9. Задачи с прикладным содержанием: все задания
Груз массой $0.08 \space кг$ колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v=v_0\sin \frac{2 \pi t}{T}$$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=12 \space с$ — период колебаний, $v_0=0.5 \space м/с.$ Кинетическая энергия $E$ груза вычисляется по формуле: $$E=\frac{mv^2}{2}$$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в $м/с.$ Найдите кинетическую энергию груза через $1$ секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Найдём скорость груза через $1$ секунду после начала колебаний: $$v=v_0\sin \frac{2 \pi t}{T}$$ $$v=0.5 \cdot \sin \frac{2 \pi\cdot 1}{12}=0.25$$
Тогда кинетическая энергия груза через $1$ секунду после начала колебаний равна: $$E=\frac{mv^2}{2}$$ $$E=\frac{0.08\cdot 0.25^2}{2}=0.0025$$
Груз массой $0.11 \space кг$ колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v=v_0\sin \frac{2 \pi t}{T}$$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=8\space с$ — период колебаний, $v_0=0.4 \space м/с.$ Кинетическая энергия $E$ груза вычисляется по формуле: $$E=\frac{mv^2}{2}$$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в $м/с.$ Найдите кинетическую энергию груза через $5$ секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Найдём скорость груза через $5$ секунд после начала колебаний: $$v=v_0\sin \frac{2 \pi t}{T}$$ $$v=0.4 \cdot \sin \frac{2 \pi\cdot 5}{8}=-0.2\sqrt{2}$$
Тогда кинетическая энергия груза через $5$ секунд после начала колебаний равна: $$E=\frac{mv^2}{2}$$ $$E=\frac{0.11\cdot (-0.2\sqrt{2})^2}{2}=0.0044$$
Груз массой $0.06 \space кг$ колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v=v_0\sin \frac{2 \pi t}{T}$$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=12 \space с$ — период колебаний, $v_0=0.6 \space м/с.$ Кинетическая энергия $E$ груза вычисляется по формуле: $$E=\frac{mv^2}{2}$$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в $м/с.$ Найдите кинетическую энергию груза через $4$ секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Найдём скорость груза через $4$ секунды после начала колебаний: $$v=v_0\sin \frac{2 \pi t}{T}$$ $$v=0.6 \cdot \sin \frac{2 \pi\cdot 4}{12}=0.3\sqrt{3}$$
Тогда кинетическая энергия груза через $4$ секунды после начала колебаний равна: $$E=\frac{mv^2}{2}$$ $$E=\frac{0.06\cdot (0.3\sqrt{3})^2}{2}=0.0081$$
Двигаясь со скоростью $v=4 \space м/с ,$ трактор тащит сани с силой $F=54 \space кН,$ направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле: $$N=Fv\cos \alpha$$Найдите, при каком угле $\alpha$ эта мощность будет равна $108\space кВт.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$N=Fv\cos \alpha$$ $$108=54\cdot 4 \cos \alpha$$ $$\cos \alpha = 0.5$$ $$\alpha = 60$$
Двигаясь со скоростью $v=3 \space м/с ,$ трактор тащит сани с силой $F=50\space кН,$ направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле: $$N=Fv\cos \alpha$$Найдите, при каком угле $\alpha$ эта мощность будет равна $75\space кВт.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$N=Fv\cos \alpha$$ $$75=50\cdot 3 \cos \alpha$$ $$\cos \alpha = 0.5$$ $$\alpha = 60$$
Двигаясь со скоростью $v=5 \space м/с ,$ трактор тащит сани с силой $F=60\space кН,$ направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле: $$N=Fv\cos \alpha$$Найдите, при каком угле $\alpha$ эта мощность будет равна $150\space кВт.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$N=Fv\cos \alpha$$ $$150=60\cdot 5 \cos \alpha$$ $$\cos \alpha = 0.5$$ $$\alpha = 60$$
ва тела, массой $m=2 \space кг$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=10 \space м/с$ под углом $2 \alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле: $$Q = mv^2 \sin^2 \alpha$$ где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в $м/с.$ Найдите, под каким наименьшим углом должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее $50$ джоулей.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$Q = mv^2 \sin^2 \alpha$$ $$50 = 2\cdot 10^2 \sin^2 \alpha$$ $$\sin^2 \alpha = \frac{50}{200} = \frac{1}{4}$$ $$\sin \alpha = \frac{1}{2}$$ $$\alpha = 30$$ $$2 \alpha = 60$$
