Подобные треугольники. Пропорциональные отрезки

На этом уроке мы познакомимся с одним из самых важных понятий геометрии — подобием треугольников. Увидим, что означают «подобные фигуры», чем они отличаются от равных и как можно определить подобие.

Вы узнаете основные признаки подобия треугольников, а также научитесь применять их в задачах.

Пропорциональные отрезки

В геометрии нам иногда приходится сравнивать длины отрезков между собой: во сколько раз один отрезок больше или меньше другого.

Деление длины одного отрезка на длину другого называется отношением этих отрезков.

Это понятие нам знакомо из курса алгебры, когда мы изучали пропорцию. Тогда отношения составлялись просто из чисел:

$$ \dfrac{15}{8} = \dfrac{21}{x}.$$

Данное алгебраическое воспоминание будет являться основополагающим в нашей теме пропорциональности. Потому что именно пропорции помогут нам в вычислениях.

Итак, если нам даны длины двух отрезков, то мы можем составить их отношение.

Пусть $AB = 6 \ см$, а $CD = 3 \ см$ — их отношение:
$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{6}{3} = 2$ (читается это так: $AB$ относится к $CD$ как шесть к трём).

Отношение показывает, во сколько раз один отрезок больше или меньше другого.

Рассмотрим другую пару отрезков: $EF = 8 \ см$, а $GH = 4 \ см$. Тогда их отношение:
$$\dfrac{EF}{GH} = \dfrac{8}{4} = 2.$$

Мы получили то же самое число, что и раньше. Значит, отношения отрезков равны.
$$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{EF}{GH} = 2.$$

Такие отрезки называют пропорциональными. То есть отрезки $AB$ и $CD$ пропорциональны отрезкам $EF$ и $GH$.

Из представленных примеров можно понять, что таких пар, отношение которых будет равно $2$, бесконечно много. Поэтому отношения могут быть не только двойные, но и тройные, четверные и так далее.

В геометрии в основном рассматриваются двойные или тройные отношения.

{"questions":[{"content":"Выберите пары пропорциональных отрезков.[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/rost-rostomer.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$AB = 5 \\ см$, $CD = 3 \\ см$; $EF = 10 \\ см$, $GH = 4 \\ см$.","$KL = 9 \\ см$, $MN = 5 \\ см$; $PQ = 18 \\ см$, $RS = 10 \\ см$.","$TU = 12 \\ см$, $VW = 9 \\ см$; $XY = 10 \\ см$, $ZT = 6 \\ см$.","$LM = 7 \\ см$, $NO = 2 \\ см$; $PR = 11 \\ см$, $QS = 5 \\ см$."],"answer":[1]}},"hints":["Составьте два отношения из данных отрезков.","Если результаты равны, то эти отрезки пропорциональны."]}]}

Подобные треугольники

В жизни мы часто встречаемся с одинаковыми по форме, но разными по размеру фигурами.

Например, квадраты: маленький квадратик клеточки в тетради и огромная квадратная плитка на площади — форма одна и та же, а величина разная.

Или круги: маленький круг монетки и большой круг обруча — выглядят они одинаково, только различаются по размеру.

Фигуры, которые имеют одинаковую форму, но отличаются по размеру, называются подобными.

Важно заметить: все квадраты подобны друг другу, и все круги тоже подобны друг другу.

Теперь посмотрим, как это понятие работает на примере треугольников.

Два треугольника называются подобными, если у них равны соответствующие углы, а стороны, заключающие эти углы, пропорциональны.

Кстати, оба этих утверждения могут «работать» друг без друга. То есть, если у треугольников все углы равны, то стороны автоматически будут пропорциональны, и наоборот.

Следовательно, если $\angle A = \angle M$, $\angle B = \angle N$, $\angle C = \angle K$,
то $\triangle ABC \sim \triangle MNK$ (значок $\sim$ обозначает подобие и читается так: $\triangle ABC$ подобен $\triangle MNK$).

В этом случае выполняются равенства:
$$\dfrac{AB}{MN} = \dfrac{BC}{NK} = \dfrac{AC}{MK}.$$

Стороны $AB$ и $MN$, $BC$ и $NK$, $AC$ и $MK$ называются сходственными. Сходственные стороны лежат напротив равных углов.

При записи пропорции сходственные стороны всегда ставятся в одинаковом порядке, иначе равенства не будут верными.

Например, если в числителе первого отношения вы записали сторону $\triangle ABC$, а в знаменателе сторону $\triangle MNK$, то и во всей пропорции должен быть такой порядок.

При подобии треугольников отношения сходственных сторон равны одному и тому же числу. Это число называется коэффициентом подобия и обозначается буквой $k$.

Коэффициент подобия можно вычислить с помощью только одной пары каких-либо сходственных сторон. Не обязательно составлять отношения всех трех, потому что отношения каждой пары сходственных сторон будет одинаково.

Задача

Одна из сходственных сторон меньшего из подобных треугольников равна $12 \ см$. Чему равна сходственная ей сторона большего треугольника, если коэффициент подобия равен $k = \dfrac{1}{3}$?

Решение

Скрыть

Пусть меньший из треугольников — $PMK$, а больший — $ABC$.

Тогда меньшие из сходственных сторон будут $BC$ и $MK$.

По условию задачи коэффициент подобия $k = \dfrac{1}{3} < 1$, следовательно, меньшая из сторон делится на большую.

Составим пропорцию: $ \dfrac{MK}{BC} = \dfrac{1}{3}$.

Меньшая из сторон равна $7 \ см$, значит, большая равна $21 \ см$.

Ответ: $21 \ см$.

{"questions":[{"content":"Что называют сходственными сторонами в подобных треугольниках?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/kola.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Стороны, равные по длине.","Стороны, которые лежат напротив равных углов.","Стороны, у которых длины относятся как $2 : 1$.","Стороны, которые параллельны."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что в определении подобия говорится о равенстве углов.","Стороны называются сходственными, если они стоят напротив равных углов."]}]}

Интерактив

Это интересно

Подобие фигур помогало людям издревле. Еще в Древней Греции философ Фалес измерял высоту египетских пирамид.

Он заметил, что если в один и тот же момент времени тень от палки и тень от пирамиды падают под одинаковым углом, то треугольники «пирамида с тенью» и «палка с тенью» подобны.

Нужно было только измерить длину тени пирамиды и палки, а дальше найти высоту пирамиды по пропорции.

Архитекторы и инженеры используют подобие, когда делают уменьшенные модели зданий или мостов. Макет и реальное сооружение — это подобные фигуры.

В картах и глобусах тоже применяется подобие. Земной шар уменьшают в сотни тысяч раз, но форма материков и стран остается такой же, только размеры меняются.

В телефоне мы постоянно сталкиваемся с подобием. При изменении масштаба фотографии на экране телефона меняются размеры, а форма сохраняется такой же.

Эти примеры показывают, что подобие — не абстрактное понятие, а инструмент, который люди используют и в науке, и в обычной жизни.

Часто задаваемые вопросы