9. Задачи с прикладным содержанием: Квадратные и степенные уравнения и неравенства
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон: $$pV^k = 10^5 \space Па \cdot м^5$$ где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объем газа в кубических метрах, $k=\frac{5}{3}.$ Найдите, какой объем $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$ равном $3.2\cdot 10^6 \space Па.$
Подставим в формулу значения переменных и произведем вычисления: $$3.2\cdot 10^6V^{\frac{5}{3}} = 10^5$$ $$32\cdot V^{\frac{5}{3}} =1$$ $$V^{\frac{5}{3}}=\frac{1}{32}$$ $$(\sqrt[3]{V})^5=\Big(\frac{1}{2}\Big)^5$$ $$\sqrt[3]{V} = \frac{1}{2}$$ $$V =\frac{1}{8} = 0.125$$
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон: $$pV^k = 2.5 \cdot 10^5 \space Па \cdot м^5$$ где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объем газа в кубических метрах, $k=\frac{4}{3}.$ Найдите, какой объем $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$ равном $4\cdot 10^6 \space Па.$
Подставим в формулу значения переменных и произведем вычисления: $$4\cdot 10^6V^{\frac{4}{3}} = 2.5 \cdot 10^5$$ $$40\cdot V^{\frac{4}{3}} =2.5$$ $$V^{\frac{4}{3}}=\frac{1}{16}$$ $$(\sqrt[3]{V})^4=\Big(\frac{1}{2}\Big)^4$$ $$\sqrt[3]{V} = \frac{1}{2}$$ $$V =\frac{1}{8} = 0.125$$
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон: $$pV^k = 5 \cdot 10^3 \space Па \cdot м^5$$ где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объем газа в кубических метрах, $k=\frac{5}{3}.$ Найдите, какой объем $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$ равном $1.6\cdot 10^5 \space Па.$
Подставим в формулу значения переменных и произведем вычисления: $$1.6\cdot 10^5V^{\frac{5}{3}} = 5 \cdot 10^3$$ $$160\cdot V^{\frac{5}{3}} =5$$ $$V^{\frac{5}{3}}=\frac{1}{32}$$ $$(\sqrt[3]{V})^5=\Big(\frac{1}{2}\Big)^5$$ $$\sqrt[3]{V} = \frac{1}{2}$$ $$V =\frac{1}{8} = 0.125$$
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону: $$H(t) = at^2+bt +H_0$$ где $H_0=4 \space м$ — начальный уровень воды, $a = \frac{1}{100} \space м/мин^2$ и $b=-\frac{2}{5} \space м/мин$ — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$H(t) = \frac{1}{100}t^2-\frac{2}{5}t +4$$
Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока в нем не останется воды, то есть пока уровень воды не понизится до нуля: $$ \frac{1}{100}t^2-\frac{2}{5}t +4 =0$$ $$ t^2-40t +400 =0$$ $$t=20$$
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону: $$H(t) = at^2+bt +H_0$$ где $H_0= 6 \space м$ — начальный уровень воды, $a = \frac{1}{486} \space м/мин^2$ и $b=-\frac{2}{9} \space м/мин$ — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$H(t) = \frac{1}{486}t^2-\frac{2}{9}t +6$$
Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока в нем не останется воды, то есть пока уровень воды не понизится до нуля: $$ \frac{1}{486}t^2-\frac{2}{9}t +6 =0$$ $$ t^2-108t +2\space 916=0$$ $$t=54$$
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону: $$H(t) = at^2+bt +H_0$$ где $H_0= 4 \space м$ — начальный уровень воды, $a = \frac{1}{400} \space м/мин^2$ и $b=-\frac{1}{5} \space м/мин$ — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$H(t) = \frac{1}{400}t^2-\frac{1}{5}t +4$$
Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока в нем не останется воды, то есть пока уровень воды не понизится до нуля: $$ \frac{1}{400}t^2-\frac{1}{5}t +4 =0$$ $$ t^2-80t +1\space 600 =0$$ $$t=40$$
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому: $$P=σST^4$$ где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $σ=5.7\cdot 10^{-8} \space \frac{Вт}{м^2 \cdot K^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{16} \cdot 10^{20} \space м^2,$ а мощность ее излучения равна $9.12 \cdot 10^{25} \space Вт.$ Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Из формулы выразим температуру: $$T^4 = \frac{P}{σS}$$ $$T = \sqrt[4]{\frac{P}{σS}}$$
Подставим известные из условия значения в формулу: $$\sqrt[4]{\frac{9.12 \cdot 10^{25}}{5.7\cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{16} \cdot 10^{20}}}$$ $$T=\sqrt[4]{256\cdot 10^{12}}=4\space000$$