Два тела, массой $m=3 \space кг$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=14 \space м/с$ под углом $2 \alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле: $$Q = mv^2 \sin^2 \alpha$$ где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в $м/с.$ Найдите, под каким наименьшим углом должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее $441$ джоулей.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$Q = mv^2 \sin^2 \alpha$$ $$441= 3\cdot 14^2 \sin^2 \alpha$$ $$\sin^2 \alpha = \frac{441}{588} = \frac{3}{4}$$ $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\alpha = 60$$ $$2 \alpha = 120$$
Наблюдатель находится на высоте $h,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле: $$l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$$ где $R=6\space 400 \space км$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $4 \space км?$ Ответ дайте в метрах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$4=\sqrt{\frac{6\space 400h}{500}}$$ $$16=\frac{6\space 400h}{500}$$ $$6\space 400h = 8\space 000$$ $$h=1.25$$
Наблюдатель находится на высоте $h,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле: $$l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$$ где $R=6\space 400 \space км$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $68 \space км?$ Ответ дайте в метрах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$68=\sqrt{\frac{6\space 400h}{500}}$$ $$4 \space624=\frac{6\space 400h}{500}$$ $$6\space 400h = 2\space 312 \space 000$$ $$h=361.25$$
Наблюдатель находится на высоте $h,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле: $$l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$$ где $R=6\space 400 \space км$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $20 \space км?$ Ответ дайте в метрах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$20=\sqrt{\frac{6\space 400h}{500}}$$ $$400=\frac{6\space 400h}{500}$$ $$6\space 400h = 200\space 000$$ $$h=31.25$$
Наблюдатель находится на высоте $h,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле: $$l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$$ где $R=6\space 400 \space км$ — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $12 \space км?$ Ответ дайте в метрах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$12=\sqrt{\frac{6\space 400h}{500}}$$ $$144=\frac{6\space 400h}{500}$$ $$6\space 400h = 72\space 000$$ $$h=11.25$$
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон: $$pV^k = 10^5 \space Па \cdot м^5$$ где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объем газа в кубических метрах, $k=\frac{5}{3}.$ Найдите, какой объем $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$ равном $3.2\cdot 10^6 \space Па.$
Подставим в формулу значения переменных и произведем вычисления: $$3.2\cdot 10^6V^{\frac{5}{3}} = 10^5$$ $$32\cdot V^{\frac{5}{3}} =1$$ $$V^{\frac{5}{3}}=\frac{1}{32}$$ $$(\sqrt[3]{V})^5=\Big(\frac{1}{2}\Big)^5$$ $$\sqrt[3]{V} = \frac{1}{2}$$ $$V =\frac{1}{8} = 0.125$$
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон: $$pV^k = 2.5 \cdot 10^5 \space Па \cdot м^5$$ где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объем газа в кубических метрах, $k=\frac{4}{3}.$ Найдите, какой объем $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$ равном $4\cdot 10^6 \space Па.$
Подставим в формулу значения переменных и произведем вычисления: $$4\cdot 10^6V^{\frac{4}{3}} = 2.5 \cdot 10^5$$ $$40\cdot V^{\frac{4}{3}} =2.5$$ $$V^{\frac{4}{3}}=\frac{1}{16}$$ $$(\sqrt[3]{V})^4=\Big(\frac{1}{2}\Big)^4$$ $$\sqrt[3]{V} = \frac{1}{2}$$ $$V =\frac{1}{8} = 0.125$$
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон: $$pV^k = 5 \cdot 10^3 \space Па \cdot м^5$$ где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объем газа в кубических метрах, $k=\frac{5}{3}.$ Найдите, какой объем $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$ равном $1.6\cdot 10^5 \space Па.$
Подставим в формулу значения переменных и произведем вычисления: $$1.6\cdot 10^5V^{\frac{5}{3}} = 5 \cdot 10^3$$ $$160\cdot V^{\frac{5}{3}} =5$$ $$V^{\frac{5}{3}}=\frac{1}{32}$$ $$(\sqrt[3]{V})^5=\Big(\frac{1}{2}\Big)^5$$ $$\sqrt[3]{V} = \frac{1}{2}$$ $$V =\frac{1}{8} = 0.125$$
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=2 \cdot 10^{-6}\space Ф.$ Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=5\cdot 10^6\space Ом.$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=16 \space кВ.$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением: $$t=\alpha RC \log_2 \frac{U_0}{U}$$ где $\alpha = 0.7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $21 \space с.$ Ответ дайте в киловольтах.
