br /><br />Ответ: $S_{ \\triangle ABC} = 48 \\ см^2$."]}]}

Решение задач

Рассмотрим задачи, которые покажут, как применяется теорема о средней линии треугольника.

Решение

Скрыть

Проведем диагональ $AC$ и рассмотрим треугольники $ABC$ и $ACD$.

В $\triangle ABC$ точки $M$ и $N$ — середины $AB$ и $BC \Rightarrow MN \parallel AC$, так как является средней линией $\triangle ABC$.

В $\triangle ADC$ точки $Q$ и $P$ — середины $AD$ и $DC \Rightarrow QP \parallel AC$, также по свойству средней линии.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу. Следовательно, $MN \parallel QP$.

Аналогично рассуждая, доказывается, что $NP \parallel MQ$.

Итак, у четырехугольника $MNPQ$ попарно параллельны противоположные стороны, значит, $MNPQ$ — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.

Решение

Скрыть

1. $M$ и $N$ — середины $\Rightarrow; AM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \ см$, $AN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 \ см$.
2. По свойству средней линии: $MN = \dfrac{1}{2}\cdot BC = \dfrac{16}{2} = 8 \ см$.
3. $P_{\triangle AMN} = AM + AN + MN = 5 + 8 + 6 = 19 \ см$.

Ответ: $P_{\triangle AMN} = 19 \ см$.

Периметр треугольника $ABC = 38 \ см$, что в два раза больше, чем $P_{\triangle AMN} = 19 \ см$.

Следовательно, периметр треугольника, отсеченного средней линией, равен половине периметра исходного треугольника.

{"questions":[{"content":"На серединах сторон $AB = 16 \\ см$, $BC = 14 \\ см$, $AC = 13 \\ см$ треугольника $ABC$ взяты точки $M$, $N$ и $P$. Найдите периметр параллелограмма $MNPB$.[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$21,5 \\ см$","$15 \\ см$","$30 \\ см$","$13,5 \\ см$"],"answer":[2]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/7-01-18.svg","width":"300"}},"hints":["Вспомните одно из свойств средней линии треугольника.","Средняя линия треугольника равна половине стороны, напротив которой она лежит.","Периметр параллелограмма $MNPB$:<br />$P_{MNPB} = 2 \\cdot (MN + NP) = 2 \\cdot (\\dfrac{BC}{2} + \\dfrac{AB}{2}) = AB + BC = 16 + 14 = 30 \\ см$.<br /><br />Ответ: $P_{MNPB} = 30 \\ см$.<br />"]}]}

Свойство медиан треугольника

При помощи средней линии треугольника можно доказать еще одно немаловажное утверждение о медианах треугольника.

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центром тяжести (точкой равновесия фигуры). Эта точка делит каждую медиану на отрезки в отношении $2:1$, считая от вершины.

Доказательство

Скрыть

Пусть в $\triangle ABC$ медианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$. Соединим середины $A_1$ и $B_1$.

По теореме о средней линии $A_1B_1 \parallel AB$.

Тогда $\triangle AOB \sim \triangle A_1OB_1$ ($\angle AOB = \angle A_1OB_1$ — вертикальные, $\angle BAA_1 = \angle AA_1B_1$ — накрест лежащие при $A_1B_1 \parallel AB$, $AA_1$ — секущая).

Из подобия следует:
$\dfrac{AO}{A_1O} = \dfrac{BO}{B_1O} = \dfrac{AB}{A_1B_1}$.

Так как $AB = 2 \cdot A_1B_1$, получаем:
$AO = 2 \cdot A_1O$, $BO = 2 \cdot B_1O$.

Значит, точка $O$ делит медианы $AA_1$ и $BB_1$ в отношении $2:1$ от вершины.

Аналогично доказывается для медианы $CC_1$. Следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке $O$, и делятся ею в отношении $2:1$.

Что и требовалось доказать.

Задача

В $\triangle ABC$ медианы $AA_1$ и $BB_1$пересекаются в точке $O$.
Известно, что $BB_1 = 12 \ см$.
Найдите $BO$ и $B_1O$.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"В каком отношении точка пересечения медиан делит медиану треугольника, начиная от вершины?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1:1$","$2:1$","$1:2$","$3:1$"],"answer":[1]}},"hints":["Отрезок от вершины до точки пересечения медиан в два раза больше, чем отрезок от этой точки до середины стороны."]}]}

Исторические факты

Теорема о средней линии треугольника имеет очень древние корни. Уже в «Началах» Евклида, написанных около 300 года до н. э., можно найти рассуждения, из которых выводится ее свойство.

Там подробно разбирались параллельные прямые и подобные треугольники, а средняя линия как раз является частным случаем этих идей.

Архимед тоже интересовался подобными конструкциями. Изучая площади и равновесие фигур, он рассматривал линии, соединяющие середины сторон. Такие линии помогают делить фигуры на части с простыми соотношениями площадей.

Со временем свойство средней линии стало неотъемлемой частью школьной геометрии.

Оно наглядно показывает, как внутри большого треугольника возникает меньший — так называемый медиальный, стороны которого параллельны сторонам исходного, а площадь всегда равна четверти площади исходного треугольника.

Часто задаваемые вопросы