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому: $$P=σST^4$$ где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $σ=5.7\cdot 10^{-8} \space \frac{Вт}{м^2 \cdot K^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{343} \cdot 10^{20} \space м^2,$ а мощность ее излучения равна $3.99 \cdot 10^{25} \space Вт.$ Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Из формулы выразим температуру: $$T^4 = \frac{P}{σS}$$ $$T = \sqrt[4]{\frac{P}{σS}}$$
Подставим известные из условия значения в формулу: $$\sqrt[4]{\frac{3.99 \cdot 10^{25}}{5.7\cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{343} \cdot 10^{20}}}$$ $$T=\sqrt[4]{2 \space 401\cdot 10^{12}}=7\space000$$
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому: $$P=σST^4$$ где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $σ=5.7\cdot 10^{-8} \space \frac{Вт}{м^2 \cdot K^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{625} \cdot 10^{20} \space м^2,$ а мощность ее излучения равна $9.12 \cdot 10^{25} \space Вт.$ Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Из формулы выразим температуру: $$T^4 = \frac{P}{σS}$$ $$T = \sqrt[4]{\frac{P}{σS}}$$
Подставим известные из условия значения в формулу: $$\sqrt[4]{\frac{9.12 \cdot 10^{25}}{5.7\cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{625} \cdot 10^{20}}}$$ $$T=\sqrt[4]{10 \space 000\cdot 10^{12}}=10\space000$$
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому: $$P=σST^4$$ где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $σ=5.7\cdot 10^{-8} \space \frac{Вт}{м^2 \cdot K^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{8} \cdot 10^{20} \space м^2,$ а мощность ее излучения равна $1.14 \cdot 10^{25} \space Вт.$ Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Из формулы выразим температуру: $$T^4 = \frac{P}{σS}$$ $$T = \sqrt[4]{\frac{P}{σS}}$$
Подставим известные из условия значения в формулу: $$\sqrt[4]{\frac{1.14 \cdot 10^{25}}{5.7\cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{8} \cdot 10^{20}}}$$ $$T=\sqrt[4]{16\cdot 10^{12}}=2\space000$$
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле: $$F_A = ρ g l^3$$ где $l$ — длина ребра куба в метрах, $ρ=1000 \space кг/м^3$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=9.8 \space Н/кг$). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $78 \space 400 \space Н?$
Для того чтобы определить максимальную длину ребра куба, подставим имеющиеся данные в формулу: $$F_A = ρ g l^3$$ $$78 \space 400 = 1000 \cdot 9.8 l^3$$ $$l^3=8$$ $$l=2$$
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле: $$F_A = ρ g l^3$$ где $l$ — длина ребра куба в метрах, $ρ=1000 \space кг/м^3$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=9.8 \space Н/кг$). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $264 \space 600 \space Н?$
Для того чтобы определить максимальную длину ребра куба, подставим имеющиеся данные в формулу: $$F_A = ρ g l^3$$ $$264 \space 600 = 1000 \cdot 9.8 l^3$$ $$l^3=27$$ $$l=3$$
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле: $$F_A = ρ g l^3$$ где $l$ — длина ребра куба в метрах, $ρ=1000 \space кг/м^3$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=9.8 \space Н/кг$). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $1 \space 225\space Н?$
Для того чтобы определить максимальную длину ребра куба, подставим имеющиеся данные в формулу: $$F_A = ρ g l^3$$ $$1 \space 225 = 1000 \cdot 9.8 l^3$$ $$l^3=0.125$$ $$l=0.5$$
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону$$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $40 \space мг.$ Период его полураспада составляет $10 \space мин.$ Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $5 \space мг.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$5 = 40 \cdot 2^{-\frac{t}{10}}$$ $$\frac{5}{40} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{10}}$$ $$\frac{1}{2}^{3} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{10}}$$ $$t=30$$