Из формулы выразим логарифм: $$\log_2 \frac{U_0}{U}=\frac{t}{\alpha RC}$$
Подставим все известные значения переменных и найдем напряжение: $$\log_2 \frac{16}{U}=\frac{21}{0.7 \cdot 5\cdot 10^6 \cdot 2 \cdot 10^{-6}}$$ $$\log_2 \frac{16}{U}=3$$ $$U=2$$
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=5 \cdot 10^{-6}\space Ф.$ Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=6\cdot 10^6\space Ом.$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=24 \space кВ.$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением: $$t=\alpha RC \log_2 \frac{U_0}{U}$$ где $\alpha = 0.7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $42 \space с.$ Ответ дайте в киловольтах.
Из формулы выразим логарифм: $$\log_2 \frac{U_0}{U}=\frac{t}{\alpha RC}$$
Подставим все известные значения переменных и найдем напряжение: $$\log_2 \frac{24}{U}=\frac{42}{0.7 \cdot 6\cdot 10^6 \cdot 5 \cdot 10^{-6}}$$ $$\log_2 \frac{24}{U}=2$$ $$U=6$$
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=5 \cdot 10^{-6}\space Ф.$ Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=8\cdot 10^6\space Ом.$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=24 \space кВ.$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением: $$t=\alpha RC \log_2 \frac{U_0}{U}$$ где $\alpha = 0.7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $56 \space с.$ Ответ дайте в киловольтах.
Из формулы выразим логарифм: $$\log_2 \frac{U_0}{U}=\frac{t}{\alpha RC}$$
Подставим все известные значения переменных и найдем напряжение: $$\log_2 \frac{24}{U}=\frac{56}{0.7 \cdot 5\cdot 10^6 \cdot 8 \cdot 10^{-6}}$$ $$\log_2 \frac{24}{U}=2$$ $$U=6$$
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v=3$ моля воздуха объемом $V_1=8 \space л,$ медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением: $$A=\alpha vT \log_2 \frac{V_1}{V_2}$$ где $\alpha=5.75 \space \frac{Дж}{моль \cdot K}$ — постоянная, а $T=300 \space K$ — температура воздуха. Найдите, какой объем $V_2$ станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $10 \space 350 \space Дж.$
Выразим логарифм из формулы и, подставив известные значения переменных, произведем расчеты: $$\log_2 \frac{V_1}{V_2} = \frac{A}{\alpha vT}$$
$$\log_2 \frac{8}{V_2} = \frac{10 \space 350}{5.75 \cdot 3 \cdot 300}$$ $$\log_2 \frac{8}{V_2} = 2$$ $$V_2 =2$$
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v=3$ моля воздуха объемом $V_1=24 \space л,$ медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением: $$A=\alpha vT \log_2 \frac{V_1}{V_2}$$ где $\alpha=5.75 \space \frac{Дж}{моль \cdot K}$ — постоянная, а $T=300 \space K$ — температура воздуха. Найдите, какой объем $V_2$ станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $15 \space 525 \space Дж.$
Выразим логарифм из формулы и, подставив известные значения переменных, произведем расчеты: $$\log_2 \frac{V_1}{V_2} = \frac{A}{\alpha vT}$$
$$\log_2 \frac{24}{V_2} = \frac{15 \space 525}{5.75 \cdot 3 \cdot 300}$$ $$\log_2 \frac{24}{V_2} = 3$$ $$V_2 =3$$
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v=2$ моля воздуха объемом $V_1=48 \space л,$ медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением: $$A=\alpha vT \log_2 \frac{V_1}{V_2}$$ где $\alpha=5.75 \space \frac{Дж}{моль \cdot K}$ — постоянная, а $T=300 \space K$ — температура воздуха. Найдите, какой объем $V_2$ станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $10\space 350\space Дж.$
Выразим логарифм из формулы и, подставив известные значения переменных, произведем расчеты: $$\log_2 \frac{V_1}{V_2} = \frac{A}{\alpha vT}$$
$$\log_2 \frac{48}{V_2} = \frac{10 \space 350}{5.75 \cdot 2 \cdot 300}$$ $$\log_2 \frac{48}{V_2} = 3$$ $$V_2 =6$$
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону: $$H(t) = at^2+bt +H_0$$ где $H_0=4 \space м$ — начальный уровень воды, $a = \frac{1}{100} \space м/мин^2$ и $b=-\frac{2}{5} \space м/мин$ — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$H(t) = \frac{1}{100}t^2-\frac{2}{5}t +4$$
Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока в нем не останется воды, то есть пока уровень воды не понизится до нуля: $$ \frac{1}{100}t^2-\frac{2}{5}t +4 =0$$ $$ t^2-40t +400 =0$$ $$t=20$$
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону: $$H(t) = at^2+bt +H_0$$ где $H_0= 6 \space м$ — начальный уровень воды, $a = \frac{1}{486} \space м/мин^2$ и $b=-\frac{2}{9} \space м/мин$ — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$H(t) = \frac{1}{486}t^2-\frac{2}{9}t +6$$
Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока в нем не останется воды, то есть пока уровень воды не понизится до нуля: $$ \frac{1}{486}t^2-\frac{2}{9}t +6 =0$$ $$ t^2-108t +2\space 916=0$$ $$t=54$$
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону: $$H(t) = at^2+bt +H_0$$ где $H_0= 4 \space м$ — начальный уровень воды, $a = \frac{1}{400} \space м/мин^2$ и $b=-\frac{1}{5} \space м/мин$ — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$H(t) = \frac{1}{400}t^2-\frac{1}{5}t +4$$
Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока в нем не останется воды, то есть пока уровень воды не понизится до нуля: $$ \frac{1}{400}t^2-\frac{1}{5}t +4 =0$$ $$ t^2-80t +1\space 600 =0$$ $$t=40$$
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому: $$P=σST^4$$ где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $σ=5.7\cdot 10^{-8} \space \frac{Вт}{м^2 \cdot K^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{16} \cdot 10^{20} \space м^2,$ а мощность ее излучения равна $9.12 \cdot 10^{25} \space Вт.$ Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Из формулы выразим температуру: $$T^4 = \frac{P}{σS}$$ $$T = \sqrt[4]{\frac{P}{σS}}$$
Подставим известные из условия значения в формулу: $$\sqrt[4]{\frac{9.12 \cdot 10^{25}}{5.7\cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{16} \cdot 10^{20}}}$$ $$T=\sqrt[4]{256\cdot 10^{12}}=4\space000$$
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому: $$P=σST^4$$ где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $σ=5.7\cdot 10^{-8} \space \frac{Вт}{м^2 \cdot K^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{343} \cdot 10^{20} \space м^2,$ а мощность ее излучения равна $3.99 \cdot 10^{25} \space Вт.$ Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Из формулы выразим температуру: $$T^4 = \frac{P}{σS}$$ $$T = \sqrt[4]{\frac{P}{σS}}$$
Подставим известные из условия значения в формулу: $$\sqrt[4]{\frac{3.99 \cdot 10^{25}}{5.7\cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{343} \cdot 10^{20}}}$$ $$T=\sqrt[4]{2 \space 401\cdot 10^{12}}=7\space000$$
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому: $$P=σST^4$$ где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $σ=5.7\cdot 10^{-8} \space \frac{Вт}{м^2 \cdot K^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{625} \cdot 10^{20} \space м^2,$ а мощность ее излучения равна $9.12 \cdot 10^{25} \space Вт.$ Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Из формулы выразим температуру: $$T^4 = \frac{P}{σS}$$ $$T = \sqrt[4]{\frac{P}{σS}}$$
Подставим известные из условия значения в формулу: $$\sqrt[4]{\frac{9.12 \cdot 10^{25}}{5.7\cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{625} \cdot 10^{20}}}$$ $$T=\sqrt[4]{10 \space 000\cdot 10^{12}}=10\space000$$
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому: $$P=σST^4$$ где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $σ=5.7\cdot 10^{-8} \space \frac{Вт}{м^2 \cdot K^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{8} \cdot 10^{20} \space м^2,$ а мощность ее излучения равна $1.14 \cdot 10^{25} \space Вт.$ Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Из формулы выразим температуру: $$T^4 = \frac{P}{σS}$$ $$T = \sqrt[4]{\frac{P}{σS}}$$
Подставим известные из условия значения в формулу: $$\sqrt[4]{\frac{1.14 \cdot 10^{25}}{5.7\cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{8} \cdot 10^{20}}}$$ $$T=\sqrt[4]{16\cdot 10^{12}}=2\space000$$
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле: $$F_A = ρ g l^3$$ где $l$ — длина ребра куба в метрах, $ρ=1000 \space кг/м^3$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=9.8 \space Н/кг$). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $78 \space 400 \space Н?$
Для того чтобы определить максимальную длину ребра куба, подставим имеющиеся данные в формулу: $$F_A = ρ g l^3$$ $$78 \space 400 = 1000 \cdot 9.8 l^3$$ $$l^3=8$$ $$l=2$$
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле: $$F_A = ρ g l^3$$ где $l$ — длина ребра куба в метрах, $ρ=1000 \space кг/м^3$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=9.8 \space Н/кг$). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $264 \space 600 \space Н?$
Для того чтобы определить максимальную длину ребра куба, подставим имеющиеся данные в формулу: $$F_A = ρ g l^3$$ $$264 \space 600 = 1000 \cdot 9.8 l^3$$ $$l^3=27$$ $$l=3$$