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону$$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $92 \space мг.$ Период его полураспада составляет $3 \space мин.$ Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $23 \space мг.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$23 = 92 \cdot 2^{-\frac{t}{3}}$$ $$\frac{23}{92} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{3}}$$ $$\frac{1}{2}^{2} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{3}}$$ $$t=6$$
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону$$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $120 \space мг.$ Период его полураспада составляет $6 \space мин.$ Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $7.5 \space мг.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$7.5 = 120 \cdot 2^{-\frac{t}{6}}$$ $$\frac{7.5}{120} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{6}}$$ $$\frac{1}{2}^{4} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{6}}$$ $$t=24$$
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону$$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $108 \space мг.$ Период его полураспада составляет $6 \space мин.$ Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $27 \space мг.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$27 = 108\cdot 2^{-\frac{t}{6}}$$ $$\frac{27}{108} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{6}}$$ $$\frac{1}{2}^{2} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{6}}$$ $$t=12$$
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону $$h(t) =1.6 + 8t -5t^2$$ где $h$ — высота в метрах, $ t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $3$ метров?
Составим уравнение по условию задачи и решим его: $$1.6 + 8t -5t^2 =3$$ $$-5t^2+8t-1.4=0$$ $$t_1 = 0.2$$ $$t_2 = 1.4$$
Мы нашли время, когда мяч пересекает высоту $3$ метра, нам нужно определить, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $3$ метров: $$1.4-0.2=1.2$$
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $$T(t) =T_0+bt=at^2$$ где $t$ — время в минутах, $T_0 =1400\space K,$ $a=-10\space K/мин^2,$ $b=200\space K/мин.$ Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1760\space K$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Подставим имеющиеся данные в формулу и решим полученное уравнение: $$T(t) =1400+200t-10t^2=1760$$ $$-10t^2+200t-360=0$$ $$t_1=2$$ $$t_2 = 18$$ Значит, через $2$ минуты после включения прибор уже нагреется до предельной температуры, поэтому его нужно будет отключить.
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $$T(t) =T_0+bt=at^2$$ где $t$ — время в минутах, $T_0 =1150\space K,$ $a=-10\space K/мин^2,$ $b=230\space K/мин.$ Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1910\space K$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Подставим имеющиеся данные в формулу и решим полученное уравнение: $$T(t) =1150+230t-10t^2=1910$$ $$-10t^2+230t-760=0$$ $$t^2-23t+76=0$$ $$t_1=4$$ $$t_2 = 19$$ Значит, через $4$ минуты после включения прибор уже нагреется до предельной температуры, поэтому его нужно будет отключить.
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $$T(t) =T_0+bt=at^2$$ где $t$ — время в минутах, $T_0 =1320\space K,$ $a=-8\space K/мин^2,$ $b=160\space K/мин.$ Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1920\space K$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Подставим имеющиеся данные в формулу и решим полученное уравнение: $$T(t) =1320+160t-8t^2=1920$$ $$-8t^2+160t-600=0$$ $$t^2-20t+75=0$$ $$t_1=5$$ $$t_2 = 15$$ Значит, через $5$ минуты после включения прибор уже нагреется до предельной температуры, поэтому его нужно будет отключить.
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону $$h(t) =80- 20t +t^2$$ где $h$ — высота в метрах, $ t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $4$ метров?
Составим уравнение по условию задачи и решим его: $$79 -20t +t^2 =4$$ $$t^2-20t+75=0$$ $$t_1 = 5$$ $$t_2 = 15$$
Мы нашли время, когда мяч пересекает высоту $4$ метра, нам нужно определить, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $4$ метров: $$15-5=10$$