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле: $$F_A = ρ g l^3$$ где $l$ — длина ребра куба в метрах, $ρ=1000 \space кг/м^3$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=9.8 \space Н/кг$). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $1 \space 225\space Н?$
Для того чтобы определить максимальную длину ребра куба, подставим имеющиеся данные в формулу: $$F_A = ρ g l^3$$ $$1 \space 225 = 1000 \cdot 9.8 l^3$$ $$l^3=0.125$$ $$l=0.5$$
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=5\space 000 \space км/ч^2.$ Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $100 \space км/ч.$
Выразим величину $l$ из формулы скорости: $$v^2 = 2la$$ $$l = \frac{v^2}{2a}$$
Подставим в найденную формулу значения переменных: $$l = \frac{100^2}{2\cdot 5\space 000}=1$$
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=6\space000 \space км/ч^2.$ Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $60 \space км/ч.$
Выразим величину $l$ из формулы скорости: $$v^2 = 2la$$ $$l = \frac{v^2}{2a}$$
Подставим в найденную формулу значения переменных: $$l = \frac{60^2}{2\cdot 6\space 000}=0.3$$
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=6\space000 \space км/ч^2.$ Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $120 \space км/ч.$
Выразим величину $l$ из формулы скорости: $$v^2 = 2la$$ $$l = \frac{v^2}{2a}$$
Подставим в найденную формулу значения переменных: $$l = \frac{120^2}{2\cdot 6\space 000}=1.2$$
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону$$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $40 \space мг.$ Период его полураспада составляет $10 \space мин.$ Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $5 \space мг.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$5 = 40 \cdot 2^{-\frac{t}{10}}$$ $$\frac{5}{40} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{10}}$$ $$\frac{1}{2}^{3} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{10}}$$ $$t=30$$
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону$$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $92 \space мг.$ Период его полураспада составляет $3 \space мин.$ Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $23 \space мг.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$23 = 92 \cdot 2^{-\frac{t}{3}}$$ $$\frac{23}{92} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{3}}$$ $$\frac{1}{2}^{2} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{3}}$$ $$t=6$$
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону$$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $120 \space мг.$ Период его полураспада составляет $6 \space мин.$ Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $7.5 \space мг.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$7.5 = 120 \cdot 2^{-\frac{t}{6}}$$ $$\frac{7.5}{120} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{6}}$$ $$\frac{1}{2}^{4} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{6}}$$ $$t=24$$
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону$$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $108 \space мг.$ Период его полураспада составляет $6 \space мин.$ Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $27 \space мг.$
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$27 = 108\cdot 2^{-\frac{t}{6}}$$ $$\frac{27}{108} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{6}}$$ $$\frac{1}{2}^{2} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{6}}$$ $$t=12$$
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону $$h(t) =1.6 + 8t -5t^2$$ где $h$ — высота в метрах, $ t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $3$ метров?
Составим уравнение по условию задачи и решим его: $$1.6 + 8t -5t^2 =3$$ $$-5t^2+8t-1.4=0$$ $$t_1 = 0.2$$ $$t_2 = 1.4$$
Мы нашли время, когда мяч пересекает высоту $3$ метра, нам нужно определить, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $3$ метров: $$1.4-0.2=1.2$$
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $$T(t) =T_0+bt=at^2$$ где $t$ — время в минутах, $T_0 =1400\space K,$ $a=-10\space K/мин^2,$ $b=200\space K/мин.$ Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1760\space K$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Подставим имеющиеся данные в формулу и решим полученное уравнение: $$T(t) =1400+200t-10t^2=1760$$ $$-10t^2+200t-360=0$$ $$t_1=2$$ $$t_2 = 18$$ Значит, через $2$ минуты после включения прибор уже нагреется до предельной температуры, поэтому его нужно будет отключить.
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $$T(t) =T_0+bt=at^2$$ где $t$ — время в минутах, $T_0 =1150\space K,$ $a=-10\space K/мин^2,$ $b=230\space K/мин.$ Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1910\space K$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Подставим имеющиеся данные в формулу и решим полученное уравнение: $$T(t) =1150+230t-10t^2=1910$$ $$-10t^2+230t-760=0$$ $$t^2-23t+76=0$$ $$t_1=4$$ $$t_2 = 19$$ Значит, через $4$ минуты после включения прибор уже нагреется до предельной температуры, поэтому его нужно будет отключить.
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $$T(t) =T_0+bt=at^2$$ где $t$ — время в минутах, $T_0 =1320\space K,$ $a=-8\space K/мин^2,$ $b=160\space K/мин.$ Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1920\space K$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Подставим имеющиеся данные в формулу и решим полученное уравнение: $$T(t) =1320+160t-8t^2=1920$$ $$-8t^2+160t-600=0$$ $$t^2-20t+75=0$$ $$t_1=5$$ $$t_2 = 15$$ Значит, через $5$ минуты после включения прибор уже нагреется до предельной температуры, поэтому его нужно будет отключить.
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону $$h(t) =80- 20t +t^2$$ где $h$ — высота в метрах, $ t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $4$ метров?
Составим уравнение по условию задачи и решим его: $$79 -20t +t^2 =4$$ $$t^2-20t+75=0$$ $$t_1 = 5$$ $$t_2 = 15$$
Мы нашли время, когда мяч пересекает высоту $4$ метра, нам нужно определить, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $4$ метров: $$15-5=10$$
Сила тока в цепи $I$ определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I=\frac{U}{R},$ где $U$ — напряжение в вольтах, $R$ — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $4\space A.$ Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$4=\frac{220}{R}$$ $$R=55$$
Сила тока в цепи $I$ определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I=\frac{U}{R},$ где $U$ — напряжение в вольтах, $R$ — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $5\space A.$ Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.
Подставим имеющиеся данные в формулу: $$5=\frac{220}{R}$$ $$R=44$$
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=30 \space см.$ Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $30$ до $50 \space см,$ а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $150$ до $180\space см.$ Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ дайте в сантиметрах.
Выразим из уравнения $\frac{1}{d_1}$:$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2} $$ Наименьшему значению $d_1$ соответствует наибольшее значение $\frac{1}{d_1},$ то есть наибольшее значение $\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}.$ Эта разность будет тем больше, чем меньше вычитаемое. Значит, $d_2$ должно принимать наибольшее значение.
Наибольшее возможное значение $d_2$ равно $180 \space см$:$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{180} = \frac{1}{36}$$ $$d_1 = 36$$ $36$ лежит в пределах от $30$ до $50,$ что соответствует условию задачи.
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=30 \space см.$ Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $20$ до $50 \space см,$ а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $180$ до $210\space см.$ Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ дайте в сантиметрах.
Выразим из уравнения $\frac{1}{d_1}$:$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2} $$ Наименьшему значению $d_1$ соответствует наибольшее значение $\frac{1}{d_1},$ то есть наибольшее значение $\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}.$ Эта разность будет тем больше, чем меньше вычитаемое. Значит, $d_2$ должно принимать наибольшее значение.
Наибольшее возможное значение $d_2$ равно $210 \space см$:$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{210} = \frac{1}{35}$$ $$d_1 = 35$$ $35$ лежит в пределах от $20$ до $50,$ что соответствует условию задачи.
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=90 \space см.$ Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $130$ до $150 \space см,$ а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $210$ до $240\space см.$ Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ дайте в сантиметрах.
Выразим из уравнения $\frac{1}{d_1}$:$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{90}-\frac{1}{d_2} $$ Наименьшему значению $d_1$ соответствует наибольшее значение $\frac{1}{d_1},$ то есть наибольшее значение $\frac{1}{90}-\frac{1}{d_2}.$ Эта разность будет тем больше, чем меньше вычитаемое. Значит, $d_2$ должно принимать наибольшее значение.
Наибольшее возможное значение $d_2$ равно $240 \space см$:$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{90}-\frac{1}{240} = \frac{1}{144}$$ $$d_1 = 144$$ $144$ лежит в пределах от $130$ до $150,$ что соответствует условию задачи.